不完美世界中的资产定价

但即使假设相干性，我们也不能排除异常情况π（1）=0和πc（1）=0（参见下面的示例4）。特别是：引理3。πc（1）=0当且仅当q（θ）≥ 每θ0∈ Θ*.定义（27）K={f∈ F(Ohm) : π（|f |）<∞} 和K*= {f∈ K:f*> -∞}s et K在本文中扮演着环境空间的角色，有趣的是，它的定义完全基于市场，不需要任何数学结构。以下是本节最重要的结果。定理3。价格函数q是一致的当且仅当f或每个h∈ B*布景（28）米=M∈ 文学士*,+: K L（m）和ZFDM≤ π（f）表示所有f∈ K*包含一个元素MH，使得RhdMH=π（h）。证据根据引理5，如果q是相干的，那么空间K是F的向量子格(Ohm ) 含B*πa≥*-K上的单调、正齐次和次可加泛函。修复h∈ B*考虑集合Ch={λh:0≤ λ ≤ 1}. 根据定理9，B上有一个正线性泛函βhonK消失*还有mh∈ 文学士*,+以至于 L（mh）和π（f）≥ βh（f）+RFDMHF用于allf∈ π（h）=βh（h）+Rhdmh=Rhdmh。假设g∈ K*. 然后，g-∈ B*因此π（g）≥ βh（g）+Zgdmh=βh（g+）+Zgdmh≥ZGDMH∈ M相反，如果m∈ M和d′X（θ）*≥ 第0个en（28）imp liesq（θ）≥ π（`X（θ））≥Z′X（θ）dm=Z′X（θ）1{X（θ）>X（θ）*-ε} dm≥ [°X（θ）*- ε] m(Ohm) ≥ -εm(Ohm)对于每一个ε>0，使得q是相干的。我们称M为一组定价指标。它对应于传统模型中的等价鞅测度集。与该领域的其他论文一样，定理3断言一致的价格体系与风险中性的价格体系是一致的，即。

定价规则适用于一个没有瑕疵的市场，尽管等价的概念在这里没有任何意义。14 GIANLUCA Casseesethus支持微观结构文献中表达的观点，即买卖价格是从共识价格开始设定的。然而，有人应该指出，价格可能仅在Θ中的策略中用积分来识别*因为K中未包含的声明可能根本不可积。这是因为没有从外部改变环境节奏。此外，应该注意的是，定价措施只是有限的相加，但除此之外，还定义了所有产品的子集Ohm 而不是给定的代数。最后一句话与市场完整性的定义有关，此处可能没有提及艺术系列。鉴于文献对可数可加性定价测度的唯一强调，我们下一步将刻画这一特殊性质。定理4。设πc（1）>0，A是一个包含N的代数*. 以下是等效的：（i）存在0.6=u∈ M，使得u在A的限制中可数相加；（ii）存在P∈ P*（A）可数加法，且对于任何序列∈nins（A），lim-supnπ（fn）≤ 0表示lim infnRfndP≤ 0;（iii）存在P∈ P*（A）可数加法，且对于任何序列∈nins（A）+，limnRfndP=0意味着limnπc（fn）=0。证据（一）=>（二）。选择0.6=m∈ M是A上的可数加法，写P表示M/kmk对A的限制。很明显，RFDP≤ 每个f的π（f）/kmk∈ S（A）使（ii）成立。（二）=>（三）。修复（ii）中的P，假设（iii）中的th失败，选择一个序列hhnin∈nins（A）+在L（P）中收敛到0，但infnπc（hn）>δ>0。写入fn=1- hnπ（1）/πc（hn）。然后，fn∈ S（A）在L（P）中收敛到1，而π（fn）≤ π(1) + π(-hn）π（1）/πc（hn）=0，因此（ii）失败。（三）=>（i） 。

