金融网络中系统性风险的最优监控与缓解

在这种情况下，每次迭代的计算复杂度为O（N）[53]。与定点算法相比，实际默认算法具有更大的计算复杂度，并且如下文第a.1.4节所示，在几种网络拓扑上的运行时间更长。然而，实际默认算法的优点是，它保证在运行中终止。此外，与产生近似值的定点算法不同，实际违约算法将产生清算付款的准确值。A.1.3线性规划方法定义f（p）=NXi=1pi=1Tp，这是p的严格递增函数。通过[20]中的引理4，可以通过以下线性规划获得清算支付向量：maxptptp（57）服从0≤ P≤“p，p≤ πTp+e.求解LP的计算复杂度为O（N）[53]。A.1.4三种不同拓扑逻辑上的清算时间比较我们通过上述三种方法计算三种不同网络拓扑上的清算支付向量，并比较运行时间。第一个网络拓扑是一个具有1000个节点的完全连接的网络。所有债务金额和资产金额都是独立的随机变量，可统一分配2：使用定点算法、实际违约算法和线性规划，比较比例支付机制下清算支付向量计算的运行时间。定点算法虚拟默认算法LP methodave（s）stdev ave（s）stdev ave（s）stdev ave（s）stdev完全连接0.9128 0.1045 10.7341 0.7182 53.1725 11.8947核心-外围0.0869 0.0342 7.8213 1.2843 0.1964 0.0507线性链0.0462 0.0170 10.2574 1.0211 0.1610.0449in[0,1]。第二网络拓扑是图13所示的核心-外围网络。它包含15个完全连接的核心节点。每个核心节点有70个外围节点。

每个外围节点都有一个指向相应核心节点的链路。所有的义务量Li，jare都是独立的统一随机变量。对于每对核心节点i和j，义务量i均匀分布在[0,10]中。对于核心节点i及其外围节点k，义务量lkii均匀分布在[0,1]中。阿塞塔蒙特平均分布在[0,0.25]中。第三种网络拓扑是一个有1000个节点的长线性链网络。对于i=1，2，N- 1，债务金额Li（i+1）均匀分布在[0，10]中，对于其他i和j对，Lij=0。资产金额均匀分布在[0,1]中。对于每种类型的网络，我们生成100个样本。我们使用2.66GHz Intel Core2 Duo处理器P8800在个人计算机上运行Matlab代码。三种方法的平均运行时间和运行时间的样本标准偏差如表2所示。对于所有三种类型的网络，定点算法是最有效的。请注意，线性规划方法的计算时间是高度可变的，因为更简单的拓扑结构会导致∏成为稀疏矩阵，从而减少运行时间。A.2全有或全无支付机制A。2.1定点算法和虚拟默认算法我们现在假设“全有或全无”支付机制，节点i在有偿付能力的情况下支付“PIP”，而在违约的情况下不支付任何费用。因此，清算支付向量是映射ψ的固定点，定义如下：ψi（p）=\'piifNXj=1∏jipj+ei≥ ？pi0否则，我们通过以下算法迭代找到ψ（·）的固定点。定点算法：1。初始化：设置p←“p，k← 0.2. pk+1← ψ（pk）。

如果pk+1=pk，则停止并输出清算支付向量pk+1；否则，设置k← k+1并转至步骤2。事实上，在全有或全无支付机制下，这种定点算法可以解释为以下有效的默认算法。我们最初假设所有节点全额支付其债务，即p=`p。如果在此假设下，每个节点都有足够的资金全额支付，则算法终止。如果一些节点没有足够的资金全额支付，这意味着这些节点将默认表3：使用定点算法和混合整数线性规划，在全有或全无支付机制下计算清算支付向量的运行时间比较。定点算法/虚拟默认算法MILPave（s）stdev ave（s）Stdevf完全连接0.0092 0.0129 1.2204 0.0909核心-外围0.0242 0.0175 0.5338 0.0255线性链0.0279 0.0149 0.4700 0 0.0276，即使所有其他节点全额支付。我们将这些节点定义为一阶默认值。利用函数ψ（·），我们识别一阶违约并将其付款设置为零。在第二次迭代中，我们假设只出现一阶默认值。每个非违约节点k全额支付，即pk=`pk；每个defaultingnode i支付0，即pi=0。同样，通过函数ψ（·），我们确定了新的违约节点，它们被称为二阶违约，并将它们的支付设置为零。如果没有新的默认节点，算法终止；否则，我们继续第三次迭代。我们不断迭代，直到没有新的defaultsoccur，即pk+1=pk。由于系统中有N个节点，该算法保证在N次迭代中终止。在每次迭代中，计算复杂度由∏Tp决定，即Θ（N）。

