金融网络中系统性风险的最优监控与缓解

我们使用以下符号：o任何两边都是向量的不等式都是分量式的；o0、1、e、c、p、p、r、w、s和d都是表1中定义的向量W=重量- p） 是系统中未付负债的加权总和；表1：几种矢量量的表示法。向量i-th分量0 01 1e≥ 0节点i现金注入前的净外部资产c≥ 0向节点i的外部现金注入节点i欠其所有CreditorSP的金额≤“p在贷款到期日，节点i实际偿还其所有债权人的总金额”- pnode i的未付负债总额节点i清算付款后的剩余现金W节点未付负债1美元的权重是节点i的默认指标变量的权重，即如果节点i违约，di=1；di=0，否则ondi是默认的节点数，即支付低于其能力的节点数i，pi</pi；oπij是节点i欠节点j的金额，是节点i所欠总金额的一小部分，πij=（Lij\'piif\'pi6=0,0，否则；oπ和L是矩阵，其条目分别为∏ij和Lij。鉴于上述金融体系，我们考虑了比例支付机制和全部或全部或全部支付机制。后者也可以被解释为具有100%破产成本的比例支付机制。如[20]所述，无破产成本的比例支付机制定义如下。无破产成本的比例支付机制：o如果i的总资金至少与其负债一样大，那么i的所有债权人都会得到全额支付。o如果我的总资金少于其负债，那么我将其所有资金支付给其债权人我所有的债务都有相同的资历。这意味着，如果我的负债超过了它的资金总额，那么每个贷款者都会按照它所欠的比例得到偿付。

这保证了节点j从节点i实际接收的量始终为∏ijpi。因此，任何节点i从其所有借款人接收的总金额为nxj=1∏jipj。在这些假设下，节点将按比例向其债权人支付所有可用资金，最高可达其负债额。支付向量可以位于矩形[0，`p]中的任意位置。在all or Nothing payment场景下，默认节点根本不付款。Al l-or-nothing支付机制：o如果i的总资金至少与其负债一样大（即NXj=1∏jipj+ei≥ “\'pi）那么我所有的债权人都会得到全额偿付。o”如果我的总资金少于负债，那么我什么也不付。如[20]所述，清算支付向量p是借款人对贷款人支付的向量，符合支付机制的条件。附录A讨论并比较了几种计算清算支付向量的算法。在本文中，我们主要关注无破产成本的比例支付场景下的问题I和II。我们还证明了全有或全无支付方案使得问题I NP难。在这种情况下，问题I可以表示为一个混合整数线性规划，可以在个人计算机上使用现代优化软件有效地解决网络规模与美国银行系统规模相当的问题。3.比例支付机制下问题I、II、III的集中算法3。1最小化未付负债的加权和是一个LPS，考虑一个网络，在注入现金之前，该网络具有已知的负债结构L和已知的净资产向量e。

使用上一节中建立的符号，问题I寻求现金注入分配向量c≥ 0以最小化以下未付负债的加权总和，W=wT（`p- p） ，但须受现金注入总额不超过某个给定数字C:Tc的限制≤ C.在本节中，我们假设按比例支付，不存在破产成本。我们首先证明，对于任何现金注入向量c，存在一个唯一的清算支付向量，该向量使成本W最大化。引理1。给定一个金融系统（π，\'p，e），一个现金注入向量c和一个权重向量w>0，存在一个唯一的清算支付向量p，使加权和w=wT（\'p）最小化- p） 。证据方法1：首先，请注意，由于w和p不依赖于p或c，所以最小化w相当于最大化wTp。在固定的现金注入向量c下，金融系统相当于（π，`p，e+c）。由于w>0，我们知道wTp是p的严格递增函数。通过[20]中的引理4，可以通过求解以下线性规划来获得清算支付向量p：maxpwTp（1）服从0≤ P≤\'p，（2）p≤ πTp+e+c.（3）根据[20]中的定理1，存在一个最大的清算支付向量p*. 因为W是p的严格递增函数，p*是LP（1-3）的一个解。对于任何其他P6=p*, 我们有圆周率≤ P*如果i=1，2，·，N，这些不等式中至少有一个是严格的。因此，wTp<wTp*. 因此p*是LP（1-3）的唯一解决方案。这就完成了引理1的证明。方法2：这里有另一种方法来证明引理1，而不使用[20]中的定理1。很明显，LP（1-3）是可行且有界的，所以解总是存在的。假设有两种不同的解决方案pand p和Fine p+∈ 对于i=1，2，···，N，RNas p+i=max{pi，pi}。然后对于l=1，2，wTp+>wTpl。这里的不等式是严格的，因为p6=p。对于每个i，通过定义，p+i=pi或p+i=pi。

