一种新的基于共单调性的多元相关性测度

例如，如果我们在F arlie Gumbel Morgenstern copula中插入Exp（1）边沿，我们就得到ρ=α。然而，新的依赖性度量与κ[11]和ρcin[12]形式不同≥ 下面的例子可以说明这一点。例4.2。让我们考虑n维h（x，x，…，xn）=F（x）F（x）·F（x）·Fn（xn）[1+∑1]的多元Eyraud-Gumbel-Morgenstern函数[20]≤j<j≤nαjj1.- Fj（xj）1.- Fj（xj）+ · · · + α12...N1.- F（x）1.- F（x）· · ·1.- Fn（xn）]其中系数αs是实常数。对于边缘为U（0，1），经过复杂的计算，我们可以得到n=3ρ（U，U，U）=E[UUU]- E[U]E[U]E[U]E[UCUCUC]- E[U]E[U]E[U]=+（α+α+α）-α--=(α+ α+ α) -α.然而，κ（U，U，U）=RRR傅（x，x，x）- 傅（x）傅（x）傅（x）dxrr闵{FU（x），FU（x），FU（x）}- 傅（x）傅（x）傅（x）dxdx=（α+α+α）+α=（α+α+α）+α。例4.3。假设非负随机向量X服从Alexandru等人[21]提出的第二类多元帕累托分布。如果X~ Parm（II）（u，σ，α，α），则递减分布函数为¨FX（x）=（1+mmaxj=1xj）- ujσj）-αmYj=1（1+xj）- ujσj）-αj，xj>uj，j=1，2。。。，m、 其中ujare real和σj，αj，α是正常数。边际分布为¨FXj（x）=（1+xj）- ujσj）-αj，xj>uj，σj>0，αj>0，这是一个重尾分布。此外，设置α=0会产生一个具有独立帕累托分布边缘的概率模型。为了简化计算，weset X~ P臂（II）（0，1，α，α），其中α=（α，…，α），即。

边际分布是相同的。经过复杂的计算，当m=3，α>3时，我们可以得到如下结果。E[Xj]=α+α- 1，j=1，2，3，E[XXX]=（α+α）- 1)(α+ 2α - 2)(α+ 3α - 3） ，E[xCxC]=（α- 1)(α - 2)(α - 3).因此，我们有ρ（X，X，X）=E[XXX]- E[X]E[X]E[X]E[xCxC]- E[X]E[X]E[X]=（α+α）-1)(α+2α-2)(α+3α-3)-(α+α-1)(α-1)(α-2)(α-3)-(α+α-1).对于协方差，我们得到以下结果。Cov（Xi，Xj）=α（α+α- 1)(α+ 2α - 2） ，i，j=1，2，3，Cov（XCi，XCj）=α+α（α+α- 1)(α+ α - 2） ，i，j=1，2，3。所以ρC（X，X，X）=Pi=1Pj<iCov（Xi，Xj）Pi=1Pj<iCov（XCi，XCj）=α（α+α- 2)(α+ α)(α+ 2α - 2） .102030040506070809010030050607080901000.20.40.60.60.8 1α0α图1：ρ（X，X，X）（红色）和ρC（X，X，X）（绿色）表示（X，X，X）~par（II）（0,1，（α，α，α），α），α>3。我们可以给出图1中的ρ和ρ。从图中可以看出，无论α和α是什么，这种多元帕累托分布都不能用来描述共单调病例。例4.4。假设risksX=（X，X，…，Xm）~ Nor（（u，u，…，um），∑），∑=σσ· · · σσσ· · · σ.........σ1mσ2m··σm,thenXC=（XC，XC，…，XCm）~ Nor（（u，u，…，um），∑C，∑C=σ∑···σ∑∑∑··σ∑··························。。。。。。。。。σσmσm··σm,式中σij=ρijσiσj，i，j=1，2。。。，m、 为了便于计算积矩，我们可以参考特征函数φX（t）=eitu-t∑t或X~ Nor（u，∑）和t∈ Rm。众所周知，对于任何随机向量X，特征函数φX（t）总是区分性别。假设对于一个随机向量X，对于一些非负整数r，r，…，存在期望E[Qmi=1Xrki]。。。，rm。

