作为最优控制问题的财政刺激

现在，我们证明了这项工作的另一个关键结果：只要使用最优策略，公司的净值就会严格地更大；此外，一家公司从政府借的钱越多，它的净值就越大。定理2。考虑x>0和两对参数（u，u*) 和（u，u）*).（i） u和u=如果*> u*≥ u，然后是V（x；u，u*) > V（x；u，u）*).（ii）如果：*= u*= u*和u<u≤ u*, 然后V（x；u，u*) > V（x；u，u）*).证据第（i）部分的证明依赖于用于提供REM 1的验证技术，并需要命题2的结果。因此，本部分的证据被归入第6.2节。为了证明第（ii）部分，让^a=^a（u，u*) 是f（a；u，u）的溶液*) = 0.使用（9）中给出的障碍支付过程的定义，以五元组（x，u，u）为特征的公司的最优控制*, σ、 r）可由（M^a（t；u*), (u*- u）t）。对于另一家具有（x，u，u）特征的公司*, σ、 r）、政策（M^a（t；u）*), (u*- u）t）是可接受的，这意味着以低于u的利率借钱支付股息*- u< u*- u. 因此，V（x；u，u*) ≥ 前任Zτ0-E-rtdM^a（t；u）*) -Zτ（u）*- u）e-rtdt= V（x；u，u）*) + 前任Zτ（u）- u）e-rtdt.给定任意x>0，我们得到τ>0，因此定理的第（ii）部分来自于假设u>u。股息支付限制的选择我们比较^a=^a（u，u*) 有两个次优选择：\'\'a=^a（u，u），a*= ^a（u）*, u*).阈值a与等式（7）中定义的阈值相同，这是不允许借贷的Radner–Shepp模型的最佳阈值。

阈值为a*代表一家公司的贪婪策略，该公司拥有原始利润u，并以c=u的利率借款*- u; 该公司不在乎偿还贷款，因此选择使用*最大化预期的总分红（当然，a*也是Radner–Shepp模型的最佳阈值，其中企业的利润率为u*.)我们首先证明了^a总是小于拉德纳-谢普阈值a。中间结果是自^a以来∈ （0，`a），^a可以使用标准的一维优化算法进行数值计算。提议2。假设*≥ u > 0. 那么^a=^a（u，u*) ≤ ^a（u，u）=“awhere”a是Radner-Shepp模型的最佳阈值。此外，对于任何*> u*≥ u，我们有严格的不等式^a（u，u）*) < ^a（u，u）*).证据回想一下，在（8）中，我们发现V（^a（u，u）；u，u）=u/r。这实际上是标识（^a（u，u）的一个特例*); u, u*) =ur代表u*≥ u，可使用定理1中的边界条件直接验证。乘以（5），V（x；u，u*) ≥ V（x；u，u）表示每x。此外，V（x；u，u）和V（x；u，u*) 在x中单调增加。因此，V（\'a；u，u）=V（^a；u，u）*) = u/rimplies^a≤ ’a.为了证明严格不等式，考虑（14）中定义的函数和映射*7.→ f（a；u，u）*) 其中fdenotes是关于toa的导数。常规但繁重的计算f（a；u，u）*)u*= -rσe-γ*+a[（u）*)+ 2rσ]3/2n1+h（u*) + e2h（u）*)（h（u）*) - 1） o，其中h（u*) = aσ-2p（u）*)+ 2rσ。通过计算前两个导数，可以验证h 7→ 1+h+e2h（h- 1） 在（0，∞). 因此≥ 0, u*7.→ f（a；u，u）*) 是单调递减的。结合f（0；u，u*) = u/r>0和f（a；u，u*) < 0表示任何a≥ 0，我们得出结论*7.→ ^a（u，u）*) 也是严格单调递减的。我们在下面的命题3中证明，^a也小于greedya阈值*给定u*> u.