由于pand pare LP的两个解，它们都满足约束（2），即0≤ 圆周率≤ “计划0≤ 圆周率≤ “\'pifor all i.因此，我们也有0≤ p+i≤ “-piforall i，这意味着p+也满足约束条件（2）。此外，pand psatisfy约束（3）和∏的所有条目都是非负的，这意味着pi≤NXj=1∏jip+j+ei+dpi≤NXj=1∏jip+j+ei+cif，适用于所有i，因此也适用于p+i≤NXj=1∏jip+j+ei+ciforall i。因此，p+alsosatis fies约束（3）。因此，p+在LP（1-3）的可行域内，并且获得了比pand p更大的目标函数值，这与LP（1-3）的pand pare解的事实相矛盾。这就完成了引理1的证明。我们现在建立问题I和线性规划问题的等价性。定理1。假设负债矩阵L、资产向量e、权重向量w和总现金注入量C是固定且已知的。假设系统采用比例支付机制，没有破产成本。考虑问题I，即计算现金注入位置c的问题≥ 0以最小化未付负债的加权和W=wT（`p- p） 以预算约束1Tc为准≤ C.这个问题的解决方案可以通过求解以下线性规划来获得：maxp，cwTp（4）服从C≤ C、 （5）C≥ 0,0 ≤ P≤“p，p≤ πTp+e+c.（6）证明。由于LP（4-6）中c和p上的约束在R2N中形成了一个封闭且有界的集合，因此存在一个解。此外，对于任何固定的c，根据[20]中的引理1和引理4，线性规划具有p的唯一解，p是系统的清算支付向量。让（p*, C*) 成为（4-6）的解决方案。假设存在一种现金注入分配，它导致的成本W比c小*.

换句话说，假设存在c′>0，其中1Tc′≤ C、 相应的结算支付向量p’满足wT（`p- p′）<wT（\'p- P*), 或者，相当于wTp*< wTp′。（7） 注意，c’满足（4-6）的前两个约束条件。此外，由于p′是相应的clearingpayment向量，最后两个约束条件也满足。因此，对（p′，c′）在我们的线性规划的约束集中。因此，式（7）与假设（p*, C*) 是（4-6）的解决方案。这就完成了c*是达到最小成本W的C分配。在问题I的拉格朗日公式中，我们被赋予一个权重λ，并且必须选择总现金注入量C及其分配C以最小化λC+W。这相当于以下线性程序：maxC、c、pwTp- λC（8）受试者toTc=C，C≥ 0,0 ≤ P≤“p，p≤ πTp+e+c。这个等价性来自定理1：用（c）表示（8）的解*, P*, C*), 我们看到这对（p*, C*) 对于C=C，必须是（4-6）的解*. 同时，C*最大化（8）中的目标函数意味着它最小化λC+W=λC+wT（`p- p） ，因为p是一个固定常数。3.2与Demange算法的比较[18,19]中针对注入的少量现金制定了现金注入目标政策。[19]中命题4的基本思想是将现金注入具有最大威胁指数的节点，该指数被定义为未付负债总额相对于流动资产价值的衍生品。此外，随着少量现金逐渐注入，目标保持不变，直到至少有一家银行得到完全拯救（即从违约变为有偿付能力），因此，对于现金量不完整的情况，最佳策略是持续向同一节点注入现金，直到一个节点改变其状态。

