内部风险度量估计的验证

，Yk-1] =0，Gneiting和Raftery（2007）最大化而非最小化，并允许扩展实值评分规则。内部风险度量E的验证估计了11i。e、 北京=Pjk=1V（xk，Yk）是一个鞅。这是本文剩余部分中我们方法的基础。在Steinwart et al.（2014）所述的条件下，第（ii）项等同于在F.4类中可以得出统计数据s。预测的校准现在让我们回到风险管理的世界，一个动态的情况下- 1我们观察到一个实值价格序列Y，Yk-1和其他数据H的Rr值序列，香港-1并希望对Yk的行为做出一些预测。数据模型是一个离散时间随机过程（~Yk，~Hk），定义在s-tochasticbasis上(Ohm, G、 （Gk），P）。我们总是(Ohm, G、 （Gk））是R1+r值过程的正则空间，即。Ohm =Q∞k=1R1+r（k）（其中每个R1+r（k）都是R1+r的副本）配备了σ场，即由每个因子中的Borelσ场生成的p Productσ场。对于ω∈ Ohm 我们写ω=（ω，ω，…）≡ （~~Y（ω），~H（ω）），（~~Y（ω），~H（ω）），…）。过滤（Gk，k≥ 0）是过程的自然过滤（~Yk，~Hk），G=(Ohm, ). 在这种设置下，不同的模型相当于在同一概率空间上对概率测度P的不同选择Ohm. 下面我们将考虑概率测度的族P，我们将使用符号P={Pm，m∈ M} ，其中M是一个任意的ind-ex集，用于识别P的不同元素Pmof。关于pmi的期望值表示为Em。不假设观测数据是某个模型M的样本函数∈ M、 或者任何型号的。引理4.1。设pm为任何概率测度(Ohm, G、 （Gk））如上所述。那么foreach k≥ 1在给定的Gk中，有一个正则的右连续条件分布-1，即。

A功能Fmk:R×Ohm → [0，1]证明（i）对于a.e.ω，Fmk（·ω）是Rand（ii）上每个x的分布函数∈ R、 Fmk（x，ω）=Pm[Yk≤ x | Gk-1] a.s.（下午）。证据对于k=1，Fm（x，ω）=Pm[~Y≤ x] 无条件分布函数。对于k>1，引理的断言只涉及有限维向量r.v.（~Y，~H），（~Yk）-1、~Hk-1） ，Yk）∈ Rk（1+r）-r、 正则条件分布的存在性源自Dud-ley（1989）的定理10.2.2。有了这些准备工作，我们现在想介绍相对于一类模型P的无定态s的校准概念。让I（P）表示一组严格递增的可预测过程（bn）(Ohm, （Gk）使limn→∞bn=∞ a、 美国。下午∈ P在这种情况下，“可预测”意味着对于每个k，bk是Gk-1-可测量。通常，BK实际上是确定性的。校准函数是一个可测量的函数l : R→ R、 选择使（4.1）Em[l（Yk，s（Fmk））|Gk-1] =0对于所有Pmin s ome class P.形式上，这个属性等于l 是第3.2节定义的识别函数，但我们使用不同的符号，因为这里有一个额外的成分b∈ I（P），所以l 就在这一对的e分量上(l, b） 。规范化序列在可诱导性理论中没有直接对应物。我们将在下文中看到，在涉及预期的统计数据的情况下，可能有必要采用随机范数序列，然后校准的条件变得更加复杂。定义4.2。一个统计数字是(l, b） -在集合P={Pm:m中校准∈ M} 概率测量(Ohm, G） ，在哪里l 是一个校准功能，b∈ I（P），if（4.2）limn→∞bNxk=1l（Yk，s（Fmk））=0 Pm-a、 每米∈ M.12马克·H·A。

戴维斯根据弱序列原理，标准（4.2）仅取决于数据的实际值和预测的数值。实际上，我们观察数据序列（Y，H，…，（Yk-1、香港-1） 然后根据某种算法，对我们所说的s（Fk）产生一个估计π（k）。校准过程的重点是检查我们产生的‘统计’π（n）是否可以合理地被接受为与某些假定的‘条件分布’有关。具体来说，我们的预测质量是通过计算jn（Y，π）=bnnXk=1来衡量的l（Yk，π（k））。校准是一种“现实检查”：它说，如果（Yi，H（i））实际上是某个过程的样本函数，并且我们确实使用了正确的预测器π（i）=s（Fi），那么对于大n，损失jn将趋于零，这将是真实的，无论生成Y（i）的模型是什么，在P类中，这都是Jnis的最小值，这证明我们的预测过程是经过良好校准的。当P是一大类d分布，而BN是保证在（4.2）f或所有P中收敛的最慢发散序列时，证据最强∈ P.然而，校准只是一个必要条件。我们将在下面的第5.3节中看到，在校准测试中可能存在“无意义”的预测因子，而这些预测因子几乎与数据无关。这意味着，为了完成这幅图，我们需要更多的测试来确定我们的预测是否与数据相关，根据明确规定的标准。VaR估计的例子见第7.1.5节。分位数预测分位数预测在某种意义上是概率预测的“对偶”。

