内部风险度量估计的验证

外部风险度量是指行业监管机构在对所有受监管机构全面实施的程序中采用的风险度量，而内部风险度量是指个别机构甚至交易台用于日常监控交易账簿风险的风险度量。外部/内部的区别正好反映了上文第2（iii）节讨论的天气预报案例（b）和（a）之间的区别。外部风险措施是流程的一部分，如图2.3所示，监管机构通过该流程向银行收取资本费用，以便为交易损失提供足够的缓冲（巴塞尔银行监管委员会，2013年）。必须建立模型来计算收益分布Fk，k=1，n、 在各种情况下，资本费用C等于{s（F），…，s（Fn）}的某个函数，当VaR或CVaR处于某个非常高的水平时，例如99.5%或99.75%。输入数据D可能来自最近的过去或/和历史上的“压力”时期，并用于模型校准。校准模型后，计算总是通过蒙特卡罗模拟完成，因此计算出的FK始终具有有限的支持；Kou等人（2013年）和R ockafellar和Uryasev（2002年）都强调了这一点，这与我们下面对可诱导性的讨论有关。如果F（x），R上的分布函数F具有指数κ>0的幂左尾~ |x|-κas x→ -∞. 为了从经验尾部样本中估计κ，我们发现，对于给定的κ，最紧的0<c<c，比如c | x|-κ≤ F（x）≤ |c|-κ表示样本中的所有x，然后最小化c/覆盖κ，给出图2.2所示的界限。一个类似的程序适用于右尾翼。Gripenberg和Norros（1996）发表了一篇关于分数布朗运动预测的优雅论文。

Davis没有与回报分布的意义相关的概念问题，因为它们是一个定义良好的随机模型的输出。整个过程是一项工程工作，完全符合防火屏障设计。这一领域的重要问题是数值稳定性：我们希望避免一种情况，即由于不同银行内部模型的微小变化，对不同银行征收差别很大的资本费用；参见Cont、Deguest和Scandolo（2010）对这个问题的出色研究。当然，一个更大的问题是，地图D7图2.3所示的分解→ C是获得适当资本缓冲的最佳方式。有不同的声音，例如霍尔丹（2012）。DataF1ModelStatisticsC=f（s（F1），。。，s（Fn）s（F1），。。，s（Fn）资本费用Fn图2.3。资本费用分配过程。在本文中，我们关注的是预测交易账簿所面临风险的内部风险管理。在这里，分位数水平通常要低得多，比如说95%，因此我们可以预期看到o ccasionalexceedances，并可以监测它们的频率。这是GIS设计用来解决的问题。2.4. 虚假能力。首先，让我们考虑一个基本问题。我们计算我们声称的未来收益的条件分布F和/或一些统计s（F）。但在这个高度非平稳数据的宇宙中，考虑到不可能进行重采样，我们可能会问统计模型所隐含的预测分布是否有任何意义。一个有用的参考点是卡尔·波普尔（Karl Popper，2002）的虚假性测试：一个陈述只有当且仅当它是虚假的时才是有意义的，即原则上可以提供证据证明该陈述是虚假的。

现在考虑下面的语句S:\'给定时间k之前的数据，FTSE100 retur n Yk的条件分布- 1是F\'，其中F是一个特定的分布函数。根据波普尔的标准，陈述s肯定毫无意义。我们计算胖时间k- 1，在时间n，我们得到一个数字Yk=x；那么F是正确的吗？只有当x超出F的支持度时，S才会在k时失效。在实践中，这种情况永远不会发生，在实践中，支持度总是被指定为R（或仅长期投资组合的R+）。由于后续数据点Yk+1，Yk+2。这些数据来自不同的条件分布，不能说它们提供了关于F的正确性的许多有用证据，而且在任何情况下，事后数据都不是密切相关的，因为决策必须在时间k的计算基础上做出- 1和History之后无法重写。因此，S是不可能的，这意味着关于f的任何陈述都必须依赖于不可勾选的先验建模假设。这里需要的是转变视角。与其问我们的模型是否正确，不如问我们构建模型的目标是否已经实现。这种预测问题的观点是其他一些科学领域的标准，事实上，这种观点是在天气预报方面率先提出的（例如，见Joli ffe和Stephenson，2003）。一个来自Dawid（1986）的例子将说明这一点。在许多国家，天气预报员通常以0.0、0.1、0.2等量化形式预测次日降雨的概率，1.0.评估此类预测的明显方法是，对于每个n=0。