现在让P和（iii）一样，假设没有m∈ 满足感<< 销限制到A。每m∈ 然后我们可以在∈计算limnP（Fn（m））=0<δ（m）≡ infnm（Fn（m））。在选择足够大的n并设置hn（m）=1Fn（m）δ（m）时-我们得到了RHn（m）dP<2-nwhilehn（m）dm≥ 1.让我们=H∈ S（A）+:RhdP<2-N. 然后∈Msuph∈HnZhdm≥ 1观察M是凸的和弱的*紧凑，这是凸的。根据极大极小定理[38，C orollary 3.3]，存在hn∈ 使得πc（hn）=infm∈MZhndm≥ 1/2序列hhnin∈Nso获得了反驳（iii）。当用πε（b）=sup替换π时，可以在不假设πc（1）>0的情况下建立定理4Zbdm:m∈ M，M(Ohm) ≥ εε-1b∈ B*但该声明的解释将不那么清晰。资产定价定理15 4有助于澄清，可数加法定价测度的存在相当于市场价格相对于L（P）拓扑的某种形式的连续性，在没有特别假设的情况下，这是一个极不可能的性质。传统上，可数加性定价测度的存在性是在施加Kreps[26]引入的非免费午餐条件后获得的，但该条件要求选择Lp（P）作为某些给定概率P的环境空间。我们根据[23，定义2.1]改编如下：定义2。如果存在P，金融市场被认为满足NFL条件∈ P（A）可数加性，使得对于每个序列hxnin∈Nin R收敛到某个x≥ 0和所有序列hfnin∈nins（A）收敛到L（P）中的f，使得π（1）xn+π（fn）≤ 0一个hasRfdP≤ -x、 如果P是从0.6=m中得到的∈ M是限制A和序列hxnin的可数加法∈Nand-hfnin∈如定义2所示，则为0≥ limn{π（1）xn+kmkZfndP}=π（1）x+kmkZfdPso thartrfdp≤ -（π（1）/kmk）x≤ -十、

相反，hfnin序列∈Nin S（A）构造以证明其含义（ii）=>（iii）在定理4中，Fn在L（P）中收敛到1，而Lxn=-π（fn）≥ 0，矛盾（NFL）。这证明了推论1。在定理4的条件下，存在0 6=u∈ 在限制条件下可数加法的M，当且仅当（NFL）成立。定理4也提供了一些见解，提出了M可能不允许可数加法元素的情况。例3。允许Ohm 是一个可分度量空间及其Borelσ代数。假设存在一个增加的净hNαiα∈艾因*Nα打开并Ohm =SαNα。例如，如果每个ω∈ Ohm 允许一个包含在N中的社区*. 修正P∈ P（A）可数加法。根据[5，命题7.2.2]，1=limαP（Nα）=limkP（Nk）对于某些合适的序列hNkik∈NfromhNαiα∈A.设置fk=1Nck。然后，limkRfkdP=0，而πc（fk）=infm∈Mm（Nck）=infm∈嗯(Ohm) = πc（1），定理4的条件（ii）失效。在特殊情况πc（1）=0之外，没有定价测度是可数相加的。实际上，分解每一个∈ M为M=mc+M⊥, 用mccountablyadditive和m⊥纯纯添加剂（见[17，III.7.8]），并利用夹杂物M 文学士*,我们得出结论，在本例中，所有定价度量s都是完全可加的。例3所示的特殊情况强调，如果偏序≥*是模型的先验。16吉安卢卡·卡塞塞5。相干泡沫基于上一节的结果，我们在这里发展了一些相干价格泛函的分解，它们突出了资产泡沫的作用。定理5。

当且仅当定价测度集M是空的、凸的、弱的单序时，价格q是一致的*ba的紧子集*允许分解（29）π（f）=β（f）+supm∈MZfdm适用于所有f∈ Kwhereβ：K→ R在B上消失*.证据的确，如果q是相干的，那么M是非空的、凸的和弱的*英国航空管理局（ba）第6号合同组；此外，如果m∈ M和f∈ K然后，在（28）之前，Rfdm≤R | f | dm≤ π（|f |）<∞ 因此（29）可被视为β的隐含定义。观察从（28）和引理6我们得到的∈Φ(π)φ⊥（f）≤ π（f）- 卸荷点法∈MZfdm=β（f）=supφ∈Φ（π）φ（f）- 卸荷点法∈MZfdm≤ supφ∈Φ(π)φ⊥（f） +supu∈MZfdu- 卸荷点法∈MZfdm=supφ∈Φ(π)φ⊥（f） （30）考虑到supφ∈Φ(π)φ⊥（f） =0表示所有f∈ B*, 如定理3的证明所示，我们得出结论，β在B上消失*. 这证明了存在。为了显示唯一性，假设β和M是另一对具有相同性质的β和M，并且分解（29）适用。如果u∈\'M\\M，则存在f∈ B这样的话∈“MRfd”m≥Rfdu>supm∈MRfdmbutβ（f）=β（f）=0，是（29）的矛盾。为了证明（29）对于q是相干的是足够的，让f∈ K*. 然后，f-∈ B*因此β（f）=β（f+）≥ 0，因此π（f）≥ 卸荷点法∈MZfdm≥ F*卸荷点法∈mk=f*π（1）因此，如果X（θ）≥*一些θ为0∈ Θ然后q（θ）≥ π（`X（θ））≥ 0和q是相干的。每m∈ M量化（θ）dm被正确地解释为给定M的投资组合θ的基本值。为了克服存在多种可能的定价措施所隐含的任意性，并获得明确的定义，用量化（31）supm确定θ的基本值是正确的∈当然，对于以M为核心的超模容量，积分族的上确界可以表示为Choquet积分。

