内部风险度量估计的验证

P[Yk=1]=u。他拒绝了if^qβ/∈ [t，t]；表5.1和表5.2规定了不同重要级别和数据长度的时间间隔。首先，我们取β=0.9，如上所述，并对FTSE100返回序列的最大数据长度1500进行测试。图8.3（a）所示的校准结果与图8.2的较短数据长度结果相似。对于独立性测试，我们确定相对频率n，然后计算^q（\'n，\'n）。根据定理5.3，\'n，\'nunder Hare（1）的极限值- β） β分别为0.01和0.81。在我们的测试中获得的值为‘n（1500）=0.0100‘n（1500）=0.8120^q0。9（\'n，\'n）=0.8980。与理论极限值的一致性几乎是完美的，^q0的值。9在独立条件下，与正确值相差不超过20个基点。然而，该测试基于整个30年的数据序列，只给出了一个估计。更好的评估方法是在更短的时间内进行评估。图8.3（b）s显示了长度为500的移动窗口的估计结果。这是zk与k的对比图，其中（8.3）zk=kXj=k-501（rj>ˇqj）表5.1中的置信区间表明，H仅偶尔会在5%的显著水平上被拒绝。0 500 1000 1500-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.060.07（a）整个样品。0 200 400 600 800 10000.840.860.880.90.920.940.960.9811.02（b）使用数据窗口500运行校准zkof（8.3）。图8.3。用β=0.90进行校准。最后，我们以行业标准值β=0.95重复这些测试。结果如图8.4所示。分位数预测算法与之前相同，只是我们现在将前20个返回值中的最大值（而不是第二大值）作为我们的预测值。如图8.4（a）所示，校准仅比之前稍差一点。

至于独立性测试，在这种情况下，\'n\'的极限值为（1- β） ，β=0.0025，0.9025，内部风险度量E估计值的验证为25，而达到的值为“n（1500）=0.0027”n（1500）=0.9007^q0。95（\'n，\'n）=0.9481。^q0的值。距离理论“独立性”值仍在20个基点以内。在图8.4（b）所示的runnin g 500测试中，即使在50%的显著水平下，估计值也不会超出表5.2中报告的范围。然而，该试验不太符合要求，因为在这种情况下，上壁障始终等于1，因此该试验减少为单面障。0 500 1000 1500-0.02-0.0100.010.020.030.040.05（a）整个样品校准。0 200 400 600 800 10000.910.920.930.940.950.960.970.980.991（b）使用数据窗口500运行校准zkof（8.3）。图8.4。用β=0.95进行校准。附录A.马尔可夫链模型在模型Hu，θ中，链的转移概率如表A.1所示，其中f=（1- u)/u ≤ 1.该表还显示了符号ni，i=1，4我们用e来计算大小为n的样本中四对00、11、01、10的出现次数。应该清楚的是，Nandn在这个问题中没有真正的作用，因为从代数角度来看，它必须是|n- n|≤ 1，所以对于大样本n≈ N≈（n）- N- n） 。xk-1xkpθ（xk | xk-1） pu（xk | xk-1） #在样本中0 1- θ 1 - un1 1- θfun0 1θun1 0θf 1- 表A.1。马尔可夫链转移概率，f=（1）- u)/u. 样本量为n+n+n+n。对于任何k，yk的概率质量分布为m（x）=1- u + (2u - 1） 当n>0时，（Y，…，Yn）ispθn（x，…，xn）=m（x）nYk=1pθ（xk | xk）的分布-1） 26马克·H·A。David当θ=uYkare i.i.d.具有联合分布pun（x，…，xn）=Qnm（xk）时，参考表A.1，似然比LRn=pθn/pu由rθn（x。

