不完美世界中的资产定价

函数q∈ （3）中定义的F（Θ）是（i）正齐次的，（ii）次可加的，（iii）使得（6）q（F+g）=q（F）+q（g）对于所有F，g∈ Θ带fg≥ 0功能性t∈ （5）中定义的F（Θ）是次可加的，满足t（0）=0。在许多关于摩擦资产定价的论文中，从Jouini和Kallal[23]的开创性论文开始，次可加性是描述出价/出价的唯一特征。遵循这一选择的另一篇论文是Luttmer[31]的论文。在Chateauneuf等人[11]中，定价函数通过一个容量来表示，然后不仅是次可加的，甚至是共单调的，这一性质在某种程度上类似于（6）。在这些文件中，对交易成本的明确描述被省略（一个显著的例外是[25]），我们声称，这样做的一个风险是忽略了价格机制的重要细节，并混淆了可能实际上源于不同因素的影响，例如有限理性或对市场参与的限制。我们将财产（6）称为匿名性和d，尽管在下面的定理3到定理5中，这不起作用，但在处理期权价格时，这一点很重要，我们认为，这是完全足够的。2.3. Num’eraire资产。金融模型（除了[24]中值得注意的例外）通常假设存在一种无风险资产，通常被解释为一种债券，这种资产可能同样适用于借贷目的。这一假设有三个不同的作用。首先，它能使财富以安全的方式在时间上来回移动，从而为确定未来财富的现值提供坚实的基础。

其次，它允许明确地确定经济的数量，消除当多个资产可能扮演同一角色时产生的任意性。第三，如果债券投资不受限制，则该资产在投资组合模型中起剩余作用，保证投资组合约束的有效性。然而，这一假设不仅严重违背事实，而且比乍一看更麻烦。首先，如果债券并非完全没有风险，但只是以一种可预测的方式发展（在连续时间模型中通常是这样），那么贴现资产的作用不再是中性的，因为其隐含风险与源于标的资产的风险纠缠在一起。ElKaroui和Ravanelli[18]详细讨论了这一点，并表明当贴现系数有风险时，风险度量会受到贴现的显著影响。此外，在均衡模型中，例如那些考虑噪音交易作用的模型（见[15]或[37]），债券的无风险性质可能无法在沃尔拉斯定律下生存，除非其供应弹性是有限的。最终，如果投资者容易面临信用风险，那么应该将借贷视为两个不同的金融合同，因为最终的支付最终取决于两个中间部分的可靠性。参见洛温斯坦和威拉德对这一假设的批评[30]。资产定价7我们将前面的讨论总结如下：假设3。存在α∈ （i）1≥ X（α）>0，（ii）如果θ∈ Θ然后θ+λΔα∈ Θ当且仅当λ≥ 0，（iii）c（Δα）=0，（iv）q（α）>0。我们将α称为num’eraire资产，并将δα、X（α）和q（α）简化为δ、X和q。假设3。（i） 考虑到几乎所有的动态，它是相当普遍的，但它排除了无恢复值的违约的发生。

如果将num’eraire资产视为政府债券，考虑到在市场经济中，政府债券总是以某种正值赎回，人们可能会认为这一限制离现实不太远。或者，通过银行账户识别num’eraire资产，人们可能会认为，同样，在大多数国家，银行账户都有某种形式的存款保险，可能只是中央银行扮演的最后贷款人的角色。正如在现实世界中一样，在我们的模型中，投资者在决定投资num’eraire资产的金额时不受限制，但他们不能持有负头寸，因为这更适合被视为不同的资产，如arguedabove所述。产权（iii）可能被视为银行间竞争的结果，而（iv）则将α称为数字。我们将标准化支付定义为（7）’X（θ）=X（θ）/X2。4.随机排序。代理人对给定交易策略进行投资的决定θ∈ 我们假设，Θ是由它产生的payoff X（θ）驱动的。然而，对于每个可能的未来状态ω，这个量的完整描述∈ Ohm 不一定是正确的选择模型，因为经济因素通常不把未来的结果视为函数，而是等价类。在预期效用理论中，更普遍地说，在所有概率模型中，情况都是如此。然而，正如经典模型所暗示的那样，等价性不仅是准确概率评估的结果，而且它往往源于个体无法充分比较事件，或者无法从他们的态度中有选择地将注意力集中在场景上，这一事实经常被记录在经验决策理论和实验心理学中。这些评论建议将随机顺序视为我们模型的显式先验，并通过二元关系对其建模≥*关于F(Ohm).

