作为最优控制问题的财政刺激

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英文标题：
《Fiscal stimulus as an optimal control problem》
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作者：
Philip A. Ernst, Michael B. Imerman, Larry Shepp, and Quan Zhou
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  During the Great Recession, Democrats in the United States argued that government spending could be utilized to \"grease the wheels\" of the economy in order to create wealth and to increase employment; Republicans, on the other hand, contended that government spending is wasteful and discouraged investment, thereby increasing unemployment. Today, in 2020, we find ourselves in the midst of another crisis where government spending and fiscal stimulus is again being considered as a solution. In the present paper, we address this question by formulating an optimal control problem generalizing the model of Radner & Shepp (1996). The model allows for the company to borrow continuously from the government. We prove that there exists an optimal strategy; rigorous verification proofs for its optimality are provided. We proceed to prove that government loans increase the expected net value of a company. We also examine the consequences of different profit-taking behaviors among firms who receive fiscal stimulus.
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中文摘要：
在大衰退期间，美国的民主党人认为，政府开支可以用来“润滑”经济，以创造财富和增加就业；另一方面，共和党人则认为，政府支出是浪费，不鼓励投资，从而增加了失业率。如今，在2020年，我们发现自己正处于另一场危机之中，政府支出和财政刺激再次被视为解决方案。在本文中，我们通过对Radner&Shepp（1996）模型的推广，提出了一个最优控制问题来解决这个问题。该模式允许该公司不断向政府借款。我们证明了存在一个最优策略；为其最优性提供了严格的验证证明。我们继续证明政府贷款增加了公司的预期净值。我们还研究了接受财政刺激的企业之间不同的获利回吐行为的后果。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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2022-5-7 01:59:33 上传

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关键词：财政刺激 最优控制 控制问题 Quantitative Consequences

财政刺激是一个最优控制问题菲利普·A·恩斯塔、迈克尔·B·伊梅尔曼、拉里·谢泼克、赖斯大学泉州数据统计系克莱蒙特研究生大学德鲁克管理学院2013年4月23日去世德克萨斯农工大学统计系大衰退期间，美国的民主党人认为，政府开支可以用来“润滑”经济，以创造财富和增加就业；另一方面，共和党人则认为，政府支出是浪费，不鼓励投资，从而增加了失业率。如今，在2020年，我们发现自己正处于另一场危机之中，政府支出和大规模刺激被视为一种解决方案。在本文中，我们通过对Radner&Shepp（1996）模型的推广，提出了一个最优控制问题来解决这个问题。该模式允许该公司不断向政府借款。我们证明了存在一个最优策略；为其最优性提供了严格的验证证明。我们继续证明，政府贷款增加了公司的预期净利润。我们还研究了企业接受刺激时不同的利益承担行为的后果。关键词：股息问题，拉德纳-谢普模型，金融刺激，汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，随机控制。2010年理学硕士：初级：60H10，60J60，中级：60G15重印提交给SPA特刊：《纪念：拉里·谢普》20211年4月6日。引言本文的目的是对最优规模政策进行数学建模，以期为美国民主党和共和党之间关于应该采取何种政府措施来刺激经济的持续辩论做出贡献。

该模型最初由第二名和第三名作者于2010年开发，当时正值大衰退和美国ZF随后对大型银行的救助之后不久。由于2019冠状病毒疾病大流行可能引发全球大衰退，这项工作及时补充了第三位作者对数学金融和最优控制的开创性贡献。本文考虑的关键宏观经济问题是，ZF应该向私营部门注入多少资金，以改善经济的总体健康水平？为此，我们假设一家公司可以由四个参数（x，u，σ，r）来描述：当前现金储备x>0，收益率u>0，风险度σ>0，以及现行利率r≥ 0.让我们(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）是一个过滤概率空间，其中ftt表示时间t时可用的市场信息。设W（t）是一个维纳过程W.r.t.{Ft}t≥0表示不确定性，Z（t）表示截至时间t之前从财富中减去的总股息。时间t时，公司的现金储备（用X（t）表示）根据动态X（t）=X+ut+σW（t）变化- Z（t），t≥ 其中W（0）=0和Z（0）≥ 0.为了模拟能够“润滑”私营部门的规模政策，我们假设ZF可以选择向企业提供贷款，以便将企业的预期收益率从u提高到u*, 假设*≥ u > 0. 该贷款将以利率r偿还。假设该公司可以以有限的利率从ZF持续借款。基于上述考虑，我们将过程Z（t）写成Z（t）=Z+（t）- Z-（t） 其中Z+（t）和Z-（t） 分别代表截至t时已发放的总股息（可征税）和截至t时已发放的总贷款。