这一概念与证明和反例之间的基本不对称性有关：显示=> B我们必须证明，在A成立的每一种情况下，B也成立，而要证明A；B我们只需要找到一个A成立但B不成立的案例。内部风险度量E的验证估计7在预测概率为n/10后的几天降雨的相对频率。然后，我们根据预测的概率绘制相对频率，以获得可靠性图。在任何特定的日子里，都不能断言天气预报的准确性。0 20 40 60 80 100010203040506070809010天气预报的预测概率%观测相对频率%可靠性图2.4。芝加哥天气预报员的可靠性图。图2.4显示了芝加哥一位预报员在1972-76年间对2820个12小时天气预报的结果（Dawid，1986）；没有人会怀疑这个预报员做得很好：预报经过了很好的校准。这里的一个关键点是，评估符合P.Dawid的统计“前提”理论（Dawid，1984）的原则。正如inDawid和Vovk（1999）所阐述的，这些原则是弱序原则：预测系统的评估应仅基于观测数据和生成预测的数值（而不是生成预测的算法）。强序贯原则：正确预测的标准应仅取决于自然和预测者对生成数据的随机规律P的一致性，而不是该规律是什么（在某些特定类别P内）。虽然这些原则的正式应用在已出版的风险管理文献中几乎没有体现出来，但相关方法在行业中以“回溯测试”的名义普遍应用，其中很大一部分是“VaR vs。

CVaR的争论涉及的问题是，如果一个统计数据不可引出，那么它就不能进行回测，这是否属实，请参阅Acerbi和Szekely（2014）最近的贡献。虽然我们没有在这里解决这个问题，但我们确实提供了一个正式的结构，在这个结构中，这个问题可以用更精确的术语来表述。3.可激发性撰写本文的最初动机是Gneiting（2011）和Ziegel（2014）在VaR和CVaR的可激发性属性方面获得的一系列结果。这些作者表明，CVaR是不可引出的，这在各个方面都被用作反对将其用作风险管理统计数据来代替VaR的论据，VaR是可引出的。随着Fissler和Ziegel（2015）最近证明这对组合（VaR，CVaR）是可以共同引发的，这一争论现在已经被搁置一边，但尽管如此，这一争议还是给风险管理领域带来了一些新的、重要的东西。“思想圈”与一个决策理论框架有关，其起源至少可以追溯到L.J.Savage（1971）的著作中，但合理性概念本身是由Osband和Reichestein（1985）提出的，这个名称是由他创造的。这个术语可能具有误导性，因为它似乎意味着某种重新活出历史的特殊程序，而不是日常实践的一部分。”“监控”是更好的描述。8马克·H·A。戴维斯比·兰伯特、彭诺克和施·奥姆（2008）。读者可以参考Gneiting（2011）对这一主题的广泛阐述。我们考虑概率空间（R，B，P），其中B是Borelσ场。Y表示单位函数Y（Y）=Y∈ 通常，概率测度P与Y的（右连续）分布函数一致。

