一种新的基于共单调性的多元相关性测度

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英文标题：
《A new multivariate dependence measure based on comonotonicity》
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作者：
Ying Zhang and Chuancun Yin
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we introduce a new multivariate dependence measure based on comonotonicity by means of product moment which motivated by the recent papers of Koch and Schepper (ASTIN Bulletin 41 (2011) 191-213) and Dhaene et al. (Journal of Computational and Applied Mathematics 263 (2014) 78-87). Some differences and relations between the new dependence measure and other multivariate measures are an- alyzed. We also give several characteristics of this measure and estimations based on the definitions and its property are presented.
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中文摘要：
在本文中，我们引入了一种新的基于乘积矩的共单调性的多元依赖性测度，这是受Koch和Schepper（ASTIN Bulletin 41（2011）191-213）和Dhaene等人（Journal of Computative and Applied Mathematics 263（2014）78-87）最近的论文的启发。分析了新的相关性测度与其他多元测度之间的一些区别和联系。我们还给出了该测度的几个特征，并给出了基于这些定义的估计及其性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> A_new_multivariate_dependence_measure_based_on_comonotonicity.pdf (358.95 KB)

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关键词：单调性 相关性 Multivariate Applications Quantitative

一种新的基于单调性的多元相关测度曲阜师范大学张颖数学科学学院山东273165，中国电子邮件：zhangying0513@gmail.comChuancun尹*曲阜师范大学统计学院山东273165，中国电子邮件：ccyin@mail.qfnu.edu.cnAugust2015年8月15日摘要在本文中，我们引入了一种新的基于乘积矩的共单调性的多元依赖性度量，这是受科赫和谢珀（ASTIN Bulletin 41（2011）191-213）和达恩等（Journalof Computical and Applied Mathematics 263（2014）78-87）最近的论文的启发。分析了新的依赖性测度与其他多元测度之间的一些差异和联系。我们还给出了该测度的几个特征，并给出了基于这些定义的估计及其性质。关键词：共单调性；产品时刻；尾部依赖测度；和谐秩序；估计。*通讯作者。1引言早在1966年，E.L.Lehmann[1]的一篇开创性论文就开始了对随机向量相关性概念的研究，该论文在统计理论和应用方面给出了许多有用的结果。这些概念在精算学中的应用最近受到了越来越多的关注。学者们提出了许多概念来形式化风险之间存在的依赖关系。早期的资料来源包括莱曼[1]、埃萨里[2]、普洛沙兰[2]、埃萨里[3]和普洛沙恩[3]以及基梅尔多夫和桑普森[4]。我们很感激Mari和Kotz[5]指出了高尔顿在1885年提出的相关性概念，直到20世纪70年代，相关性一直是统计学中的主导概念，实际上是衡量依赖性的唯一标准。这往往导致一些误导性的结论，原因在后来的文献中很明显。下面无法避免的问题是如何在实践中测量相依随机向量。

风险度量定义为从一组代表手头风险的随机变量或向量到实数的映射。Scarsini[6]为两个随机变量之间的关联度定义了某些可取的性质（另请参见Nelsen[7]中的定义5.1.7和定理5.1.8），并为满足这些条件的变量创造了名称concordancemeasures。有很多方法可以讨论和衡量依赖性。首先也是最重要的是皮尔逊相关系数[8]，它捕捉了随机变量对之间的线性依赖关系，但在坐标轴的单调变换下不是不变的。然后，Kendall的tau和Spearman的rho被提出来测量一种称为一致性的依赖形式，这是尺度不变的。秩相关系数满足X和X连续提供的所有期望特性。之后，Kaas等人[9]和Dhaene等人。[10] 定义了多元依赖测度的凸阶意义上的界，通过共单调向量计算。最近，Koch和Schepper[11]提出了任意m维向量的共单调系数，以测量共单调性的程度，他们还解释了为什么在现金流的情况下，凸边界在Kaas等人[9]和Dhaene等人[10]中揭示了这种有效近似。撰写本文的动力来自于阅读Dhaene等人[12]，他们定义了一个多变量相关性指标，用于聚合风险，如下所示。ρC（X）=Var（S）- Var（S）⊥)Var（SC）- Var（S）⊥)=如果存在协方差，Pmi=1Pj<iCov（Xi，Xj）Pmi=1Pj<iCov（XCi，XCj）。毫无疑问，在这个定义中，计算大大简化了。然而，考虑了每对组件之间的依赖性，而忽略了所有组件之间的依赖性。