为此，我们假设：假设4。二元关系≥*关于F(Ohm) 是反射的、传递的和满足的：（TRIV）0 6≥*1.（锥形）fi≥*詹德·艾∈ R+表示i=1，2，表示af+af≥*ag+ag；（证书）f≥ 0意味着f≥*0;（大约）f+2-N≥*0 f或n=1，2。暗示f≥*0;（其余）f≥*0和A Ohm 暗示f1A≥*0.我们保留符号f≥ g、 f∨ g、 f∧ g或| f |到逐点排序。8 GIANLUCA CASSESE（TRIV）防止了所有有界函数都等价于0的平凡情况。（圆锥体）保证非负元素形成凸锥体，这是形成投资组合时的一个关键属性。（CERT）声明该命令与确定性不矛盾；更有趣的是，（APPR）建立了一个近似于n的量，在所有实际用途中任意小的量本身应被视为非负。最终，（REST）意味着非负性是一种全局评估，并且在传递到子集时保持不变。我们也写f>*g（分别为f=*g） 当f≥*但是G6≥*f（分别为d和g）≥*f） 和定义（8）f*= s向上{α∈ R:f≥*α} 和f*= -(-f）*F上的偏序(Ohm) 满足假设4将被称为正则随机序。以下是此类顺序的示例。例1（污染和概率）。定义fg和fPg表示f≥ g和P（f）≥ g） =1 i f，giv en a（可数加性）概率P。二者都和比较规则随机序，第一个通常被称为零阶随机优势。一阶随机优势不是一个规则的随机序，因为它不能满足（CONV）。因此，我们的设置涵盖了确定性和概率复杂性。例2（定性概率）。

在他的开创性工作中，de Finetti[13]引入了将定性判断“事件A比B更像Y”建模为一种基本关系的思想 （b）完备性，（b）完备性Ohm  A.  对于所有事件A和（d）ifC∩ （A）∪ B） = 然后 B当且仅当A∪ C B∪ C.可以定义（9）fdFg当且仅当{f- G≤ -η}   对于所有η>0，很容易看出，添加公理（e） 6. Ohm, 然后DFI是一个正则随机序，因为集合{a Ohm : A. } 是一个理想的Ohm. [8]中介绍了这一思想的一个推广，其中理想的n是所谓的疏忽事件（不包括Ohm) 被视为原始和相应的顺序NWA定义如（9）所示，即（10）fNg当且仅当{f- G≤ -η} ∈ N对于所有η>0的正则随机序，由集合的理想所诱导的正则随机序可以刻画为：引理2。正则随机序 由一个理想的Ohm 如果且仅当存在弱者*紧集P P使得sup{u（A）：u∈ P} ∈ {0，1}对于所有A Ohm 和（11）f g相当于infu∈PZ（f）- g） du≥ 0证据。假设 是由理想N和let（12）P诱导的正则随机序= {u ∈ P：对于所有A，u（A）=0∈ N} 资产定价9假设在某些情况下u（A）>0 Ohm 和u∈ P. 那么uA，即u到A的条件，是P的一个元素和uA（A）=1。因此sup{u（A）：u∈ P} ∈ {0，1}对于所有A Ohm. 拿6块钱∈ N.集合{a1Ac:a≥ 0}是凸锥和a1Ac 1意味着0 1A，一个矛盾。根据定理8，这是存在的∈ P使得u（Ac）=0。这证明了sup{u（A）：u∈ P} = 1 i仅当/∈ N.反对，反对 0.固定η>0并观察-η1{f<-η}≥ f1{f<-η} 0，通过（证书）和（剩余）。从（CONV）可知{f<-η} ∈ N-so-th-atinfu∈PZfdu=infu∈PZ{f≥-η} fdu≥ -η，因此infu∈PRfdu≥ 0.相反，让我们∈PRfdu≥ 0