，xn）=（1- θ） n（1）- θf）nθn（θf）n（1）- u)-（n+n）u-（n+n）={（1）- θ） n（1）- θf）nθ（n+n）}{fn（1）- u)-（n+n）u-（n+n）}={（1）- θ） n（1）- θf）nθn-N-n} {fn（1）- u)-（n+n）u-（n+n）}当然还有LRun≡ 因此，对数似然比为rθ（n，…，n）=Lθ（n，n）+M（n，…，n），其中（A.1）Lθ（n，n）=nlog（1）- θ） +nlog（1）- θf）+（n- N- n） 对数θ和M=LLRθ- Lθ不依赖于θ。提议A.1。对于β≥, 最大似然估计由（A.2）^θ（\'n，\'n）=2f给出\'n-2+f\'n-1.-p（f）- c） +4f（c）- c）哪里-i=（n）- ni）/n=1- “我知道。证据为了计算最大似然估计，我们在θ上最大化Lθ。我们有Lθθ= -n（1）- θ)-fn（1）- θf）+n- N- nθ=Q（θ）θ（1）- θ)(1 - θf）式中（A.3）Q（θ）=fnθ- （n）- n+（n- n） f）θ+（n）- N- n） 。Q isD=（n）的判别式- n+（n- n） f）- 4fn（n）- N- n） =n[（f+c）- 4fc]，其中c=1-n+fnn，c=1-n+nn。根据我们的立场≥我们有f≤ 1，因此是c≥ c、 现在D可以表示为asD=n[（f- c） +4f（c）- c） ]中，显示D≥ 考虑到Q（0），Q（1/f）>0和Q（1）<0，我们很容易看到Q在每个区间（0，1），（1，1/f）s中都有一个根，使^θ最大∈ （0，1）是两个根中较小的一个，由（A.2）给出。提议A.2。在任何模型中，Hu，θ和u∈ [, 1], θ∈ [0,1]，估计量^θ是一致的，即^θ（\'n，\'n）→ θa.s.作为n→ ∞.内部风险度量E的验证提供了证据。与链Yk相关联的是四态马尔可夫链Yk，k=1，2。式中，当（Yk）时，Yk分别取1,2,3,4-1，Yk）=（0,0）、（1,1）、（0,1）、（1,0）。该链的转移矩阵=1.- θ0 θ0 θ′0 1 - θ′0 θ′0 1 - θ′1 - θ0θ首先考虑θ的情况∈ (0, 1). 然后，链是不可约的和循环的，因此具有唯一的平稳分布m，其特征是m′（I-P） =0，其中I是4×4单位矩阵。

这个方程组很容易求解=(1 - θ)(1 - u)u - (1 - u)θθ(1 - u)θ(1 - u),这里我们用（5.4）中的θ′代替。上面介绍的数字只是长度为n的样本中链Y访问状态i的次数。由于Y是重复出现的，（a.4）limn→∞nin=mia。s、 ，i=1，（A.3）的二次型Q可以写成（A.5）nQ（θ）=fθ- (1 - \'-n+（1）- \'n）f）θ+（1- \'n- \'\'n）。如果我们代入\'ni=mi，i=1，2，我们会发现Q（θ）=0，因此^θ（m，m）=θ。现在θ（\'n，\'n）是两个参数的连续函数，因此根据（a.4），我们有limn→∞θ（\'n，\'n）=θa.s.我们现在考虑θ=0，1的情况。当θ=0，Yk=yf对于所有k，所以n=n，n=0或n=0，n=n，从（A.1）中给出Lθ等于n log（1）的值-θ） 或n log（1-θf）分别。在这两种情况下，Lθ在θ=0=θ时最大。θ=1的情况有点棘手。给你-1= 0 => Yk=1，所以n≡ 0.示例路径由以单个零分隔的字符串组成。从1到0的波动概率为f，因此一串1的平均长度为1/f。每一个从1到0的波动和从1到N的波动，每一个长度为m的波动加上m- Nando中的平均增长率为1- 1 = (2u - 1)/(1 - u），这意味着，粗略地说，花在培养nis上的时间减少了（2u）- 1)/(1 - u))/((2u - 1)/(1 - u) + 2) = 2u - 1.我们的结论是→∞\'n=2u- 1 a.s.在极限值下，nLθ=（2u- 1） 日志（1）- θf）+2（1）- u）对数θ和关于θ的导数为-u(1 - f） f1- θf+2（1）- u)θ.这等于+∞ 在θ=0时为有限值，θ>0时为递减值。θ=1时的值为1- u>0，我们得出结论，最大值出现在θ=1处。现在，一个简单的连续性论证表明，limn→∞^θ（0，\'n）=1=qa。s28马克·H·A。David Referencesabdous，B.和B.Remillard（1995年）。

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