内部风险度量估计的验证

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英文标题：
《Verification of internal risk measure estimates》
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作者：
Mark H.A. Davis
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper concerns sequential computation of risk measures for financial data and asks how, given a risk measurement procedure, we can tell whether the answers it produces are `correct\'. We draw the distinction between `external\' and `internal\' risk measures and concentrate on the latter, where we observe data in real time, make predictions and observe outcomes. It is argued that evaluation of such procedures is best addressed from the point of view of probability forecasting or Dawid\'s theory of `prequential statistics\' [Dawid, JRSS(A)1984]. We introduce a concept of `calibration\' of a risk measure in a dynamic setting, following the precepts of Dawid\'s weak and strong prequential principles, and examine its application to quantile forecasting (VaR -- value at risk) and to mean estimation (applicable to CVaR -- expected shortfall). The relationship between these ideas and `elicitability\' [Gneiting, JASA 2011] is examined. We show in particular that VaR has special properties not shared by any other risk measure. Turning to CVaR we argue that its main deficiency is the unquantifiable tail dependence of estimators. In a final section we show that a simple data-driven feedback algorithm can produce VaR estimates on financial data that easily pass both the consistency test and a further newly-introduced statistical test for independence of a binary sequence.
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中文摘要：
本文关注金融数据风险度量的顺序计算，并询问在给定风险度量程序的情况下，我们如何判断它产生的答案是否“正确”。我们区分了“外部”和“内部”风险度量，并专注于后者，即我们实时观察数据、做出预测和观察结果。有人认为，最好从概率预测或Dawid的“序贯统计”理论的角度来评估此类程序【Dawid，JRSS（A）1984】。我们在动态环境中引入了风险度量的“校准”概念，遵循Dawid的弱序和强序原则，并研究了其在分位数预测（VaR——风险值）和均值估计（适用于CVaR——预期短缺）中的应用。研究了这些想法与“可启发性”之间的关系[Gneiting，JASA 2011]。我们特别证明了VaR具有其他任何风险度量所不具有的特殊性质。关于CVaR，我们认为它的主要缺陷是估计量的不可量化尾部依赖性。在最后一节中，我们展示了一个简单的数据驱动反馈算法可以生成金融数据的VaR估计，该算法可以轻松通过一致性测试和新引入的二元序列独立性统计测试。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Verification_of_internal_risk_measure_estimates.pdf (461.78 KB)

2022-5-7 01:17:52 上传

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关键词：风险度量 风险度 independence Applications Quantitative

验证内部风险度量评估标志H.A.DavidisStract。本文关注金融数据风险度量的顺序计算，并询问在给定风险度量程序的情况下，我们如何判断其产生的答案是否“正确”。我们区分了“外部”和“内部”风险度量，并专注于后者，即我们实时观察数据、做出预测和观察ou TCOME。有人认为，最好从可能性预测或Dawid的“序贯统计”理论的角度来评估此类过程[Dawid，JRSS（A）1984]。我们引入了一个在动态环境中“校准”风险度量的概念，遵循Dawid的弱和强p频率原则，并检查其在定量预测（VaR——风险值）和均值估计（适用于CVaR——预期短缺）中的应用。研究了这些想法与“可启发性”之间的关系[Gneiting，JASA 2011]。我们特别证明了VaR具有其他风险度量所不具有的特殊性质。关于CVaR，我们认为它的主要缺陷是估值器的不可量化尾部依赖性。在最后一节中，我们展示了一个简单的数据驱动反馈算法可以产生金融数据的VaR估计，这些数据很容易通过一致性测试和新引入的二元序列独立性统计测试。JEL分类：C13 C32 C44 C53 G17关键词：风险度量、概率预测、序贯统计、分位数和均值预测、估计的一致性。1.引言计算风险度量对于金融服务业来说至关重要，无论是从短期风险管理的角度还是出于监管资本配置的目的；最近的一项调查见Embrechts和Hofer（2014）。