因此，我们需要Z±（t）≥ 0表示任何t，并重写方程（1）asX（t）=x+ut+σW（t）+Z-（t）- Z+（t）。（2） 本文是为纪念第三作者拉里谢普的特刊撰写的，拉里谢普于2013年4月23日去世。在晚年，Shepp的主要研究兴趣之一是金融和经济学中的随机建模。宏观经济学文献表明，政府对私营企业的贷款和补贴可能是一种有效的规模刺激手段（Lucas，2016）。设A为容许控制（Z+，Z）的集合-) 满足以下假设（A1）-（A3）：（A1）Z+（t）是一个不减损的c`adl`ag过程，适用于{Ft}t≥0.（A2）Z+（0）∈ [0，x]，以及Z+（t）=Z+（t）- Z+（t-) ≥ X（t）-) 每t>0。（A3）Z-（t） 是适应{Ft}t的不减损和差别化过程吗≥带Z的0-（0）=0和dZ-（t） /dt≤ u*- u代表一些u*≥ u.条件（A2）意味着公司不能一次性支付超过其当前财富的股息。条件（A3）表示公司可获得小于或等于（u）的任何金额*- u）每个中心的dt。值得注意的是，我们对Z的限制-（t） 与通常的股息问题不同，在股息问题中，使用单一控制来呈现即时大规模注资。我们要求政府贷款以利率r偿还，公司的目标是通过选择政策（Z+，Z）最大化其预期净值（待定义）-)最佳。从数学上讲，这意味着我们要计算定义为V（x）=V（x；u，u）的值函数*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- dZ-（t） ，（3）式中τ=inf{t:X（t）≤ 0}是公司破产的时间和符号τ0-dZ（t）应理解为Z（0）+RτdZ（t）。定义意味着V（0）=0。

此外，V（x）≥ x代表任何x，因为获取利润的一种策略是立即获取财富；破产发生在时间τ=0时。如果我们用更小的可容许类A={（Z+，Z+）替换A-) ∈ A:Z-（t）≡ 0}并通过¨V（x）=sup（Z+，Z）定义相应的值函数-)∈AExZτ0-E-rtdZ+（t），（4）然后，问题简化为Radner&Shepp（1996）的开创性论文中考虑的问题。但这相当于考虑函数V（x；u，u），它对应于最大贷款利率为零的情况。辛卡 A、 我们有v（x；u，u）*) ≥ V（x；u，u）=V（x）。（5） 问题如下：如果*> u，是否为Z-（t） =0是严格次优的，即我们是否有V（x）>V（x）？事实证明，在本文中，我们确实经常使用V（x；u，u）等符号*) 指示值函数取决于漂移参数。但参数σ和r始终是固定的，因为它们不是直接相关的，可以被视为固定的。严格的不平等性，这意味着拥有政府资金的预期额外股息支出严格大于贷款成本（直至破产），前提是公司以最佳方式获取利润，以最大化其假定目标。更一般地说，我们有V（x；u，u）*) > V（x；u，u）表示任何u*> u≥ u; 也就是说，政府提供的规模刺激越多，公司的净值就越大（见第3节）现在，如果该公司在向政府借款后，选择了一种“贪婪”的政策，在不关心偿还贷款的情况下最大限度地提高自己的股息支付，该怎么办？在第5.2节中，我们将展示这样一种策略在社会上是不可取的，因为公司的预期净值可能会小于没有政府贷款的情况，而且，预期股息支付甚至可能无法覆盖贷款成本。