因此，定点算法（有效默认算法）的计算复杂度为O（N）。A.2.2混合整数线性规划方法清算支付向量也可以通过求解MILP（20）得到，假设不会注入外部现金，即C=0。当C=0时，MILP（20）简化为以下MILP:maxp，C，dwTp（58）subject topi=\'pi（1- di），对于i=1，2，·N，\'pi-NXj=1∏jipj- 工程安装≤ 对于i=1,2,N,di∈ {0,1}，对于i=1,2，···，N.我们通过CVX[33,32]求解MILP（58）。A.2.3三种不同拓扑逻辑上的清算时间比较我们通过上述两种方法在第A.1.4节所述的三种网络拓扑上计算全部或无支付机制下的清算支付向量，并比较运行时间。与A.1.4节类似，我们生成了100个样本，并在带有2.66GHz Intel Core2 Duo处理器P8800的个人计算机上运行了Matlab代码。两种方法的平均运行时间和运行时间的样本标准偏差如表3所示。对于所有三种拓扑，定点算法比MILP方法更有效。表4：CVX代码中的参数。本文中CVX代码符号中的参数BAR¨pPi∏e ec cw wd dI in×NC总CB CVX代码用于求解MILP（20）。代码中出现的参数如表4所示。c v x s o l v e r mosekcv x be g inv a r i a b l e d（N）b inary%d e f a u l i a a b l e c（N）%现金终止（pbar\'* diag（w）* d）s u b j e c t图恩斯（1，N）* c<=c到t a l；c>=0；（Pi\'- （一）* 诊断（pbar）* d<=Pi\'* pbar+e+c- pbar；cvx endC二次规划（41）minckc的快速算法-~cmk（59）受试者toTc=C，（60）C≥ 0

（61）设标量κ和N×1向量ι分别为约束（60）和（61）的拉格朗日乘子。我们将拉格朗日定义如下：F（c，κ，ι）=kc-~cmk+κ（1Tc- C）- ιTc（62）然后是原始和对偶最优c*和（κ，ι）将满足以下Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件：cF（c，κ，ι）=0，（63）Tc=c，（64）c≥ 0, (65)ι ≥ 0，（66）ιici=0，对于i=1，2，···，N.（67）从KKT约束（63）中，我们得到了ci=~cmi- κ/2+ιi/2，对于i=1,2，·N如果cmi- κ/2>0，然后ci>0，因为ιi≥ 0.通过KKT约束（67），ιi=0。因此，ci=~cmi- κ/2.o 如果cmi- κ/2<0，ιi应为阳性，以确保ci≥ 0.由于ιici=0且ιi>0，ci=0.o如果cmi- κ/2=0，然后ci=ιi/2。既然ιici=0，我们就有了ci=ιi=0。总之，ci=max{cmi- κ/2，0}，对于i=1，2，···，N，其中κ由KKT约束确定（64）。参考文献[1]F.艾伦和D.盖尔。金融传染。政治经济学杂志，108（1）：1-332000。[2] H.阿米尼、R.康特和A.明卡。金融网络的抗传染能力。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1865997，2010年12月1日。[3] K.阿南德、B.克雷格和G.冯·彼得。填补空白：网络结构和银行间传染。国际清算银行工作文件，4552014年8月。[4] K.阿南德、P.盖、S.卡帕迪亚、S.布伦南和M.威廉姆森。金融系统弹性的网络模型。英格兰银行第458号工作文件，2012年7月。[5] S.巴蒂斯顿、D.D.加蒂、M.加莱加蒂、B.格林沃尔德和J.E.斯蒂格利茨。联系风险：增加连通性、风险分担和系统性风险。《经济动力与控制杂志》，36（8）：1121-11412012。[6] J.F.本德斯。解决混合变量编程问题的分区程序。《数字主题》，4（1）：238-2521962年。[7] A.伯纳多、E.塔利和I.韦尔奇。一个最优政府救助的模型。