对于一个资产组合，arisk测度通常被解释为t和t+h之间的资产组合损失的条件分布F的一些函数，考虑到目前为止的所有市场信息，时间t。对于市场风险管理，预测期h通常为一周或10天，对于信贷相关资产或保险，预测期h略长。最广泛使用的风险度量是风险价值VaR和CVaR，即条件风险价值、预期短缺或预期损失Beyond VaR。正式定义如下。一般分销的CVaR定义涉及一些微妙之处，读者可参考Rockafellar和Uryasev（2002）。定义1.1。设F是实线和β上的右连续分布函数∈ (0, 1).日期：2018年8月24日。作者感谢Paul Embrechts向他介绍了这个主题，感谢Phil Dawid对序贯统计学的讨论，感谢Johanna Ziegel提供了非常有用的评论和建议。他还感谢两位匿名裁判仔细阅读了论文，并提出了许多建设性的改进建议。其中一些工作是在波恩大学豪斯多夫数学研究所进行的，作者在2013年8月的《经济学和金融中的随机动力学》三个月期项目期间访问了该研究所。这些讨论对澄清本文的内容很有帮助。在关于风险管理的文献中，关于损失是应该被指定为正损失还是负损失，尚无固定的惯例。在本文中，损失是正的，所以我们关注分布的右尾。分布函数将被认为是右连续的，即FY（y）=P[y≤ y] .2马克·H·A。

DAVIS（i）β分位数是区间[q]-β、 q+β）如果F（q+β）>F（q+β）-) 时间间隔[q]-β、 q+β]否则，其中q-β=inf{y:F（y）≥ β} q+β=inf{y:F（y）>β}。（ii）β级的风险值为VaRβ=q-β.（iii）CVaRβ是β尾分布的平均值，由fβ（y）=（0，y<q）给出-βF（y）-β1-β、 y≥ Q-β.明确地说，CVaRβ=VaRβ+1- βZ（q）-β,∞)（y）- Q-β） F（dy）（1.1）=1- β“ZF（q-β） q-τdτ+q-β（F（β）- β)#.（1.2）表达式（1.1）量化了VaR和CVaR之间的差距，而（1.2）提供了CVaR和分位数之间的关系。当β-分位数没有跳变时，（1.2）降低到常见的表达CVARβ=1- βZβVaRτdτ。关于VaR和CVaR的相对优点，以及作为一种工具的风险管理过程，人们再次展开了辩论。Artzner、Delbaen、Eber和Heath（1999）的开创性论文引发了大量关于风险度量的文献，其中制定了“一致”风险度量的公理，但这些文献中的大部分都是在纯数学框架中呈现的，没有考虑数据来自何处、如何计算风险度量或练习的最终目的是什么。显然，风险管理过程的任何评估都必须包含这些实际考虑因素。例如，Cont、Deguest和Scandolo（2010）专注于计算的稳定性，而不是模型的稳定性，并得出结论，CVaR的计算受到VaR计算中不存在的不可避免的不稳定性的影响，这挑战了当时的传统智慧，即CVaR是有效的，因为它是一致的，而VaR不是。类似地，寇、彭和海德（2013）对“外部”和“内部”风险管理进行了区分，我们将在下面的第2.3节中讨论。