在第2.4节描述的天气预报问题中，事件（有雨/无雨）总是相同的，我们预测概率pn，而在分位数预测中，概率是固定的，pn=1- β，其中β是重要级别，预测者指定事件（损失≥ qn）通过选择qn。如第4节所述，我们的模型集是(Ohm, G、 （Gk），（Yk，~Hk），下午，下午∈ pwp是一类测度，Fmk（x，ω）是给定的ykgk的条件分布函数-1欠测Pm∈ P.设P是所有概率测度的集合(Ohm , G） ，并定义（5.1）Pc={Pm∈ P:k、 Fmk（·ω）∈ 对于几乎所有ω∈ Ohm}.这里，Fc是连续分布函数的集合。对于风险管理应用而言，连续性限制并不重要；任何风险管理模型都无法预测未来价格特定值的正可能性。因此，Pc是P的最大相关子集。以下结果是罗森布拉特（Rosenblatt，1952）的一个著名结果的轻微扩展；如第3.3节所述，它广泛应用于统计学和计量经济学，Holzmann和Eulert（2014）在与本文内容大致相同的背景下也使用了它。我们在下面给出一个陈述和简单的证明，以强调这样一个事实，即结果绝对不会对绝对基础或yk的联合分布施加任何限制，除了所有条件分布都是连续的这一要求之外。如前所述，Fm表示Y的条件分布函数，除非该模型基于蒙特卡罗生成的经验分布，在这种情况下，需要某种形式的平滑。验证内部风险度量E估计值为5.1。假设下午∈ Pc，由上述（5.1）定义。然后随机变量Uk=Fmk（~Yk），k=1，2。是均匀分布U[0,1]的i.i.d。证据最多有可数的间隔Ik，k=。

- 1, 0, 1, 2, . . . 具有正的长度，使得Fm在vk<vk+1时取恒定值vkon Ik。为了x/∈ I=滑雪、Fmis 11和Pm[U≤ u] =Pm[~Y≤ （Fm）-1（u）]=u.由于我的测量值为0，我们得出结论~ U[0,1]。同样，英国~ U[0，1]表示每个k>1。现在假设你，不依赖于某些n.ThenPm[Ui]≤ ui，i=1，n+1]=Em“nYi=1（用户界面≤ui）！Pm[Un+1≤ un+1 | Gn]#=Em“nYi=1（用户界面）≤ui）#un+1=n+1Yi=1ui。因此，（Ui）的所有有限维分布都是i.i.d.U[0,1]。5.1. 分位数估计的校准。对于β∈ （0，1）让qmkdenote表示β的第四个分位数ofFmk，即qmk=inf{x:Fmk（x）≥ β}. qmkis an Gk-1-每个k>0的可测量随机变量。我们使用校准功能l 定义见上文（3.4）。定理5.2。如果下午∈ Pc，定义为（5.1），然后对于任何序列bn∈ I（P），（5.2）bnn1/2（对数n）1/2nXk=1（1（Yk≤qmk）- β) → 0 a.s.（Pn）因此，根据定义4.2，分位数统计量s（F）=qβ为（l，b′）校准，其中l（x，q）=1（x≤q）- β和b′k=bk（k log k）1/2。证据通过分布函数的单调性，（Yk≤ qmk）<=> （英国）≤ Fmk（qmk））<=> （英国）≤ β).现在的结果来自于第5.1点，并将重对数定律（LIL）（Dudley，1989，T heorem 12.5.1）应用于随机变量序列Zk=1（英国≤β)- β、 这是平均值为0，方差为β（1）的i.i.d- β). 实际上，定义ζ（n）=σ（2n log n）1/2nXk=1zk，其中σ=pβ（1- β). 然后，LIL声称，几乎可以肯定的是，lim supn→∞ζ（n）=1，lim infn→∞ζ（n）=-（5.2）中的收敛如下。当然，如果收敛性在（5.2）中成立，那么如果我们用b′替换序列b也成立，这样b′n≥ 为了所有人。