众所周知，如果∈ 然后函数f（x）=E[（x- Y）]在x=E[Y]时达到其最小值，这是真实的，无论L类中的分布F如何。可引出性涉及将均值的这种特征推广到分布函数的其他统计量s（F）。对于给定的统计量s（F），我们能找到一个函数s（x，y）的分数吗→ 对于某些宽类分布中的所有F，EF[S（x，Y）]=RS（x，Y）F（dy）在x=S（F）时最小化？一般而言，s（F）可以是集值的，就像β-指数的情况一样，中位数的值更大，等于q。我们对分数函数的选择将与Gneiting（2011）一样，仅限于可测量的函数s:R→ R（i）S（x，y）≥ 如果每个y的x=y（ii），则等于0∈ R函数x7→ S（x，y）是连续的，如果x 6=y，则S是连续可微的。我们说，S是一个统计量S相对于一类分布函数F的一致评分函数，如果y~ F∈ F（3.1）EF[S（t，Y）]≤ EF[S（x，Y）] T∈ s（F），x∈ 如果R.S是一致的，则R.S是严格一致的，（3.1）中的等式意味着x∈ s（F）。定义3.1。如果存在严格一致的scoringfunction s，则F的统计量s是可导出的。该方法的吸引人的特点是结果的精确性：在相关情况下，可以从数学上证明特定统计量是可导出的还是不可导出的。尚不清楚的是，如何在动态环境中应用这些结果，例如风险管理，其中数据是序列Y，Y。每个随机变量都有不同的条件分布，特别是考虑到标准（3.1）未能遵守弱频率原则。下一节给出了这个问题的答案，但首先我们考虑了几个例子，下面是Gneiting（2011，§3）。3.1。例子。3.1.1. 平均值。

这里F是具有有限方差和得分函数（x，y）=（x）的分布集- y） 是连续可区分的。我们可以通过注意（3.2）来描述最优性xE[S（x，Y）]=ExS（x，Y）= 十、- E[Y]，确认预期分数确实在平均值E[Y]处最小化。S=（x）- y） 不是唯一一个得出平均值的得分函数，其他存在的函数不需要存在二阶矩；详见下文第3.1.3节和Gneiting（2011，§3）中的细节和更多示例。3.1.2. 分位数和变量。这里F是一些区间上所有概率分布的集合 R.然后是β分位数，β∈ （0，1）是可引出的。如果I是紧致的，那么满足上述条件（I）、（ii）的分数函数对于β分位数是完全一致的，当且仅当它采用（3.3）s（x，y）=（1（x≥y）- β） （g（x）- g（y））验证内部风险度量E估计9，其中g是严格递增函数。在随机变量g（Y）可积的一类分布中，如（3.3）中的分数函数S在没有紧性假设的情况下是严格一致的。一个明显的选择是g（y）=y，但如果我们将g设为有界且严格递增，则不需要可积条件。假设g是连续可微的，设F是连续分布函数类。那么除了x=y和（3.4）之外，S是连续可微的sx=g′（x）[1（x≥y）- β].因为事件（Y=x）对所有F的概率为0∈ 我们看到（3.5）ExS（x，Y）= g′（x）[F（x）- β] ，当且仅当x在β-分位数集中时，它等于零。

如果我们放弃分布函数的连续性，那么（3.6）ddxE[S（x，Y）]=g′（x）[（1- β） F（x）-) + βF（x+）- β].如果x<q，右边的表达式为负-如果x>q+β，则表示e[S（x，Y）]在β分位数的任意x处最小化。风险价值VaRβ选择了一个元素q-β、 从quantile集合。因此，变量只能在集合F中导出↑ 严格递增分布函数的F，分位数集为单态。3.1.3. 期望值。对于τ∈ （0,1）和F∈ τ-expectile是方程τZ（x，∞)（y）- x） F（dy）=（1）- τ） Z(-∞,x） （十）- y） F（dy）。如果φ是严格凸函数，则分数函数（x，y）=（τ1（x<y）+（1- τ） 1（x）≥y）φ（y）- φ（x）- φ′（x）（y）- x） ）对于F-such类中的τ-期望严格一致，即Y和φ（Y）是F-可积的。自然选择是φ（x）=xwhen（φ（y）- φ（x）- φ′（x）（y）- x） ）=（y- x） 。如果φ∈ Cthen（3.7）sx=φ′′（x）[τ1（x<y）+（1- τ） 1（x）≥y）]（x- y） ，还有亨西xS（x，Y）= -φ′′（x）“τZ（x，∞)（y）- x） F（dy）- (1 - τ）Z(-∞,x） （十）- y） F（dy）#所以E[(S/x） （S（x，Y））]=0<=> x=mτ。这种刻画只需要Y是beF-可积的。请注意，平均值是期望值，因此这里的副产品是一系列可能的替代评分函数f的平均值。3.2. 可识别性。给定一类分布F，统计量的识别函数是可测函数V:R→ R使得期望值E[V（x，Y）]非常明确~ F∈ F和x∈ R、 andEF[V（x，Y）]=0<=> 十、∈ s（F）。如果存在识别函数，则统计s是F-可识别的。从上面的（3.5）中可以清楚地看出，如果s可以用分数函数s导出，那么在充分的正则性条件V（x，y）下=S/x（x，y）是一个识别函数。