因此，在没有被问责的情况下，接受贷款的公司将在以后支付股息，这可能会令人惊讶。提议3。假设*> u > 0. 那么^a=^a（u，u*) < ^a（u）*, u*) = A.*哪里*是拉德纳-谢普模型的最佳阈值，其收益率为u*. 更一般地说，任何情况下*≥ u>u，我们有^a（u，u*) > ^a（u，u）*).证据我们只需要证明一般的索赔，因为*= ^a（u）*, u*) 这是一种特殊情况。回想一下，对于任何情况≤ u*, ^a（u，u）*) 是f（a；u，u）的溶液*) = 其中f如（14）所定义，f（a；u，u）*) 在a中是单调递减的。在f的表达式中，只有最后一项c=u*- u取决于u。因为u只改变函数f（a；u，u）的垂直位移，而不改变其形状*),我们得出结论，^a（u，u*) > ^a（u，u）*) 作为u*- u< u*- u.为了进一步了解这个问题，这里我们给出了不等式^a的另一种证明≤ A.*. 在我们的模型中，一家公司的净值是总股息支付和总贷款成本之间的差额（两者都是时间折扣）。我们使用（Ma（t；u*), ct）表示一种保单，该保单始终以最高利率c借款，并支付超过a>0的任何金额。对于此类保单，预期净值可以写为asVa（x；u，u）*) = Da（x；u）*) - Ca（x；u，u）*) （15） 式中，Da（总股息支付）如（10）所定义，可由（11）计算，总贷款成本由Ca（x）=Ca（x；u，u）给出*) = ExZτ（a，u）*)总工程师-rtdt。请注意，由于该公司以最高利率借款，Da和τ（破产时间）均不取决于原始利率u。由于^a是方程（3）中值函数的最佳屏障，我们得到了^a（x；u*) - C^a（x；u，u）*) = V^a（x）≥ 弗吉尼亚州*（x） =Da*（x；u）*) - Ca*（x；u，u）*).另一方面，7→ Da（x；u）*) 在a=a时最大化*自从*是Radner–Shepp模型的最佳选择，支持率为u*.

因此，D^a（x；u）*) ≤ 爸爸*（x；u）*),这进一步意味着C^a（x）≤ Ca*（x） 。对于固定u，u*, 地图是7→Ca（x）是单调递增的，因为屏障的值越大，意味着公司的预期“寿命”越长。因此，我们得出结论：^a≤ A.*.要计算函数Ca，请注意Ca（x；u，u*) =cr{1- 镓（x；u）*)} , 式中ga（x；u）*) = 告密-rτ（a，u）*)i、 （16）如Shreve等人（1984）所示，对于x∈ [0，a]，ga（x）是微分方程L的解*g=0，边界条件g（a）=0，g（0）=1（c.f.Darling&Siegert，1953；Lehoczky，1977）。简单的计算得到thatga（x；u*) =γ*-E-γ*+（a）-十）- γ*+E-γ*-（a）-x） γ*-E-γ*+A.- γ*+E-γ*-a、 x∈ [0，a]。对于x>a，我们有ga（x；u）*) = ga（a；u）*) 由于初始股息支付迫使X（0）=a。因此，对于每个a≥ 0，我们可以显式计算（15）中定义的值，以及映射a 7→ 五、*a（x）必须在^a=^a（u，u）时最大化*).5.讨论。1.最优支付政策分析我们在图1中给出了一个数值例子，说明了前一节中证明的理论结果。根据定理2，当“社会最优”障碍^a=^a（u，u*) 如果使用，企业的预期净值会随着贷款规模的增加而单调增加。图1的左面板显示了原始利润率u=0.1的公司的增长曲线，单位为u*从0增加。1（无政府贷款）至0.3。股息支出的增长速度略快于贷款成本，因此在考虑成本的情况下，企业能够通过政府贷款增加价值。根据命题2，随着企业承担越来越多的政府贷款，保持其他一切不变，障碍^a实际上减少了；请参见图1左面板中的灰线。特别是，我们有“a>^a”，其中图1：我们的模型u=0.1，r=0.05，σ=0.3。