特别是在所有分量对都不相关的情况下，依赖度量总是0。因此，在本文中，我们引入了一种新的多元相关性测度ρ，它考虑了所有方面。然后，我们还发现，当涉及非负向量时，新的依赖性度量与[11]中的toKoch和Schepper的共单调系数κ惊人地相似。然而，新的方法关注的是尾部分布函数，而不是分布函数。当然，新的度量也不同于其他多元依赖度量，例如[11]-[17]，当维度m≥ 3.当m=2时，我们可以将新的依赖性度量与经典度量联系起来。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了分布和连接函数的一些定义和概念，并重复了最常见的依赖性度量。第三部分是最重要的部分，我们介绍了我们新的依赖度量并讨论了它的主要性质。第4节特别关注了新的依赖性度量与Koch和Schepper的共单调系数[11]和Dhaene等人的依赖性度量[12]之间的关系。之后，在第5节中，我们对估算给出了一些评论。2准备工作首先，我们简要回顾了本节中的Fr’echet空间，这是研究多元向量依赖结构时的一个基本概念。定义2.1。（Fr’echet空间）设F，F。。。，Fmbe是单变量dfs。

Fr′echet空间<m（F，F，…，Fm）由所有具有F，F，…，的m维（dfs FXof）随机向量X组成。。。，Fmas边际dfs，即Fi（x）=P（Xi≤ x） ，x∈ R、 i=1，2。。。，m、 上界，上界∈ Rm，以及Fr’echet下界asMm（x）=max{mXi=1Fi（xi）- n+1,0}，x∈ Rm。然后是不等式m（x）≤ 外汇（x）≤ Wm（x）适用于所有x∈ Rmand X∈ <m（F，F，…，Fm）。在多元语境中，正相关性的一个重要概念是正相关性。定义2.2。（POD）随机向量X=（X，X，…，Xm）被称为正低正相关（PLOD）ifP（X≤ x、 x≤ 十、Xm≤ xm）≥mYi=1P（Xi≤ xi），（x，x，…，xm）∈ Rm，（2.1），它被称为正上正态依赖（PUOD）ifP（X>X，X>X，…，Xm>Xm）≥mYi=1P（Xi>Xi），（x，x，…，xm）∈ Rm。（2.2）当随机向量X=（X，X，…，Xm）同时是PLOD和PUOD时，称其为正正相关（POD）。共单调向量和独立向量是Fr′echet空间中两个重要的同时也是极端的元素。定义2.3。（共单调向量和独立向量）对于每个Fr'echet空间<m（F，F，…，Fm），我们将独立向量XI=（XI，XI，…，XIm）定义为具有分布固定（x，x，…，xm）=Qmi=1Fi（XI）的向量，将共单调向量XC=（XC，…，XCm）定义为具有分布FCX（x，x，…，xm）=minmi=1Fi（XI）的向量。Kaas等人[18]（第10.6节）讨论了共单调随机向量的另一种表征。当且仅当存在rv Z和非递减函数t，t，…，时，随机向量X是共变的。。。，Tsuch thatX=d（t（Z），t（Z）。。。，tm（Z））。注意，对于定义为F的反函数-1i（p）=inf{x∈ R | Fi（x）≥ p} ，p∈ [0,1]，共单调向量可以很容易地构造为xc=dF-1（U），F-1（U）。。。，F-1m（U）, U~ U[0,1]。