与这个结果有一种相反的结果，称为“奥斯本原理”（Gneiting，2011，§2.4），根据这一原理，函数的分数可以得到10分H.a。DAVISfrom识别功能通过自然积分程序实现。Steinwart、Pasin、Williamson和Zhang（2014）在d-etail中研究了两者之间的关系；他们的推论9认为，对于标量单值统计，在某些条件下，可引出性等价于有界识别函数的存在，但这些条件包括存在一个限制性太强的判定测度。3.3. 分布预测。预测统计量的一种方法是预测整个分布，然后计算预测分布的统计量。在这种情况下，人们会为感兴趣的过程建立一个随机模型：过去的数据被用来估计模型参数，然后是一个纯计算问题，通过分析方法或模拟来解决，以评估未来某个时间的预测分布。分配预测可通过使用适当的评分规则进行评估（Gneiting and Raftery，2007，§2）。如果P表示（R，B）上的概率测度集，或者等价地表示分布函数集，那么我们可以将（P，BP）定义为与弱收敛拓扑对应的Borel空间。预测是F的选择∈ F 其中，BPF是一组指定的分布。评分规则是一个可测量的函数S:F×R→ R使得函数y7→~S（F，y）isG对所有G可积∈ F.我们定义S（F，G）=RS（F，y）G（dy）。这里F是预测，G是“真实”分布。如果S（G，G），评分规则是正确的≤ S（F，G）代表所有F∈ 如果S（F，G）=S（G，G）意味着F=G，则F是严格正确的。

如果S（x，y）是统计数据S的一个得分函数，那么S（F，y）=S（S（F，y）是一个得分规则，但S的严格一致性并不意味着S的严格属性。构造分布预测的一个优点是概率积分变换（PIT）可用作诊断工具，这在统计学和经济计量学中得到了广泛应用（例如，见Dawid，1984年，Diebold，Gunther和Tay，1998年，Chr isto offersen，1998年，Gneiting，Balabdaoui和Raftery，2007年，Mitchell和Wallace，2011年）。PIT指的是一个基本事实，即如果一个随机变量Y具有连续分布函数F，那么该随机变量U=F（Y）具有均匀的[0，1]分布。因此，Y s样品的均匀性表明，分布F已得到正确评估。我们在下文第5节的不同语境中广泛使用PIT。有一类问题“点预测”和“分布预测”结合在一起，即预测伯努利试验中的成功概率问题，其中成功概率当然是分布。关于这个问题有大量的文献，seeLai等人（2011年）最近举了一个例子，其中鞅理论的使用方式与下面的第6节类似。3.4。动态模型。假设我们观察的不仅仅是一个变量Y，而是一个序列Y，Y。。因此，任何相应的随机模型都是某个概率空间上的离散时间过程(Ohm, G、 P），我们用Fk（y）表示给定y的条件分布，Yk-1:Fk（y）=P[Yk≤ y | y，Yk-1].假设对于某类F分布和所有序列y，y。（i） Fk（·；y，…，yk）-1) ∈ F（ii）对于给定的统计量s，存在一个识别函数V，使得对于F∈ 外汇∈ s（F）<=> EF[V（x，Y）]=0。当xk=s（Fk）时，我们有[V（xk，Yk）| Y。