技术报告，工作论文系列，加州大学伯克利分校伯克利分校法律与经济项目，http://www.law.berkeley.edu/Files/bclbe/最佳救助模式0503。pdf，2011年5月3日。[8] D.P.Bertsekas和J.N.Tsitiklis。并行和分布式计算。新泽西州老塔潘（美国）；普伦蒂斯·霍尔公司，1989年。[9] L.布鲁姆、D.伊斯利、J.克莱因伯格、R.克莱因伯格和E.塔多斯。哪些网络对级联故障最不敏感？IEEE第52届计算机科学基础年会，第393-402页，2011年10月。[10] M.Boss、H.Elsinger、M.Summer和S.Thurner。银行间市场的网络拓扑。arXiv预印本cond mat/03095822003。[11] 博图。在线学习和随机近似。神经网络在线学习，第9-42页。剑桥大学出版社，1998年。[12] E.J.坎迪斯、M.B.沃金和S.P.博伊德。通过重新加权提高稀疏性l最小化。《傅立叶分析与应用杂志》，14（5-6）：877–9052008。[13] J.M'arquez Diez Canedo和S.Mart'nez Jaramillo。系统性风险的网络模型：银行系统压力测试。会计、财务和管理中的智能系统，16:97–1102009。[14] A.卡波尼和P-C.陈。金融网络中的系统性风险缓解。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=2293426，2013年7月13日。[15] R.Cifuntes、G.Ferrucci和H.S.Shin。流动性风险和传染。《欧洲经济协会杂志》，3（2-3）：556-5662005。[16] B.克雷格和G.冯·彼得。银行间分层和货币中心银行。《金融中介杂志》，2014年7月23:322–347。[17] H.Degryse和G.Nguyen。银行间风险敞口：比利时银行系统传染风险的实证检验。《国际中央银行杂志》，第123-171页，2007年6月。[18] G.Demange。金融网络中的传染：威胁指数。

欧洲夏季非经济理论研讨会，http://dev3.cepr.org/meets/wkcn/6/6692/papers/DemangeFinal.pdf，2011年7月4日。[19] G.Demange。金融网络中的传染：威胁指数。巴黎经济学院工作论文2012-02，2011年12月31日。[20] L.艾森伯格和T.H.诺伊。金融系统中的系统性风险。《管理科学》，47（2）：236–249，2001年2月。[21]M.Elliott、B.Golub和M.O.Jackson。金融网络和传染。可从SSRN 21750562013获得。[22]H.Elsinger、A.Lehar和M.Summer。使用市场信息进行银行系统风险评估。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=787929，2005年8月22日。[23]H.Elsinger、A.Lehar和M.Summer。银行系统的风险评估。《管理科学》，52（9）：1301-13142006。[24]M.法布迪。中介和自愿承担交易对手风险。技术报告，工作论文，芝加哥大学，2014年8月30日。[25]C.A.弗洛达斯。非线性和混合整数优化：基础和应用。牛津大学出版社，1995年。[26]V.Fourel、J.-C.H\'eam、D.Salakhova和S.Tavolaro。银行囤积流动性会产生多米诺骨牌效应：法国网络。法国银行第432号工作文件，2013年4月。[27]C.H.毛皮。银行间风险敞口：量化传染风险。《货币、信贷和银行杂志》，35（1）：111–128，2003年2月。[28]P.盖、A.霍尔丹和S.卡帕迪亚。复杂性、集中性和传染性。《货币经济学杂志》，58:453–470，2011年。[29]P.盖和S.卡帕迪亚。金融网络中的传染。皇家学会学报A：数学、物理和工程科学，466（2120）：2401–2423，2010年8月。[30]C.高蒂尔、A.莱哈尔和M.苏伊西。宏观审慎资本要求和系统性风险。《金融中介杂志》，第594-618页，2012年。[31]P.格拉斯曼和H.P.杨。