他们给出了一套适用于外部风险管理的修正公理，并表明风险价值确实满足这些公理。他们提出了一个有趣的建议，即用条件中值差额CMVaR替代CVaR。当然，在阈值水平β下，CMVaR只是（1+β）水平上的VaR，因此CMVaR满足寇鹏-海德公理，并具有VaR的所有计算优势，同时尝试量化尾部风险。更多评论见第7节。在本文中，我们采取了不同的策略。考虑到我们已经选择了风险度量和计算算法，当我们将算法应用于实际数据时，我们如何判断答案是否正确？这绝不是一个简单的问题，原因很清楚。例如，在评估β级r isk的值时，我们在时间（k）上计算的值- 1） is（Fmk）-1（β），假设所有信息达到（k）时，投资组合收益率的条件分布的β次分位数- 1） ，根据选定的模型计算，标记为m。即使模型m是时不变的，FMKI也会为每个k提供不同的租金分布，因为条件事件是不同的。当时间k到达时，我们观察到一个数字，它可能超过或不超过预测的分位数水平。如何评估此类预测的质量是概率预测的一个重要方面（Dawid，1986，Lai，Shen，and Gross，2011，Gneiting，2011），这是一个直到最近才被研究人员在财务风险验证内部风险度量估计3管理中基本忽略的统计数据，尽管其一些技术经常被从业者以各种方式使用。我们采用的方法受到了P.Dawid的序数概率理论（Dawid，1984）的启发，尤其是特别具有启发性的论文Dawid and d Vovk（1999）。论文的布局如下。

在第2节中，我们讨论了时间序列预测的基本原理，强调了金融价格数据的特殊特征。我们还介绍了外部风险度量和内部风险度量之间的本质区别，并对后续方法在后一种情况下的适用性进行了一些评论。第3节从统计决策理论和总结中得出我们需要的信息。本文的核心是第4节，其中定义4.2正式定义了在动态环境中校准风险管理统计数据的概念，我们演示了其与可获取性识别函数的关系。在第5节中，我们在一些细节中检查了分位数预测和变量估计的情况，并表明这种情况具有特别有利的特征：在基本上没有条件的情况下，在基础数据上，分位数统计是可校准的（定理5.2）。在本节中，我们还介绍了一种独立性辅助测试，其详细信息见附录A，我们还讨论了Holzmann和Eulert（2014）给出的一个例子，表明校准和独立性，尽管正确预测的必要条件远远不够。第6节包括均值估计，包括CVaR。这里的主要校准结果是定理6.5，利用鞅收敛定理。我们将在第7节更详细地讨论CVaR问题；首先，我们将Rockafellar和Uryasev（2000）的CVaR特征描述为最小化问题的解决方案，并将其作为VaR预测值的进一步验证测试；然后，我们强调了这一领域的主要问题：无法量化的尾部依赖。

最后，我们通过观察FTSE100股指一周前的分位数预测来说明这些想法，表明一个简单的数据驱动算法可以生成一系列分位数预测，这些预测很容易通过校准和独立性测试。2.预测的基本原理2。1.背景。财务风险管理本质上是关于预测的：鉴于我们认为相关的信息，我们必须对某个投资组合在某个持有期内的可能回报进行评估，通常通过一些风险度量进行量化。首先，将这个问题放在时间序列预测的一般背景下，可能会有所帮助。在任何此类问题中，所采用的方法必须取决于数据的性质、我们试图预测的内容以及预测的目的。这是一个可能性的层次结构。（i） 最简单的情况是投币：整个概率结构是公理化固定的，不需要统计建模。没有人会反对s的说法，即在接下来的n次投掷中，头部数量的分布是二项分布B（n，0.5）。（ii）数据是由一个被充分理解和稳定的物理机制产生的，例如盖革计数器检测放射性排放。从物理学上可以清楚地看出，计数序列将构成一个泊松过程。我们可以根据过去的数据来估计它的变化率，没有理由认为未来的变化率会有所不同，或者最多会以可预测的方式变化，至少在短时间内是如此。（iii）接下来是天气预报。这与前一种情况（ii）相似，因为预测主要来自描述不成熟物理的数学模型，但后一种情况当然非常复杂；参见华纳（2010）的权威报道。