与经典的资产定价公式不同，由于交易成本，基本价值不是线性的。它可以解释为在与上述经济体相同但没有交易成本的情况下，为θ支付的最高价格。重点不仅在于定价指标的多样性，即使在金融市场不完善的经济体中，定价指标也会是p可比的，而且在于（31）中出现的积分对于m的选择并不是不变的，即相互影响的预期并不一致∈ M一般来说，价格与基本价值的偏差在文献中被解释为泡沫存在的证据。参见[12]、[22]或[29]了解处理连续时间内气泡的模型示例。然而，在这样做的过程中，效率现象和资产泡沫对有效定价的潜在贡献是混合在一起的。效率由数量q（θ）来衡量-π（`X（θ））。实证文献通常会报告相对大量的违规行为，例如，看跌期权/看涨期权平价的违规行为，例如，看涨期权可能会被使用相应看跌期权、期货和无风险资产构建的成本较低的合成期权所取代。Luttmer[31]认为这种错误定价是次可加性的唯一来源。对于一致的价格体系而言，效率是限制的结果，这些限制阻止投资者利用它们来获得即时利润。经验解释，如拉蒙特和泰勒[27]引用的解释，提请注意交易的固定成本，这损害了仅考虑价格而产生的套利利润。

然而，如果投资者在做空头寸或选择任意大投资规模的能力方面没有受到限制，即使是固定交易成本也几乎不会起作用。我们从（29）中推断，即使在没有市场效率且只有两个日期的情况下，价格也可能因泡沫成分β而与基本值不同，β被解释为资产贴现支付尾部的价格。我们将这种解释建立在不平等的基础上β\'-X（θ）≤ limnnπ\'-X（θ）+- N++ π\'-X（θ）-- N+o（32）乘以（32），β\'-X（θ）被正确地视为θ的p值的分量，它只依赖于事件\'-X（θ）≥ N为了所有人∈ N、 即投资组合折扣支付的极端影响。请注意，num’eraire和其他衍生工具（如期货和期权）的价格必然不允许出现泡沫。（32）此外还表明，与其他模型一样，随着执行价格增加到一定程度，泡沫与看涨期权价格的限制有关。这一发现与类似的结论一致，即资产bub的存在与期权的某些错误定价有关（见[12]和[21]）。假设定价函数具有某种形式的单调连续性，如[11]中所述，则排除了泡沫的存在。下面的例子说明了泡沫在特殊情况下的经济作用。Chateauneuf等人[11，定理1.1]正是为了模拟交易成本，引入了金融能力的使用。然而，在他们的论文中，这种表述是一种假设（另见[10]）。18 GIANLUCA CasseExample 4（有效泡沫）。考虑一个市场，在这个市场上，X（θ）≥*0表示所有θ∈ 假设q（θ）=X（θ）*- X（θ）*.

价格函数显然是次可加的，并且是正齐次的。假设q（θ）≥ 0表示所有θ∈ Θ它也具有连贯性——尽管它总体上是无效的。从引理3我们知道πc（1）=0。假设X0，*= 0和X*= 一个一个∈ N存在θN∈ Θ与X（θn）=a+X-n的值大于0。那么，\'X（θn）≥ a+2-nso表示X（θn）*≥ a+2-n、 另一方面X（θn）*= a和X（θn）*= a+2-n、 但q=1，而（33）π（1）=inf'X（θ）*>0q（θ）／X（θ）*≤ infn（1+a2n）-1=0因为数字的定价是无效的，从（29）开始，唯一可能的非无效价格是泡沫。6.期权定价在本节中，我们将前面的结果应用于期权定价，唯一的假设是，期权以非负价格匿名交易（即（6）持有）。X>0将出现在给定标的股票的支付之后，K（X）将出现在其上的所有看涨期权的执行价（包括K=0）集合。每个期权的报价器以及相应的策略、价格和支付将分别用αX（k）、θX（k）、qX（k）和X（k）表示。定义（34）AX={αX（k）：k∈ K（X）}和dΘX={θ∈ Θ : θ ≥ 0和θ（α）=0/∈ AX}（35）πX（h）=infλq（θ）：λX（θ）X∧ 1.≥*h、 λ>0，θ∈ ΘXH∈ F(Ohm)和（36）KX={h∈ F(Ohm) : πX（|h |）<∞ }考虑到我们对非负价格的假设，观察到q到ΘXis的限制是一致的。另一方面，（35）中隐含的数量变化带来了不同的效率概念。特别是当（37）qX（k）=πX时，我们可以说期权的定价是有效的X（k）X∧ 1.K∈ K（X）（37）中采用的标准确实很弱，例如，它不涉及期权、期货或空头头寸。这是可取的，因为所涉及的派生集越大，效率失败的可能性就越大。