虽然[18,19]中提出了注入非极小金额现金（即针对我们的问题i）的雷诺算法，但我们基于[18,19]中的思想构造了这样一个算法。基于[18,19]：1的问题I算法。初始化：设置现金注入向量c← 0，剩余现金仍需分配← C.2。计算系统的清算支付向量p（π，`p，e+c）。通过求解[19]中的线性规划（13），计算系统（π，`p，e+c）的威胁指数。选择威胁指数最大的节点，表示为节点i.4。向节点I注入少量现金δ，并更新清算支付向量p′。定义p=p′- p为节点i.5中注入δ后支付向量的增加量。计算π-圆周率对于i=1，2。。。，N.选择最小的一个，表示为节点i。然后节点i将是第一个当我们继续向节点i.6注入现金时从违约变为有偿付能力的节点。设定ci← ci+minCrδπ- 圆周率圆周率. 设定Cr← 铬- 闵Crδπ- 圆周率圆周率. 如果Cr=0，停止；否则，请转至步骤2。该算法的每次迭代计算清算支付向量两次：在步骤2和4中。第3步moreover涉及求解一个线性规划，以获得威胁指数。在最坏的情况下，该算法将在N次迭代后停止，因为在每次迭代中，只有一个默认节点保证被解救。因此，我们需要解N个LPs，并在最坏的情况下计算2N次清算支付向量，其计算效率远低于定理1的方法，该方法需要解一个LPs。请注意，上述算法在步骤4中做出了一个简化假设，即可以提前找到少量δ，以便在步骤4中注入δ不会导致拯救任何银行。我们基于定理1的算法不需要这种简化假设。

此外，与我们的LPS方法不同，上述算法的应用范围有限。例如，将该算法扩展到求解I-随机问题并不容易。3.3最小化违约次数假设现金注入总量为C，问题二寻求找到一个现金注入分配向量C，以最小化违约次数nd，即向量p中的非零条目的数量- p、 在本节中，我们提出两种启发式算法来近似解决问题II。首先，我们调整了重新称重的数据l[12]第2.2节中的最小化策略方法。我们的算法解决了线性规划（4-6）的一系列加权版本，其权重旨在鼓励¨p的稀疏性- p、 在我们算法的以下伪代码中，w（m）是第m次迭代期间的权重向量。重新称重l最小化算法：1。M← 0.2. 选择w（例如w← 1).3. 用pTw（m）代替目标函数求解线性规划（4-6）。更新权重：对于每个i=1、··、N、w（m+1）i←经验“圆周率- P*（m） 我- 1+，其中>0是常数，p*（m） 是在步骤3.5中获得的清算支付向量。如果千瓦（m+1）- w（m）k<δ，其中δ>0为常数，停止；否则，增加m并转至步骤3。请注意，对于- P*（m） iis非常小，只需要很少的额外资源即可避免默认情况。这就是为什么第4步被设计为赋予这些节点更多的权重，从而鼓励向它们注入更多的现金。另一方面，节点的“pi”- P*（m） iis非常庞大，需要大量现金才能成为有偿付能力的公司。该算法本质上是通过给这些节点分配较小的权重来“放弃”它们。我们开发的第二个启发式算法是贪婪算法。在贪心算法的每次迭代中，我们计算清算支付向量，并在所有默认节点中选择未付债务最小的节点。

我们向那个节点注入现金来拯救它，这样在每次迭代中，我们都会拯救一个需要最小现金支出的节点。在这个过程中，我们按顺序注入现金，在一些节点完全收到借款人的付款之前，将其完全释放。如果借款人在几步之后得到救助，这些节点随后可能会从借款人那里获得更多现金。因此，获救的节点最终可能会出现剩余节点。如果发生这种情况，节点可以使用其盈余来偿还其现金注入。这样的还款可以用来帮助其他节点。当系统中没有默认值时，或者当注入的现金达到总金额C且被拯救的节点没有盈余时，该算法终止。贪婪算法：1。铬← C、 C← 0，w← 1.2. 求解线性规划（1-3）得到清算支付向量p………$2 $2.图1：二叉树网络。200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000100300400500救市金额C重新加权的违约次数l1最小化贪婪最小化最优解图2：我们的算法，用于最小化图1.3的二进制树网络的默认值与最优解的数量。计算清除后每个节点的剩余：r← πTp+e+c- p、 四,。在获救节点偿还其现金注入后，更新要注入系统的剩余现金：Cr← Cr+NXi=1min{ri，ci}，ci← 词- i=1，2，·N.5的min{ci，ri}。如果Cr=0或系统中没有默认值，则停止。6.找到具有最小未付责任“pk”的节点k- 在所有默认节点中。7.ck← 最小{Cr，\'pk- pk}，Cr← 铬- ck，转到步骤2.3.3.1示例：二叉树网络首先，我们使用一个具有S级和N=2S的完整二叉树- 1个节点。如图所示。