在左面板中，我们计算x=0.5，让u*范围从0.1到0.3，图^a=^a（u，u*),^V（x）=V（x；u，u*),^D（x）=D^a（x；u）*),^C（x）=C^a（x；u，u）*). 请注意，\'a=^a（u，u）=1.200。在右边，我们*= 0.15，x=1，让屏障从0排列到3，并绘制预期净值Va（x）=Va（x；u，u*), 预期分红Da（x）=Da（x；u*), 预期贷款成本Ca（x）=Ca（x；u，u）*). 注意，Vais在^a=1.099时最大，Dais在a时最大*= 1.257.“\'a=^a（u，u）是无法借钱的最佳障碍。从经济角度来看，这意味着如果公司收到更多的政府资金，它将选择支付股息。在图1的右侧面板中，u*固定在0.15，我们检查（15）中给出的三个函数，Va，DaandCa，以获得不同的势垒水平。当企业选择^a时，VAI的预期净价值最大化，其中包括贷款的偿还。Dais的功能以最大化的速度运行*, 利润率为u的企业的最佳壁垒*但无法获得政府贷款。如命题3所示，我们总是有^a<a*.^a小于^a或a的观察结果*揭示了经济学家多年来对反常金融激励的认识，但这是从我们的最优控制问题结构中的数学角度得出的。当一家公司在没有监督的情况下获得资金，或者知道它将得到救助时，它可能会采取更为谨慎和鲁莽的行动（经济学家称之为“道德风险”）这也解释了为什么在现实中，作为刺激计划或救助的附加条件，政府经常要求在公司向股东支付股息之前必须偿还贷款。

政府以贷款的形式实施的大规模刺激确实提振了经济，但需要注意的是，有一些贪婪的激励在起作用，因此需要监督。然而，我们指出，^a<\'a并不意味着企业在借贷时可能会更快破产。实际上，根据我们的数值结果（此处未显示），我们推测对于任何给定的u>r和0<x≤^a（u，u），映射u*7.→ g^a（u，u）*)（x；u）*) ≡ ~g（u）*) 在[u]上单调递减，∞), 其中g如（16）所示。自)g（u）*) = 例如-rτ]其中τ是使用障碍^a的公司的破产时间，这一推测意味着一家公司可以借的钱越多，它的寿命就越长。因此，政府贷款确实提高了企业的财务稳定性，因为破产可以推迟。5.2. 如果一家公司能以最低利率借款，贪婪支付政策分析*- u但不关心偿还贷款，它会使用贪婪的阈值a*因为它最大化了预期的总股息支付。为了研究这种贪婪政策的后果，我们进行了一些数值实验，从中我们得到了一些有趣的观察结果。首先，一家贪婪的公司接受贷款的预期净值，Va*（x；u，u）*), 可能小于未接受贷款的公司的价值V（x；u，u）。也就是说，对于一家贪婪的公司来说，通过借钱获得的额外利润甚至可能无法支付贷款成本！在图2中，我们给出了两家公司的一个数字示例。我们假设x=1，r=0.05，公司1的原始收益率为u=0.08，公司2的原始收益率为u=0.06。弗吉尼亚州1号公司（实线）*（x；u，u）*) 不断增加*增加，这意味着它借的钱越多，通过贪婪的支付障碍a可以获得更大的价值增长*.