这代表了对我们模型结果的一个有趣的警告：为了确保实现数学最优和社会最优的解决方案，政府必须在强制接受政府资金的企业如何运营方面发挥一定作用。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了相关文献，尤其是Radner&Shepp（1996）开创性工作的结果，这可以被视为政府不向公司提供任何贷款的基准模型。在第三节中，我们推导了方程（3）中给出的值函数的相应自由边界问题，并证明了解的存在性。第4节给出了我们问题的进一步最优控制结果，包括最优股利支付政策如何随模型参数变化。在第5节中，我们将讨论不同股息支付政策的经济含义。第6节以简单的技术证明结束本文。2.准备工作2。1.Radner–Shepp模型的解决方案考虑u的问题*= u和价值函数V（x）定义了不等式（4），我们将其称为拉德纳-谢普模型（拉德纳和谢普，1996）。Dutta&Radner（1999年）、JeanblancPicqu’e&Shiryaev（1995年）和Asmussen&Taksar（1997年）发现了解决方案，Dutta&Radner（1999年）进一步表明，遵循最优政策的公司将在有限时间内破产，概率为1。最佳策略是以反射屏障a:if X（t）支付股息≤ ’a，未付款；否则，立即付款，使X（t）降至“a”。

通过求解hamilton-Jacobi-Bellman方程max{Lv（x），1- v（x）}=0，L=-r+ux+σx、 在初始条件v（0）=0的情况下，我们得到解v（x）=eγ+x- eγ-xγ+eγ+a- γ-eγ-\'a，0≤ 十、≤ \'a，\'V（\'a）+（x- \'a），\'a<x<∞,（6） 式中γ+，γ-是指数方程的根，γ±=(-u±pu+2rσ）/σ。未知的最佳阈值“a”最容易通过平滑启发法“V（”a）=0来确定，这会产生“a=γ”+- γ-日志γ-γ+, （7） 给定u≥ 0.如果u<0，则可以显示“a=0和”V（x）=x；也就是说，总是“拿钱跑”才是时机在不丧失普遍性的情况下，我们假设u>0，这意味着该公司是可盈利的。有趣的是，阈值a变为0，或者为u↓ 0或作为u↑ ∞. 我们还指出，\'V（\'a）=eγ+\'a，以供进一步参考- eγ-\'aγ+eγ+\'a- γ-eγ-\'a=γ++γ-γ+γ-=ur.（8）为了研究最优支付政策，我们引入了符号Ma（t；u），它表示在障碍a>0处反映的过程x+ut+σW（t）的斯科罗霍德反射问题的唯一解（渡边，1971；田中，1979）。也就是说，Ma（t；u）=sup0≤s≤t（x+us+σW（s）- a） +，（9）式中w+=w∨ 0表示w的正部分。方程（4）中的上确界是在Z+（t）=M¨a（t；u）时获得的（Radner&Shepp，1996）。对于a级的任意障碍支付政策，我们将预期的贴现总股息支付定义为Da（x）=Da（x；u）=Ex“Ma（0；u）+Zτ（a，u）e-rtdMa（t；u）#。（10） 如Shreve等人（1984年）所示，方程式（6）中的公式仍然适用。我们写τ=τ（a，u）来表示破产时间取决于u和a。用a代替a，我们从中得到DA（x；u）=eγ+x- eγ-xγ+eγ+a- γ-eγ-a、 x∈ [0，a]，Da（a；u）+（x- a） ，x>a.（11）通常，在边界a处，Dadoes不满足光滑条件。

Forany x≥ 0，映射为7→ Da（x；u）在最佳策略a=\'a和D\'a（x；u）=\'V（x）下最大化。2.2。文献综述Dutta&Radner（1999）和Radner&Shepp（1996）都允许（u，σ）-pairamong{（ui，σi）：i=1，2，…，n}作为控制的一部分，Radner&Shepp（1996）发现在任何给定的X（t）值下使用哪一对。该解决方案产生了一些令人惊讶的结果，例如，如果该公司几乎破产，那么它应该非常保守，并使用（ui，σi）-对最小的σi，这对许多经济学家来说似乎是自相矛盾的；见Shethet al.（2011）的作品。为了简单起见，在讨论目前的问题时，我们将把公司限制为一个公司方向，即n=1。文献中提出了许多Radner–Shepp模型的变体（Taksar，2000年；Avanzi，2009年；Albrecher&Thonhauser，2009年）。DeCamps&Villeneuve（2007）扩展了Radner–Shepp模型，将代表投资的奇异控制过程包括在内，最近，De Angelis&Ekstrom（2017）发现了适用于有限期案例的最佳政策。关于一般扩散模型下的最优股利分配问题，请参见Paulsen（20032008）。需要注意的是，对于保险公司来说，这种股息分配问题还涉及到寻找最优再保险政策，这会给另一个控制因素带来影响，该控制因素会影响潜在财富过程的收益率（漂移）和风险性（波动性）；例如，见Taksar&Zhou（1998）；Hojgaard&Taksar（1999）；阿斯穆森等人（2000年）；Choulli等人（2003年）；他等人（2008年）。股息问题的另一个重要概括是将注资合并，注资可能以股权发行的形式进行。