预测在很大程度上与模型参数和/或初始条件中的扰动对模型的影响的研究有关，这一主题本身已成为一门学科，其名称为不确定性量化（Smith，2014）。其他方法包括4马克H.A。DAVISmore是模式匹配的统计主题，在这个主题中，过去的天气模式与今天的天气模式相匹配。在气候科学中，有必要区分两个截然不同的问题：（a）短期天气预报（长达一周）和（b）极端值问题，如防火屏障设计、沿海地区淹没可能性的估计或龙卷风的发生率和严重程度。短期预测可以通过检查预测是否经过良好的“校准”来监控。我们在下面举一个例子，实际上，本文的主要目的是将这个想法形式化。案例（b）中处理问题的技术完全不同，因为从定义上讲，数据是稀疏的。防洪堤设计是一个工程问题，其中复杂的数学模型和极值理论（Embrechts、Kl¨uppelberg和Mikosch，1997）结合在一起，以对各种高水位线的超出频率给出最佳估计；接下来是成本效益分析，其中保护水平与提供保护的成本进行权衡。关键是，我们永远不会处于案例（a）的位置，在这种情况下，一系列预测可以对照后续结果进行检查。取而代之的是，物理学和数据结合起来，收集证据，支持一个决定，我们希望，这个决定的后果永远不会被毁灭。（iv）当我们没有物理模型，但有足够的“合理可预测”的数据时，统计就有了自己的存在。

一个恰当的例子是由车祸引起的一系列保险索赔。没有物理理论，但有大量相关数据。个别事故在很大程度上是独立的，事故的普遍发生率及其引发的索赔取决于众所周知的因素，如驾驶员的年龄分布、维修成本、交通量的增长以及工程开发、速度限制等带来的安全性的改善。在这些情况下，可以建立高度可信的统计模型，准确了解被保险公司可能面临的索赔。2.2. 财务风险管理。现在我们转到本文的主题，金融资产组合风险管理参数的计算。这个问题与上文（i）-（iii）中的情况几乎没有什么不同。这种现象的不可解释的原因是，经济是一种中尺度现象：太大，无法完整详细地建模，但太小，太相互关联，无法用统计力学的方法来处理。作为一个代表性数据集，我们将采用图2.1（a）中显示的序列，即1984-2013年FTSE100股指30年的周值。附图2.1（b）1985 1990 1995 2000 2005 2015（a）指数值。1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050.050.10.15（b）返回。图2.1。英国《金融时报》SE100指数：1994-2013年的周值显示了相关的收益序列Yn=（Sn- 锡-1） /Sn-并展示了财务公关数据的典型特征：内部风险度量5估计波动性的明显非平稳性和高度“突发性”验证。

水平规则为±0.06级，大约为1%和99%分位数。第7.1节将需要这些。-3.4-3.2-3.-2.8-2.6-2.4-2.2-2.-1.8-1.6-8.-7.-6.-5.-4.-3.-2（a）左尾（x轴反转）-3.5-3.-2.5-2.-7.5-7.-6.5-6.-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5（b）右尾翼图2.2。经验分布，在对数尺度上左右各占5%。图2.2显示了对数标度上经验回报分布的左右5%=50点。基于这些数据，我们得出结论，经验分布具有幂律尾，指数κ分别为2.35和3.25。当然，至少在过去50年里，这些系列一直是密集研究的主题。Beno^it Mandelbrot（Mandelbrot and Taylor，1967，Mandelbrot，1997）是一位著名的、或许也是最有创意的贡献者，他引入了重尾分数布朗运动作为一种资产价格模型，这个主题已经成为计量经济学（例如Bollerslev，1986，Campbell，Lo，and MacKinley，1990）和统计学（Cox，Hinkley，and Barndor ff-Nielsen，1996）的主流。C ont（2001）从“定量”的角度对其进行了极好的描述。然而，令人好奇的是，尽管从当代风险管理的角度来看，其他方面几乎不重要，但这些工作很少直接针对预测。2.3. 外部风险措施。我们在上面提到了Kou等人（2013年）在“外部”和“内部”风险度量之间的区别。