特别是，传统的相对频率测量值（5.3）nnXk=1（1（Yk≤qmk）- β） 在相同条件下收敛；这也直接源于拉金朗伯定律（SLLN）（达德利，1989，定理8.3.5）；然而，LIL给出了一个更强的结果。定理5.2的关键之处在于，分位数预测的校准基本上不需要对生成数据的机制施加任何条件。正如我们将在下文中看到的那样，我们不能期望在估计其他风险指标时产生如此强烈的结果。定理5.2是一个“理论”结果，因为（5.2）是一个尾属性，不受任何初始数据段的影响。尽管如此，计算相对频率标记H.A实际上是相关的。戴维斯（5.3）。正如我们将在下面第8节中展示的那样，这样做可以提供令人信服的证据，证明我们的预测程序经过了良好校准，即产生了正确的阈值超标相对频率，与qmk是Fmk的真实β分位数相一致。为了获得进一步的证据，我们可以通过统计检验命题5.1的另一个主张，即随机变量（Uk），以及二元变量1（Yk）≤qmk）是独立的。接下来我们将讨论这个问题。5.2. 一种测试序列相关性的方法。根据我们的预测算法和数据返回序列，我们生成一个序列a=（a，a，…）二进制r.v.ak=1（Yk≤qmk）。上述测试证实a与P[ak=1]=β的模型一致。我们现在想测试i.i.d.中的第一个“i”，即无效假设：P[ak=1]=β的akare i.i.d。有很多测试可以解决这个问题；第3.3节给出了一些参考资料。另一种可行的方法是使用非参数测试，如沃尔福威茨“运行”测试（Gibbons and Chakraborti，2010，§6.2）。

然而，因为我们已经知道了边际概率β，而且当j<< k、 使用“局部”依赖性测试似乎是合适的。对于这一点，一组可能的替代物isHβ，θ：a是来自平稳分布P[ak=1]=β的2态马尔可夫链的样本。在Hβ下，θ的跃迁几率为P[a=1]=βP[ak=1 | ak-1=0]=θP[ak=1 | ak-1= 1] = θ′.如果β=P[a=1]=P[a=1 | a=0]（1），则平稳分布为β- β） +P[a=1 | a=1]β=θ（1- β) + θ′β.因此，对于给定的β，θ和θ′通过（5.4）θ′=1相关联-1.- βθ，所以Hβ，θ是一个由θ索引的单参数族∈ [0,1]，当β≥. 假设β≥没有通用性，否则我们可以交换“0”和“1”的角色。i.i.d.的情况是θ=θ′=β。对数似然比LLRnθ（a）=dPβ，θ/dP由lrnθ（a）=const+nlog（1）给出- θ） +nlog（1）- θf）+（n- N- n） 对数（θ），其中f=（1- β） /β和n，分别是a中的00和11对数。我们表示“ni=ni/n，i=1,2”。定理5.3。假设β≥. 那么（i）θ的最大似然估计为（5.5）^θβ（a）=2f1.- n+f（1）- \'\'n）-p（f）- c） +4f（c）- c）其中c=1- f\'n- n，c=1- \'n- n.Christo Offersen（1998）考虑了马尔可夫链替代方案，但没有平稳性条件。内部风险度量E的验证估计了15（ii）估计量是一致的：在Hβ下，θ几乎肯定为n→ ∞\'n→ N*= (1 - θ)(1 - β） \'n→ N*= β - (1 - β） θ和^θβ（n*, N*) = θ.下面附录A中的命题A.1和A.2给出了该结果的结果。假设aiare独立于Hβ，θ等于θ=β。在这种情况下，n*= (1 - β） ，n*= β和^θβ（n*, N*) = β. 我们可以使用定理5.3的结果来定义显著水平γ下的a2侧检验，在该检验中，如果θ（\'n，\'n）被His拒绝/∈ [t，t]其中区间[0，t）和d（t，1]在H下都有概率γ。