然后可以从关系式[mYi=1Xrki]=ir+r+·+rm]中找到这个期望r+r+··+rmrtrt··rmtmаX（t）|t=0，其中0=（0，0，…，0）。在这个例子中，我们可以得到X和XC k X（t）=eiPmi=1uiti的以下特征函数-Pmi=1Pmj=1ρijσiσjtitj，νXC（t）=eiPmi=1uiti-Pmi=1Pmj=1σiσjtitj。对t的特征函数进行微分，设t=0，我们可以得到如下乘积矩：E[mYi=1Xi]=(-i） mm~nX（t）TTtm | t=0=mYk=1ujk+XS（m，1）σjjmYk=3ujk+XS（m，2）σjjσjjmYk=5ujk+·m·+XS（m，2m-5+(-1） m）σjj··σjAjBmYk=Cujk+XS（m，2m）-3+(-1） m）σjj··σjDjEmYk=Fujk，其中A=m- 4 +1+(-1） m，B=m- 3 +1+(-1） m，C=D=m- 2 +1+(-1） m，E=m- 1 +1+(-1） m，F=[m-(-1） S（m，k）=m！kk！（m）-k） !！andPS（m，k）是指S（m，k）个案例的总和；见[22]。因此，ρC（X）=Pmi=1Pj<iCov（Xi，Xj）Pmi=1Pj<iCov（XCi，XCj）=Pmi=1Pj<iρijσiσjPmi=1Pj<iσiσj，ρ（X）=E[Qmi=1Xi]-Qmi=1E[Xi]E[Qmi=1XCi]-Qmi=1E[Xi]=ij其中i=XS（m，1）ρjjσjσjmYk=3ujk+XS（m，2）ρjjσjσjρjjσjmYk=5ujk+·m·+XS（m，2m）-5+(-1） m）ρjjσjσj··ρjAjBσjAσjBmYk=Cujk+XS（m，2m）-3+(-1） m）ρjjσjσj··ρjdjσjDσjEmYk=Fujk，j=XS（m，1）σjσjmYk=3ujk+XS（m，2）σjσjσjmYk=5ujk+·2m-5+(-1） m）σjσj··σjAjBmYk=Cujk+XS（m，2m）-3+(-1） m）σjσj··σjDjEmYk=Fujk，A=m- 4 +1+(-1） m，B=m- 3 +1+(-1） m，C=D=m- 2 +1+(-1） m，E=m- 1 +1+(-1） m，F=[m-(-1） S（m，k）=m！kk！（m）-k） ！。备注4.1。很明显，ρ（X）不仅取决于σij，而且还取决于ujj，而ρC（X）仅取决于σij，i，j=1，2。。。，m、 特别是，当m=3且u=u=u时，ρ（X）=ρ∑+ρ∑+ρ∑+ρ∑+ρ∑+ρ∑+ρ∑=ρC（X）。5估算在本节中，我们对从X样本中估算ρ给出了一些评论。定义3.1中对ρ（X）的推断归结为对期望E[Qmi=1Xi]、E[Qmi=1XCi]和Qmi=1E[Xi]的推断。这些可以通过矩估计来估计。

当产品时刻很难找到时，这在现实生活中的数据集中非常重要。假设我们想要估计m个变量的新相关性度量，对于这些变量，我们有n个耦合观测值，不一定是独立的，总结在一个数据矩阵中（维数n×m）。所以我们可以得到估计值bE[mYj=1Xj]=nnXi=1mYj=1Yij，bE[Xj]=nnXi=1Yij。为了估计E[Qmj=1XCj]，我们需要一个XC的样本。Dhaene等人[8]证明，对于同单调向量范围内的任何x和y≤ y还是x≥ 我坚持。换句话说，XC的所有可能结果都是按组件排序的。由于X和X的边际分布相同，我们可以很容易地将X的样本转换为XC的样本。表示Xjby（i）j的第i阶统计量，我们发现以下XC样本：（Y（i）。。。，Y（i）m），i=1，2。。。，n、 因此，我们可以得到乘积矩估计Be[mYj=1XCj]=nnXi=1mYj=1Y（i）j。总结一下，我们发现ρ的以下估计值：bρ（X）=nPni=1Qmj=1Yij-Qmj=1nPni=1YijnPni=1Qmj=1Y（i）j-Qmj=1nPni=1Yij。当随机向量为非负时，估计有另一种形式。实际上，经验尾部分布可以写成^FX（x，x，…，xm）=P（x>x，x>x，…，xm>xm）=nnXi=1mYj=1I（Yij>xj）；对于同一Fr’echet空间的独立和共单调向量分布的经验版本，我们有^FIX（x，x，…，xm）=mYj=1^Fj（xj）=mYj=1（nnXi=1I（Yij>xj）），^FCX（x，x，…，xm）=P（XC>x，XC>x，…，XCm>xm nnXi 1mYj=1I（Y（i）j>xj）。现在，定义mj=minni=1Yijand mj=maxni=1Yij。

因此，对于任何j=1，2，…，Y（1）j=mj和Y（n）j=mj。。。，m、 andRMjmjI（Yij>xj）dxj=Yij- MJ对于anyi=1，2。。。，n、 j=1，2。。。，m、 如果我们用命题3.1中的尾部分布函数替换它们的经验版本，我们得到ρ：bρ（X）=nPni=1Qmj=1（Yij）的估计量- （mj）-nmQmj=1（Pni=1Yij- nmj）nPni=1Qmj=1（Y（i）j- （mj）-nmQmj=1（Pni=1Yij- nmj）。致谢。本研究得到了国家自然科学基金（11171179号）、中国高等教育博士点研究基金（20133705110002号）和山东省高校科研创新团队项目的资助。参考文献[1]E.L.莱曼，《依赖的一些概念》，《数理统计年鉴》，37（5）（1966）1137-1153。[2] J.D.Esary，F.Proschan，D.W.Walkup，《随机变量的关联与应用》，数理统计年鉴，38（5）（1967）1466-1474。[3] J.D.Esary，F.Proschan，《二元依赖的一些概念之间的关系》，数理统计年鉴，43（2）（1972）651-655。[4] G.Kimeldorf，A.R.Sampson，《单调依赖》，统计年鉴，6（4）（1978）895-903。[5] D.D.Mari，S.Kotz，《相关性与依赖》，帝国理工学院出版社，伦敦，2001年。[6] M.Scarsini，《关于一致性的度量》，随机，8（3）（1984）201-218。[7] R.B.内尔森，《连接词导论》，纽约斯普林格，1999年。[8] M.Denuit，P.Lambert，二元离散数据中一致性度量的约束，多变量分析杂志，93（1）（2005）40-57。[9] R.Kaas，J.Dhaene，M.J.Goovaerts，《随机变量和的上界和下界》，保险：数学和经济学，27（2）（2000）151-168。[10] J.达内，M.德努特，M.J.古瓦茨，R.卡斯，D。

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