1、0级和S级- 1分别对应于根和叶。级别s<s的每个节点- 1欠2美元-sto其两名债权人（子女）中的每一人。我们把e=0。如果C<8，则所有2-1.- 默认情况下，1个非叶节点，2个-1默认情况下不使用Leave。总的来说，任何级别的节点s<s- 1欠s+1级节点2S+1美元。因此，如果C≥ 2S+1，然后nd=0可以通过将整个数量分配给根节点来实现。8个人≤ C<2S+1，我们首先观察到如果C=2S+1-对于某些整数s，最佳解决方案是将全部金额分配给s级的节点。这将防止该节点和所有N11N12N16N15N14$2AN21N22N23N26N26N25N24Nm1Nm3Nm6Nm5Nm4…nR$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$a$2图3：具有周期的网络拓扑。它是2S-s-1.- 2个非叶片后代，导致2个-1.- 2秒-s-1结果。如果C不是二的幂，我们可以将其表示为二的幂和，并递归地应用相同的参数，以产生以下最佳默认值数：Nd=T（S）-UXu=4b（u）·T（u）- 2） ，式中T（x）=2x-1.- 1是x级完全二叉树中非叶节点的数量，b（u）是C（从右到左）二进制表示中的第u位，u是位的数量。总之，作为现金注入量C的函数，违约次数最少的Nd为：Nd（C）=T（S）如果C<8，T（S）-UXu=4b（u）T（u）- 2） 如果8≤ C<2S+1,0如果C≥ 2S+1。（9） 在我们的测试中，我们设定S=10。图2中的绿线是公式（9）中C函数的最小默认数的曲线图。蓝线是通过重新加权计算得出的解l=0.001δ=10的极小化算法-6.该算法使用六种不同的初始化运行：平均值和w（0）=1。在这六种解决方案中，选择了默认值最少的一种。

红线是由贪婪算法计算的解。如图2所示，重新称重的结果l最小化算法在整个C范围内都非常接近最优。贪婪算法的性能很差。贪心算法总是将现金注入到级别S的节点中- 2.未付债务最少的公司。对于C≥ 16，由于在S级节点上花费16美元，这种策略是无效的- 3拯救了该节点及其两个孩子，而在S级的两个节点上花费了16美元- 2只拯救这两个节点。3.3.2示例：具有周期的网络第二，我们在具有图3所示周期的网络上测试我们的算法。网络包含M个循环，每个循环有六个节点。第k个循环中的节点表示为nk1、nk2、·nk6。节点NK1到nk2的价格为2a美元。节点NK6欠nk1美元。对于i=2，··，5，nkiowes美元对nk（i+1）。根节点表示为nR，每k=1，2，··，M欠$ato nk1。我们设置e=0。如果C<a，则默认情况下根节点和连接到根的所有M个节点nk1（k=1,2，··，M）。其余的5M节点不是默认值。100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000020406080100救助金额C违约次数重新加权l1最小化贪婪最小化最优解图4：我们的算法，用于最小化网络办公室的默认值与最优解的数量。3.如果C≥ aM，然后将全部C分配给根会产生零默认值。如果≤ C<aM，然后将$a给予节点NK1将防止其违约。因此，这种情况下的默认总数是M+1- [C/a]。综上所述，对于这种网络结构，作为现金注入量C函数的最小默认值Nd为：Nd（C）=如果C<a，M+1- [C/a]如果≤ C<aM，如果C≥ 是（10） 在我们的测试中，我们设置a=10，M=100。无花果。