作为最优控制问题的财政刺激

最后，让t→ ∞, 应用单调收敛定理并指出∞E-rsdZ-（s） <∞, 我们得到^V（x）≥ 极限→∞ExZt∧τX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]=ExZτX0-E-rs[dZ+（s）- dZ-（s） ]=VZ（x），这就完成了证明。6.2. 定理2（i）的证明设b=^a（u，u）*). 值函数V（x；u，u*) 是通过策略实现的，^Z=（Mb（t；u*), (u*-u）t），其中借款利率为u*-u和dividendpayment在屏障b处支付。显然，该政策也适用于具有（x，u，u）特征的公司*, σ、 r）自*> u*, 我们想证明，对于任何x>0的情况，V（x；u，u）*) > V（x；u，u）*) = V^Z（x；u，u）*).请注意，在上述验证证明中，我们已经显示了V（x；u，u）*) ≥V^Z（x；u，u）*). 设^X（t）=X+ut+σW（t）+dMb（t；u*) - (u*- u）t表示应用次优控制^Zis时的储灰过程。内尔*= -r+u*x+σx、 通过一个完全类似于第6.1节第2步的论证，当^zisapple应用时，我们得到了v（x；u，u）*) ≥ Ex（I+I）- 一） ，式中I=Zt∧τ^Xe-rshV（^X（s）；u, u*)(u*- u*)ds- L*V（^X（s）；u, u*)dsi，我- 我≥Zt∧τ^X0-E-rsdMb（s；u）*).要检查以上Igrees表达式是否与（22）一致，请注意，对于Z=^Zand c=u*- 是的，我们有-dZ-（s） +cds=-(u*- u）ds+（u）*- u）ds=（u）*- u*)ds。为了证明^Zis是严格次优的，我们需要一个比用来证明定理1的论点稍微好一点的论点。写入V（x）=V（x；u，u*) 简化符号。回想一下，V（x）是定理1中描述的自由边界问题的解，并且^a=^a（u，u）*) 严格小于b=^a（u，u*)根据命题2。使用引理1，可以直接验证*V（x）<u*- u,  十、∈ （a，b），V（x）>1， 十、∈ （0，^a），V（x）=1， 十、∈ [^a，b]。此外，假设是：*- u*> 0意味着对于任何x∈ （0，^a）∪ （^a，b]，ψ（x）=V（x）（u）*- u*) - L*V（x）+（u）*- u）>0，（23）和ψ（x）=0，如果x=^a。

对于任何一组A [0, ∞), 定义（A）=ZAe-rshV（^X（s））（u*- u*)ds- L*V（^X（s））dsi。选择任意δ>0，让Aδ=[0，δ∧ τ^X]和Atδ=（δ∧ τ^X，t∧ τ^X]。无论如何≥ δ、 我们有I=I（[0，t∧ τ^X]）=I（Aδ）+I（Atδ）。ConsiderI（Aδ）+Zδ∧τ^Xe-卢比（u）*- u）ds=Zδ∧τ^Xe-rsψ（^X（s））ds。由于^X（t）是一个反映布朗运动，给定任何^X（0）=X>0，我们几乎可以肯定，破产时间τ^X>0和集合{0的勒贝格测度≤ T≤ τ：^X（t）=^a（u，u）*)} 是零。回想一下，对于一个非负可测函数，其勒贝格积分为零当且仅当函数几乎处处为零时。然后从（23）得出exzδ∧τ^Xe-rsψ（^X（s））ds=cδ（X）>0， x>0，其中cδ（x）仅取决于x。再次使用（23），我们发现对于任何t≥ δ、 前（一）≥ cδ（x）- ExZt∧τ^Xe-卢比（u）*- u）ds，这进一步意味着v（x）≥ Ex（I+I）- （一）≥ cδ（x）+ExZt∧τ0-E-rs[dMb；u*) - (u*- u）ds]。让t→ ∞, 我们得出结论：v（x；u，u*) ≥ cδ（x）+V（x；u，u）*) > V（x；u，u）*),  x>0.6.3。β的比例代价扩张∈ （0,1），通过Vβ（x；u，u）定义值函数Vβ*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[dZ+（t）- βdZ-（t） ]。（24）观察β-1Vβ（x；u，u*) = sup（Z+，Z-)∈AExZτ0-E-rt[β-1dZ+（t）- dZ-（t） ]。因此，β<1的问题（24）可以被解释为（3）中定义的主要问题的延伸，其中收取股息的成本是成比例的。对于这个问题，最佳策略是以最大利率c=u借款*- u并以一定的门槛^aβ派息。此外，（Vβ，^aβ）是以下自由边界问题的解L*v（x）=βc，x∈ [0，a]，v（0）=0，v（x）=1，x∈ [a，∞),v（x）=0，x∈ [a，∞).根据定理1的论证，值函数Vβ仍然可以写成（12）和（13）的形式。

要检查^aβ的存在性，只需验证以下函数有唯一的正解fβ（a）=(-γ*-)E-γ*+a（γ）*+)(γ*+- γ*-)+(γ*+)E-γ*-γ*-(γ*+- γ*-)-根据命题1，fβ单调递减到-∞ 观察fβ（0）=[（1- β)u*+ βu]/r>0。因此，^aβ是唯一存在的。与引理1类似，我们可以证明max{L*Vβ（x）- βc，1- Vβ（x）}=0表示所有x≥ 0.验证证明与β=1的情况几乎相同。第6.1节中的证明没有立即遵循的唯一步骤是如何确定（22）中定义的术语。注意，由于Vβ≥ 1.≥ β，L*Vβ≤ βC-dZ-（s） /ds+c≥ 0，我们有i=Zt∧τXe-rsVβ（X（s））(-dZ-（s） +c（ds）- L*Vβ（X（s））ds,≥Zt∧τXe-rs[β(-dZ-（s） +c（ds）- βc-ds]=-Zt∧τXe-rsβdZ-（s） 。接下来是剩下的。感谢第一作者感谢ARO-YIP-71636-MA、NSF DMS-1811936和ONR N00014-18-1-2192对本研究的支持。我们感谢两位匿名审稿人，他们的报告极大地提高了这篇手稿的质量。这是Shepp和Imerman最初撰写的一篇论文的重要修订版，题为“数学是否能够洞察金融、经济和政治领域的当前问题？”原始版本可在https://arxiv.org/abs/1410.6084v1.ReferencesAlbrecher，H.，和Thonhauser，S.（2009）。保险红利问题的最优性结果。RACSAM Revista de la Real Academy de Ciencias Exactas，Fiscas and Naturales。意甲马蒂马蒂斯，103295-320。阿尔瓦雷斯，L.（2018）。一类可解的平稳奇异随机控制问题，e-print。arXiv预印本arXiv:1803.03464。阿斯穆森，S.，Hojgaard，B.，和塔克萨，M.（2000年）。最优风险控制和股利分配政策。保险公司超额损失再保险的例子。《金融与随机》，4299-324。阿斯穆森和塔克萨，M.（1997）。

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