然而，对于公司2（虚线），当不允许政府贷款时，其V（1；u，u）=1.24。但如果*= 0.16，这意味着以0.1，Va的利率借款*(1; u, u*) 下降到1.17。因此，对于2号公司来说，其贪婪的支付政策在社会上是不受欢迎的。我们还发现Da*（x；u）*) 不一定大于或等于toCa*（x；u，u）*); 也就是说，政府借钱给一些企业可能是危险的，因为它们甚至可能无法偿还贷款（预期中），尽管根据我们的计算，这种情况很少发生（只有当u和X都非常小时）。例如，设u=0.005，u*= 0.055，σ=0.1，r=0.05，x=0.05。我们可以计算出*= 0.416和^a=0.098。数值计算表明，只要支付障碍a>0.34，净值Va（x；u，u）*), 会是负面的。上述观察结果也支持了我们的观点，即在偿还贷款之前，可能需要政府干预来限制接受刺激的企业的活动。将政府干预纳入我们的数学模型的一种方法是要求支出壁垒必须在某个预先规定的范围内，比如[amin，amax]。应分别计算每个公司的AMIN和AMAX参数，以保证公司能够偿还贷款。我们注意到，Paulsen（2003）考虑了一个类似的问题，假设没有注资或大规模刺激。图2：r=0.05和x=1的两家“贪婪”公司的行为。我们策划了Va*（x；u，u）*)（贪婪策略的净值）针对参数u*. 第一家公司的原始利润率为u=0.08，第二家公司的原始利润率为u=0.06。两者的波动率σ均为0.3.5.3。

我们的模型的扩展我们可以将模型中的r解释为一个由政府直接收取的外生参数，因为政府贷款可能不会通过银行系统，而是以直接补贴的形式提供。我们还可以考虑用更一般的公式来描述我们的价值函数问题（c.f.Lokka&Zervos，2008）V（x；u，u）*, β） =sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- βdZ-（t） ]在哪里≥ 1代表从政府借款的比例成本。当β=1时，不存在额外成本，价值函数降低为等式（3）中定义的函数。然而，我们可以检查，我们的论点不能直接延伸到β>1的情况，尽管它可以用于β<1的情况，在这种情况下，我们有一些收取股息的比例成本（见第6.3节）我们将β>1的情况留给未来的研究。6.校样6。1.定理1的证明包括两个步骤。首先，当我们应用候选最优控制函数（^Z+，^Z）时，我们需要检查^V（x）是否为企业的预期净值-). 其次，我们需要证明，没有其他政策比这更好。后者需要以下引理。引理1。（12）和（13）中给出的解^V满足^V（x）≥ 1安德尔*^V（x）≤ c代表任何x≥ 因此，以下汉密尔顿-雅可比伯曼方程成立：max{L*^V（x）- c、 一,-^V（x）}=0， 十、≥ 0.证明。我们首先证明了^V（x）≤ 0代表任何x≥ 0.通过（12）和（13）中给出的^v表达式，这相当于证明，对于任何x∈ [0，^a]，a+（γ*+)e（γ）*+-γ*-)十、≤ -A.-(γ*-). （17） 从定义γ开始*+> 0和γ*-< 0，我们只需要show（17）对x=a成立，但我们已经知道V（a）=0，因此a+（γ）*+)e（γ）*+-γ*-)^a=-A.-(γ*-). 因此我们得出^V（x）≤ 0.因为任意x的^V（x）=1≥ ^a，^V（x）的非正性≥1代表任何x≥ 0