关于这个话题有很多前卫的文献；见Sethi&Taksar（2002）；洛卡和泽沃斯（2008）；何亮（2008）；库伦科和施密德利（2008）；姚等人（2011）；周和袁（2012）；朱洋（2016）；陈等（2016）；施密德利（2017）；Lindensj–o&Lindskog（2019年）。关于一般理论的最新进展，请参见Alvarez（2018）。我们将在本文中提出的模型允许政府以贷款的形式进行大规模刺激。然而，在所有上述参考文献中，注资过程可以是单一的，尤其是障碍式的；在本文中，我们限制了政府贷款的最高利率（因此要求资本注入过程是连续的）3.值函数V（x；u，u）的计算*)现在我们陈述本文的主要结果。对于我们在等式（3）中定义的价值函数，在最优控制下，股息支付过程仍然是障碍型的，尽管阈值不同于Radner–Sheppmodel的阈值，公司以最大可能的利率持续借款，c=u*- u.定理1（验证）。考虑自由边界问题L*x（v，x）=∈ [0，a]，v（0）=0，v（x）=1，x∈ [a，∞),v（x）=0，x∈ [a，∞),其中a和v都未知，c=u*- u ≥ 0和1*= -r+u*x+σx、 让我们来看看∈ 坎德拉≥ 0是这个问题的解决方案。那么^V（x）=V（x；u，u*),方程（3）中定义的值函数。相关最优策略（^Z+，^Z-)is^Z+（t）=M^a（t；u）*) = sup0≤s≤t（x+u）*s+σW（s）- ^a）+，^Z-（t） =ct。证据第6.1节给出了证明。接下来，我们证明了定理1中给出的自由边界问题的解总是存在的。我们首先注意到*v=c只是一个常数系数的二阶线性方程。

因此，标准微分方程的结果就是x∈ [0，^a]，^V（x）的形式-cr+A+eγ*+x+A-eγ*-x、 常数γ在哪里*+, γ*-通过求解σγ/2+u得到*γ - r=0，γ*±=-u*±p（u）*)+ 2rσ。利用边界条件^V（^a）=1和^V（^a）=0，我们发现+=-γ*-E-γ*+^aγ*+(γ*+- γ*-), A.-=γ*+E-γ*-^aγ*-(γ*+- γ*-).由于^V在[^a]上是线性的，∞), 解可以写成^V（x）=A+eγ*+x+A-eγ*-十、- （c/r），x∈ [0，^a]，（12）^V（x）=^V（^a）+（x- ^a），x∈ [^a，∞). （13） 最后，边界条件^V（0）=0意味着^a必须满足f（^a）=0，其中f（a；u，u）*) =(-γ*-)E-γ*+a（γ）*+)(γ*+- γ*-)+(γ*+)E-γ*-γ*-(γ*+- γ*-)-cr.（14）我们表示方程f（a；u，u）的解*) = 0乘以^a=^a（u，u*) 强调其对μ和μ的依赖性*. 在命题1中，我们证明了sucha解总是存在的，并且在给定u>0和u的情况下是唯一的*≥ u. 因此，通过求解f（a）=0，我们得到了最佳反射屏障^a，但与Radner–Shepp模型不同，它没有封闭形式的表达式。唯一的例外是特例*= u，我们有^a（u，u）=a，后者如等式（7）所定义。提议1。假设u>0和u*≥ u. Orem 1中的自由边界问题有一个唯一的解（^V，^a），使得^V∈ 坎德拉>0。证据必须证明f（a；u，u*) = 0只有一种溶液且呈阳性，其余溶液从（12）和（13）得出。使用（14）可以向前验证f是单调递减的，f（0）=u/r>0，以及f(∞) = -∞. 所以在（0）上只有一个根，∞).从（5）中，我们已经知道，通过向政府借款，该公司的预期净值至少与没有政府贷款的拉德纳-谢普模型中的净值一样大。