例如，众所周知，看跌/看涨平价会产生大量违规行为，以及看涨期权的下限。定义集合（38）Γ=nf∈ F（R+）：F≥ 0=f（0），f凸，limn→∞f（n）/n<∞Ocerriea等人[10]为假定满足看跌/看涨平价的市场构建了一个定价模型。（38）中出现的极限通过凸性存在。资产定价19开始讨论期权效率问题，用J（X）表示 K（X）具有以下性质（39）qX（K）的删除线的子集≤ inf{aqX（k）+（1）- a） qX（k）：k，k∈ K（X），0≤ A.≤ 1，ak+（1）- a） k≤ k} 也就是说，满足黄油的流涂条件。有人应该指出，在目前的情况下，这不是套利限制。出于技术方便的原因，在本节的其余部分中，我们将采用以下假设5。十、*< ∞.现在我们来谈谈衍生品套期保值问题。定理6。假设X1{X≤j}*= j<X*每j∈ J（X）。每克∈ Γ存在θX（g）∈ ΘX如q（θX（g））=πX（g（X）/X∧ 1). 此外：（i）如果g，g∈ Γ那么θX（g+g）=θX（g）+θX（g），（ii）如果j∈ J（X）和g（X）=（X- j） 然后θX（g）=θX（j）。证据附录中的引理8证明了存在性，其中描述了θX（g）的显式组合，参见（62）。从中我们推断出（i）。（ii）在设定g（x）=（x）时跟随- j） +in（64）。我们从定理6推导出一个期权有效定价的充要条件是其执行价格包含在J（X）中。以下是本文最重要的结果。定理7。假设（X1{X≤x} )*= 十、∧ 十、*当x≥ 设G={gt:t∈ R+} Γ满足（40）gt≤ agt+（1）- a） GT0≤ A.≤ 1和t≥ at+（1）- a） t存在βG（X）≥ 0和νGX∈ ca（B（R+））+，使得（41）πX（gt（X）/X∧ 1） =βG（X）+Z∞tνGX（x>z）dz表示所有t≥ 0证据。函数t→ qGX（t）=πX（gt（X）/X∧ 1） ：R+→ R+明显减少和凸出，因此令人满意（39）。

将原来的期权市场替换为一个所有期权价格均为0的市场≤ T≤ 十、*置换后，按照qGX（t）的实际价格和精确的πGx（35）进行交易。通过构造，所有期权价格都是有效的，即JG（X）=[0，X*]. 此外，如果，一≥ 0和t，tN∈ [0，X*] 那么πGXPNn=1anX（tn）X∧ 1!=NXn=1anπGXX（tn）X∧ 1.=NXn=1anqGX（tn）如果一个人试图对冲支付，这显然符合定理6∧ 1.有一套明确的选项，其罢工包括t，tN.WriteKGX={f∈ F(Ohm) : πGX（|f |）<∞} 和CGX=P0≤T≤十、*a（t）X（t）X∧ 1:a∈ F（[0，X*])+20 GIANLUCA Cassese被赋予了偏序≥*观察B* KGX。根据定理9，我们得到一个≥*正线性泛函φGX:KGX→ R使得φGX≤ πGX和φGX=πGXin对CGX的限制。definefg（t）=φGXX（t）X∧ 1.T≥ 当然，FG（t）=qGX（t）；此外，它是递减的和凸的。根据凸函数的标准结果，我们可以写出（42）FG（t）=FG（t）+ZttfG（t）dt 0<t<t，为了精确性，我们将FG（t）作为FG（t）的右导数∈ R+。假设{u≥ X>t}∈ N*对于大约0≤ t<u和fix 0<h≤ （u）- t） /2。那么，在每种期权的执行价t，t+h，u之外，还有一个可以忽略不计的集合- h、 当且仅当所有其他人都这样做时，u在钱中过期。换句话说，X（t）X∧ 1+X（u）X∧ 1=*X（t+h）X∧ 1+X（u）- h） X∧ 从中得出FG（t）+FG（u）=φGXX（t）+X（u）X∧1.= φGXX（t+h）+X（u）- h） X∧ 1.= FG（t+h）+FG（u）- h） 因此，FG（u）- FG（美国）- h） h=FG（t+h）- FG（t）你好。e、 FGat u的左导数和FGat t的右导数重合。存在一个集合D R+，R+\\D最多可数，并且{X>u}△ N={X>t}△ 恩福特，u∈ D和N，N∈ N*暗示f（t）=f（u）。