如果supu∈Pu（f<-η） =1对于某些η>0，则通过弱*那里会存在紧凑性∈ P使u（f<-η） =1和soRdu≤ - η、 矛盾。因此，必须支持∈Pu（f<-η） =0，即{f<-η} ∈ Nso认为 0.最终，如果P具有上述属性，且（11）被视为,定义N={A Ohm : supu∈Pu（A）=0}。很容易看出，N是Ohm 然后呢Ohm /∈ N.此外，如果∈PR（f）- g） du≥ 0一定是那个supu∈Pu（f）- G≤ -η） 对于所有η>0和s o=0 它确实是一个由理想诱导的正则随机序。尽管对≥*作为主观选择的一个要素，它很可能被用更实用的术语解释。让我们回忆一下[18，定义3.1]地图ρ：F(Ohm) →当ρ（a）正齐次，（b）次加法，（c）逆单调（即f）时，R是一个相干的现金次加法风险度量≤ g表示ρ（f）≥ ρ（g）和（d）现金次加法（即ρ（f+α）≥ρ（f）- α当α∈ R+。此外，如果ρ满足（e）ρ（f）=ρ（f）∧ 0），那么我们称之为aloss度量。可以很容易地证明，如果ρ是一致的现金次加性风险度量，那么^ρ（f）=ρ（f）∧ 0）是一个连贯的现金次加损失度量。定理1。 是一个正则随机序，当且仅当存在一个相干的现金次可加性测度ρ，使得ρ(-1） >0和（13）f g当且仅当ρ（f）- g）≤ 0代表所有f，g∈ F(Ohm)证据允许 这是一个规则的随机顺序。定义（14）σ（f） =inf{β∈ R：（f）∧ 0) + β  0}σ是次可加的，正齐次的（锥），反单调的（CERT）。σ(-1） >0是显而易见的（TRIV）。为了证明现金的次可加性，我们可以将其限制在案例中∈ F(Ohm) a>0，这样σ（f+a）<∞ i、 e.使（（f+a）∧ 0) + β  0表示某些β∈ R.但是∧ 0+（a+β）≥ F∧ -a+（a+β） 所以，通过（CERT），a+β≥ σ（f） 即σ（f+a）≥ σ（f）- A.

看到这一点 与σ有关通过（13），观察σ（f）≤ 0相当于（f∧0) + 2-N 0即由（接近）到（f）∧ 0)  0这反过来又是f 10 GIANLUCA Cassee相反，假设ρ是一致的现金次加损失度量和定义 via（13）。假设菲 Gian那是ai∈ R+表示i=1，2。然后，ρ（a（f）- g） +a（f）-g） )≤ aρ（f）- g） +aρ（f）- g）≤ 所以af+af ag+agand（CO-NE）持有。（CERT）是清晰的，而（REST）则从ρ（f1A）=ρ（1A（f）开始∧ 0)) ≤ ρ（f）∧ 0）=ρ（f）最终乘以ρ（f+2-n）≥ ρ（f）- 2.-我们的结论是f+2-N 0代表所有n意味着f 0我们将写（15）N*= {A Ohm : 0≥*A} ，B*= {f∈ F(Ohm) : η ≥*|f |对于某些η>0}（16）P*= {u ∈ P：对于所有A，u（A）=0∈ N*}当A是Ohm 包含N*,（17） ba*（A）={λ∈ ba（A）：λ（N）=0表示所有N∈ N*}正则随机序的一个值得注意的性质≥*以下是：f≥*0和b∈ B+fb≥*0（18）一个事实，当b是简单的，并且通过（APPR）和一致收敛扩展到更一般的情况时，从（REST）开始。财产（18）和假设3。（i） 有一个有趣的经济含义，即≥*0意味着X≥*0但反过来不一定是真的。我们模型的这一特点突显了贴现在风险整体水平中的作用。声明X≥*实际上，0并不排除损失，而是暗示{X<-η} ∈ N*对于每一η>0，即损失可能被视为非常小。声明“X”≥*另一方面，0意味着X的损失可以通过在num’eraire资产中投资全部金额来避免。如果金额不保证最低支付，与θ相关的损失虽然很小，但可能需要该资产的潜在无限量才能进行对冲。