金融网络中传染的可能性有多大？《银行与金融杂志》，2014年。[32]M.格兰特和S.博伊德。非光滑凸规划的图实现。InV.Blondel、S.Boyd和H.Kimura，编辑，学习和控制的最新进展，控制和信息科学课堂讲稿，第95-110页。施普林格有限公司，2008年。http://stanford.edu/~boyd/graph_dcp。html。[33]M.格兰特和S.博伊德。CVX:Matlab严格凸规划软件，2.1版。http://cvxr.com/cvx，2014年3月。[34]G.哈哈哈。基于随机损失情景的银行系统传染效应度量。银行与信贷，波兰国家银行日记，2007年6:69–80。[35]G.Ha laj和C.Kok。使用模拟网络评估银行间传染。欧盟罗佩安中央银行工作文件系列，1506年，2013年1月。[36]A.G.霍尔丹和R.M.梅。银行生态系统中的系统性风险。《自然》，2011年1月20日，469:351–355。[37]D.in\'t Veld和I.van Lelyveld。寻找核心：银行间市场的网络结构。《银行与金融杂志》，2014年。[38]G.英芬格。随机线性规划的benders分解算法中的Monte carlo（重要性）抽样。运筹学年鉴，39（1）：69-951992。[39]Z.Li、X.Lin和I.Pollak。金融系统中系统性风险缓解的分布式算法。《IEEE全球信号与信息处理会议记录》，第1137-1137页，2013年12月。[40]Z.Li和I.Pollak。分散违约：为陷入困境的金融网络提供最佳救助政策。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=2148483，2012年9月18日。[41]Z.Li和I.Pollak。分散违约：为陷入困境的金融网络提供最佳救助政策。《IEEE声学、语音和信号处理国际会议论文集》，第6176-6180页，2013年5月。[42]X.Lin和N.B.Shro off。

具有多径路由的通信网络的效用最大化。技术报告，技术报告，普渡大学，https://engineering.purdue.edu/linx/文件。html，2004年。[43]X.Lin和N.B.Shro off。具有多路径路由的通信网络的效用最大化。IEEE自动控制学报，51（5）：766–7812006。[44]J.洛伦兹、S.巴蒂斯顿和F.施韦策。网络级联过程统一框架中的系统性风险。欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复杂系统，71（4）：441-4602009。[45]S.Martinez Jaramillo、O.Pierez Pierez、F.Avila Embriz和F.Liopez Gallo-Dey。系统性风险、金融传染病和金融脆弱性。经济动力与控制杂志，34:2358–23742010。[46]B.G.蒙达卡。货币和金融危机期间的最优救助：一项连续博弈分析。奥弗斯洛大学经济系技术报告，http://www.sv.uio.no/econ/english/research/unpublished-works/working-papers/pdffiles/2002/Memo-27-2002。pdf，2002年9月17日。[47]M.Pr–opper、I.van Lelyveld和R.Heijmans。银行间支付流的网络描述。DNB第177号工作文件，2008年5月。[48]L.C.G.罗杰斯和L.A.M.维拉特。银行间网络的故障与救援。可从SSRN获得：http://ssrn.com/abstract=1932911，2011年9月23日。[49]L.C.G.罗杰斯和L.A.M.维拉特。银行间网络的故障与救援。《管理科学》，59（4）：882-8982013。[50]R.M.Van Slyke和R.Wets。L型线性规划及其在最优控制和随机规划中的应用。暹罗应用数学杂志，17（4）：638-663，1969年。[51]K.Soram–aki、M.L.Bech、J.Arnold、R.J.Glass和W.E.Beyeler。银行间支付流的拓扑结构。Physica A:统计力学及其应用，379（1）：317–3332007。[52]I.范·莱利维尔德和F.利多普。

荷兰银行业的银行间传染：敏感性分析。《国际中央银行杂志》，第99-133页，2006年7月。[53]Ye。线性规划的一种o（nl）势约化算法。数学规划，50（1-3）：239-2581991。