为了证明我*^V（x）≤ c、 请注意，对于任何x>a，^V（x）>^V（a），^V（x）=^V（^a），^V（x）=^V（^a）*^V（^a）=c.备注1。光滑条件^V（^a）=0在上述证明中至关重要。假设定理1中的所有其他条件都满足，因为对于所有x，^V（x）=1≥ ^a，^V（^a+）=0。如果^V（^a-) > 0，那么^V（^a- ) < 一个人 > 0因为^V（^a）=1。^-) < 0，可以证明我*^V（^a+）>c，因为在x=^a和L时，^V（x）有大量增加*^V（^a）-) = c、 因此，平滑条件对于Hamilton-Jacobi-Bellman方程成立是必要的。现在我们展示我们的验证证明。第一步。我们使用^X来表示当候选最优控制（^Z+，^Z+）时的现金储备过程-) 应用，并让τ=τ^xb表示破产时间。首先，考虑案例x∈ [0，^a]。过程^Z+（t）=M^a（t；u*) 只是^a级过程^X的当地时间（多个）（卡拉扎斯和什里夫，1998年，第3.6章）。定义αt=τ^X∧ t并考虑过程e-rαt^V（^X（αt））。根据它的公式，e-rαt^V（^X（αt））=^V（X）+Zαte-rsL*^V（^X（s））ds+Zαte-rs^V（^X（s））hσdW（s）- d^Z+（s）i.对于任何s∈ [0，τ^X]，我们总是有^X（s）∈ [0，^a]，因此L*^V（^X（s））=cand^V（^X（s））保持有界。因此，关于dW的积分为零。对双方都抱有期望-rαt^V（^X（αt））=^V（X）+ExZαte-rshc ds- d^Z+（s）i，（18）其中我们还使用了^V（^a）=1，如果^X（t）6=a，d^Z+（t）=0的事实→∞Exe-rαt^V（^X（αt））=0。（19） 如果发生破产，即τ^X<∞, 那么对于任何t，^V（^X（t））=0≥ τ^X；如果τ^X=∞,^V（^X（t））始终保持有界且e-rαt→ 0，之后是（19）。对于（18）右边的积分，我们有limt→∞ExZαtce-rsds=ExZτ^X0-总工程师-rsds≤cr，limt→∞ExZαte-rsd^Z+（s）=ExZτ^X0-总工程师-利用单调收敛定理。

因此，让t→ ∞ 在（18）中，我们得到了^V（x）=ExZτ^X0-E-Rhd^Z+（t）- 迪兹-（t） i.（20）特别是，我们建立了x=^a的等式（20），与（13）中给出的^V表达式一起，可以用来证明（20）也适用于x∈ （^a，∞).备注2。平滑条件^V（^a）=0不用于步骤1。我们可以验证（15）中的函数是普通微分方程L的解*v（x）=c代表x∈ [0，a]，边界条件v（0）=0，v（a）=1。因此，上述论点也证明VAI确实是保单的预期净值（Ma（t；u）*), (u*- u）t）。第二步。对于任何可容许的策略Z=（Z+，Z-), letVZ（x）=ExZτX0-E-rt[dZ+（t）- dZ-（t） ]是公司的预期净值。注意，X和τX现在都依赖于（Z+，Z-), 尽管符号中没有明确指出这一点。我们需要展示VZ（x）≤^V（x）。根据假设，Z-是一个连续的过程，但Z+不一定如此。因此，我们让Zc+表示Z+的连续部分。X的动力学由（2）给出。将其^o公式应用于^V（Xt），我们得到了^V（x）=-Zt∧τXσe-rs^V（X（s））dW（s）+I+I- I+I，（21）式中I=Zt∧τXe-rsh^V（X（s））(-dZ-（s） +c（ds）- L*^V（X（s））dsi，I=Zt∧τXe-rs^V（X（s））dZc+（s），I=X0≤s≤（t）∧τX）e-rsn^V（X（s））-^V（X（s）-))o、 I=e-r（t）∧τX）^V（X（t）∧ τX）。（22）从引理1，我们得到了^V（x）≥ 1和1*^V（x）≤ c、 此外，由于c是贷款的最高利率，我们有-dZ-（s） +c ds≥ 0.然后我们得到≥Zt∧τXe-rs[-dZ-（s） +c ds- c ds]=-Zt∧τXe-rsdZ-（s） 安迪≥Zt∧τXe-rsdZc+（s）。此外，^V（x）≥ 1也意味着我≤ -X0≤s≤（t）∧τX）τ-rsZ+（s），其中我们使用了X（s）- X（s）-) = -（Z+（s）- Z+（s）-)). 利用（21）两边的期望，利用^V的有界性，我们得到^V（x）≥ ExZt∧τX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]因为我≥ 0