每当投资组合的损失与X的价值下降同时发生时，问题就会出现，金融危机期间经常出现这种情况。El Karoui andRavanelli[18]和Filipovic[19]也讨论了选择num’eraire的风险管理方面。一致性、效率和套利金融经济学的基本原则是，由理性代理人组成的市场不允许套利机会。然而，如果对这一一般性陈述达成一致，那么将其翻译成一个方便的数学概念就不会有太多争议。定义各不相同，主要是针对所采用的环境空间，自Harr ison和Kr eps[20]以来，对于给定的外生概率测度P，eASSET定价11选择传统上是一些Lp（P）空间。我们在此提出以下定义：定义1。函数φ∈ F（Θ）被认为是相干的（无套利原则），如果X（θ）≥*0表示φ（θ）≥ 0; 如果θ，θ′，则φ是有效的∈ Θ和ΘX（θ）≥*\'X（θ′）表示φ（θ）≥ φ(θ′). 此外，θ∈ Θ是φif（19）`X（θ）的套利机会≥*0但φ（θ）≤ 这两个不等式中至少有一个是严格的。虽然在线性定价规则和不限制卖空的情况下，一致性和效率是等价的，但在这里处理的更一般的情况下，一致性比效率弱，但它本身保证没有arb itrage。一致定价并不排除产生三次正（贴现）回报的投资是免费出售的。因此，一致性是一个相当薄弱的基本金融属性，我们将对此进行深入研究。不等式X（θ）≥*0可以用最小im al margin M来重新表述*（θ） 投资于num’eraire资产，以对冲损失（如果可能）。

正式的，（20）米*（θ） =inf{η>0:\'X（θ+ηδ）≥*0} = -（\'X（θ）*∧ 0）根据假设3。（ii），θ+M*(θ)δ∈ Θ当且仅当M*(θ) < ∞ 或者，等价地，如果θ属于一组可对冲策略（21）Θ*=θ：\'-X（θ）*> -∞事实上，受监管的市场不允许投资者持有无限潜在损失的头寸，因此*通常被认为是所有合理投资策略的集合——参见[14]，其中一个条件类似于θ∈ Θ*是风险消失的免费午餐概念的基础。注意，M*(θ + αδ) ≥ M*(θ) - α尽管El Karoui和Ravanelli使用基本直觉来证明现金的次可加性（即贴现系数小于1，See[18，p.568]）不适用，因为我们没有施加X≥*1.此外，M*（θ+M）*(θ)δ) = 0.定理2。设t为（5）中定义的总成本函数t。那么，（i）t是相干的当且仅当（22）t（θ）+qM*(θ) ≥ 0表示所有θ∈ Θ*（ii）如果t是凸的，那么它是相干的当且仅当存在μ∈ P*使得（23）t（θ）≥ qZ\'-X（θ）∧ 0du表示所有θ∈ Θ*（iii）当且仅当满足（24）t（θ）+qM时，t不允许有套利机会*（θ） 对于所有θ>0∈ Θ*使得'X（θ）*+ M*（θ） >012 GIANLUCA CasseeseProof。在研究连贯性时，我们显然有权将注意力限制在Θ上*. 对于每个θ∈ Θ*,设θ′=θ+M*(θ)δ∈ Θ. 根据定理1和假设3。（iii），\'X（θ′）=\'X（θ）+M*(θ) ≥*0t（θ′）=t（θ）+qM*（θ） \'X（θ′）*=\'-X（θ）*+ M*（θ） （25）（i）。如果t是相干的，那么0≤ t（θ′）=t（θ）+M*（θ） 坎德（22岁）坚持。如果相反地，`X（θ）≥*0，即*（θ） =0，那么（22）意味着t（θ）≥ 所以t是相干的。（二）。假设t是凸的。以H为例=\'-X（θ）∧0Q- t（θ）：θ∈ Θ安德=F∈ F(Ohm) : F-∈ B、 λh≥*f代表一些h∈ H、 λ≥ 0如果λ，λN>0和θ，θN∈ Θthenpn=1λn（\'X（θn）∧ 0）q- t（θn）≤ λ（\'X（θ）∧ 0）q- t（θ）λ=PNn=1λ和θ=PNn=1（λn/λ）θn∈ Θ. 此外，hn≥*对于n=1，N意味着pnn=1hn≥*PNn=1fn。