终点t，皮重很容易通过模拟确定。表5.1和表5.2分别给出了β=0.9、0.95、f或四个点火水平γ值时的值。本试验的应用见下文第8节。γ数据长度250数据长度500数据长度10001%0.7038 1.0000 0.7785 1.0000 0.8201 0.96725%0.7676 1.0000 0.8103 0.9758 0.8418 0.953810%0.7926 1.0000 0.8272 0.9652 0.8519 0.945050%0.8643 0.9437 0.8728 0.9281 0.8823 0.9200表5.1。置信区间t，t估计值θβ，β=0.90。γ数据长度250数据长度500数据长度10001%0.6080 1.0000 0.7854 1.0000 0.8516 1.00005%0.7600 1.0000 0.8398 1.0000 0.8800 1.000010%0.8012 1.0000 0.8648 1.0000 0.8940 1.000050%0.9133 1.0000 0.9249 1.0000 0.9308 0.9732表5.2。置信区间t，t估计值θβ，β=0.95.5.3。一个无意义的分位数预测器。即使分位数预测器通过了校准和独立性测试，它可能仍然严重不足。Holzmann和Eulert（2014，§3.1）给出了一个关于95%分位数的显著例子。分位数预测器在每100个日期中有95个被设置为非常高的水平h，在剩余的5个日期中被设置为非常低的水平l。然后，经验超越频率几乎正好为5%，尽管预测值与数据几乎没有关联。这个例子的一个变体，已经由Engle和Manganelli（2004）给出，将采用i.i.d.Bernoulli序列BKP[Bk=1]=0.05，并将分位数预测值定义为^qk=lBk+h（1-Bk）。然后几乎总是1Yk≥^qk=Bk，所以这个预测器将通过定理5.2的LIL测试和第5节的独立性测试。2.此类示例对预测的验证构成了重大挑战。在分布预测的情况下，如第3.3节所述，Gneiting等人。

（2007）提出了一种基于“最大化预测分布的锐度以进行校准”的诊断方法。“锐度”的概念是，在给定两种分布的情况下，应优先选择具有最小离散度的分布（例如，通过分位数间范围测量）。尽管这可能适用于某些应用，例如预测宏观经济变量，但这并不存在争议，见Mitchell和Wallace（2011）。无论如何，原则不是16马克·H·A。如本文所述，DAVIS适用于点预测。对于“无意义”的例子，一个合理的标准可能是，如果A对数据比B更敏感，那么两个校准测试都能通过，那么预测因子A比预测因子B更可取。如果预测基于数据向量X=（X，…，Xn），其中X是最新的数据点，我们可以计算方向导数ZA=lim↓0（A（X+Z）-49a)ZB表示一系列确定性扰动向量Z，如果a具有更大的平均导数，则更喜欢a而不是B。Z的明显选择可能是1=（1，…，1）或Zk=αn-kwithα∈ （0,1）如果认为对近期数据的敏感性更重要。Z=1时，无意义预测器的灵敏度实际上等于零，而第8节中介绍的分位数预测器的灵敏度接近1。对这些思想的进一步研究是未来研究的课题。下文第7.1节描述了一种完全不同的诊断方法，成功地将这两个预测因素分开。所有研究人员都关注的一件事是，虽然校准是根据弱序贯原理，即数据和预测值的特性共同进行的，但校准之外的诊断只是预测值的有趣行为。6.

涉及平均值的风险度量CVaR等风险度量涉及条件分布函数Fmk的整合。在本节中，我们将考虑估算条件均值（6.1）umk=ZRxFmk（dx）的直接预测问题。我们必须假设cand idate模型的类别是mostP=下午∈ P:k、 ZR|x|Fmk（dx）<∞.在这种情况下，条件分布的连续性是不需要的，所以PI不是PC的su bset。事实上，这一问题非常普遍，足以包括一般功能f的formRf（x）Fmk（dx）风险度量：我们可以简单地定义一个新的模型类（~Y′，~H′），其中~Y′k=f（Yk）和~H′k=（Yk，Hk）。注意，如果f是一个类似运算的函数，比如f（x）=（x- K） +thenf（~Yk）=0，对于某些度量值Pm，具有正概率，因此我们不需要Pm是方便的∈ Pc.6.1。普遍性。要问的第一个问题是，我们是否可以通过使用命题5.1的i.i.d.序列得到任何“通用”结果，类似于定理5.2，用于估算umk。答案似乎是否定的。使定理5.2起作用的是等式（~Yk）≤qnk）- β=1（英国）≤β)- β、 通过变换变量，我们得到了通用的校准函数l（u，β）=1（u≤β)-β.在预期值预测的情况下，自然标准为nnxk=1（~Yk）- umk）→ 0.通过分布函数Fmkgives us asummandUk映射第k项中的两个变量- Fmk（umk）。当且仅当存在一个常数c，使得（6.2）Fmk（umk）=c a.s.对于所有Pm，内部风险度量E的验证估计17，这意味着umk与固定的Fmk分位数c一致时，这转化为通用校准函数。但如果是这种情况，问题就归结为分位数估计，第5节的结果也适用。