因此，H是一致下界函数的凸锥，而H，由（22）表示，不包含元素f≥*1.根据附录中的定理8，存在：∈ P*就这样 L（u）和supf∈HZfdu≤ 0以上，如果θ∈ Θ*f=（\'X（θ）∧ 0）q- t（θ）then0≥Z{X（θ）>X（θ）*-η} fdu=qZ{X（θ）>X（θ）*-η} （\'X（θ）∧ 0）du- t（θ）=qZ（`X（θ）∧0）du- t（θ），证明了直接蕴涵。反之则由不等式z（`X（θ）得出∧ 0）du=Z\'-X（θ）≥\'-X（θ）*-η（°X（θ）∧ 0）du≥ （\'X（θ）*∧ 0) - ηq>0和（22）。（三）。如果X（θ）*+M*（θ） 如果大于0，则通过（25），θ′是一个套利机会，除非t（θ）+qM*(θ) > 0.（24）因此对于没有套利是必要的。相反，选择θ∈ Θ*和fixε≥ 0，使得¨X（θ）*+ M*(θ) + ε > 0. 假设θε=θ+[ε+M*(θ)]δ∈ Θ和ΘX（θε）*+ M*(θε) > 0. 如果（24）保持0<t（θε）+qM*（θε）=t（θ）+[ε+M*（θ） [qso表示t（θ）+M*（θ） q>-εqf或所有ε>0。因此t（θ）+M*（θ） q≥ 0表示所有θ∈ Θ*而且是不同的。如果X（θ）*≥ 0和‘X（θ）>*0，那么（24）意味着t（θ）=t（θ）+M*（θ） q>0，因此t不接受套利机会。这种表述（23）虽然相当适合男性，但关键在于凸性，而凸性是一个关键属性，根据现有的经验证据很难证明这一点，相反，经验证据表明，固定成本的增长低于比例。这一结论表明，更有趣的表述可能需要关注定价功能，而不包括固定成本。资产定价134。一致性定价自Bensaid等人[3]的早期工作以来，众所周知，资产价格的许多属性是通过超级套期保值函数揭示的，我们的模型也不例外。我们采用这个概念定义了以下扩展实值泛函：（26）π（f）=infλq（θ）：λ′X（θ）≥*f、 λ≥ 0, θ ∈ ΘF∈ F(Ohm)显然，π（1）≤ qandπc（1）≥ 0; 此外，如果q是相干的，则th enπ（0）=0和πc（f）≤ π（f）表示所有f∈ F(Ohm) – 见引理5。