（2.3）为了构造新依赖度量的等价表达式，我们还需要引入copula的概念。copula是一个具有统一边界的联合分布函数。关于copulas的一个最基本的结果总结在下面的引理中。引理2.1。（Sklar定理）随机向量X的每一个∈ <m（F，F，…，Fm）可以表示为fx（x）=C（F（x），F（x）。。。，Fm（xm）），x∈ Rm，（2.4）对于连接词C，如果边缘词F，F。。。，如果是连续的，那么（2.4）中涉及的连词是唯一的，并且由c（u）=FX（F）明确给出-1（u），F-1（u）。。。，F-100万（嗯），美国∈ [0,1]m.为了将新的依赖性度量与常用的依赖性度量进行比较，我们在这里重新调用它们；参见[11,12,16,17,19]。（i） 皮尔逊相关系数γp（X，Y）=Cov（X，Y）pVar（X）Var（Y）；（ii）肯德尔秩相关系数τ（X，Y）=4ZZC（u，u）dC（u，u）- 1.（iii）斯皮尔曼秩相关系数ρs（X，Y）=12ZZ（C（u，u）- uu）都都；（iv）基尼相关系数tg（X，Y）=2ZZ（|u+u）- 1| - |U- u |）dC（u，u）；（v） Blomqvist相关系数β（X，Y）=4FX（F-1（1/2），F-1(1/2)) - 1.（vi）Koch和Schepper的共单调系数κ（X）=R···R（FX）- 固定（x））dxR··R（FCX（x）- 固定（x））dx；（vii）Dhaene等人的多元相关性度量，用于聚合风险ρC（X）=Var（s）- Var（S）⊥)Var（SC）- Var（S）⊥)=Pmi=1Pj<iCov（Xi，Xj）Pmi=1Pj<iCov（XCi，XCj）。3一个新的依赖性测量定义3.1。具有非退化裕度的随机向量X的相关性度量ρ（X）定义为ρ（X）=E[Qmi=1Xi]-Qmi=1E[Xi]E[Qmi=1XCi]-Qmi=1E[Xi]（3.1），前提是存在预期。对于非负随机向量，新的相关性度量具有两个超体积之比的等价形式。提议3.1。

设fcx和fix分别为Fr′echet空间<m（F，F，…，Fm）的共单调和独立向量的联合分布，而‘fcx和‘fix分别为联合分布。对于任何小于m（F，F，…，Fm）且具有联合尾分布的非负随机向量X，相关性度量ρ（X）可定义为：ρ（X）=R··R\'-FX（x）-修复（x）dxR··R\'-FCX（x）-修复（x）dx（3.2），其中积分在整个X.Proof域上执行。众所周知，m维非负随机向量X的各分量的乘积矩可以写成[mYi=1Xi]=Z+∞x=0··Z+∞xm=0＠FX（x）dx。这就是证据。备注3.1。在连续分布函数的情况下，存在一个唯一生存copula“CX”，其中“FX（x，…，xm）=”CX（\'F（x）。。。，\'Fm（xm））。将其插入（3.2）中ρ（X）的公式中，可以得到新相关性度量的以下等价表达式：ρ（X）=R···R（`CX（1- U1.- 嗯）-Qmi=1（1- ui）dF-1（u）·dF-1m（um）R···R（CXC）1- U1.- 嗯）-Qmi=1（1- ui）dF-1（u）·dF-1m（嗯）。（3.3）实际上，多元分布- U1.- 嗯）和CX（u，…，嗯）通常是不同的。我们新的依赖性度量有几个有趣的性质。例如，它满足规范化、单调性、置换不变性和对偶性的公理（[15]），就像大多数依赖性度量一样。定义3.2。一个随机向量X=（X，X，…，Xm）被称为小于协和顺序中的随机向量Y=（Y，Y，…，Ym），写为X≤cY，如果bothP（X≤ t、 X≤ TXm≤ （tm）≤ P（Y）≤ t、 Y≤ T嗯≤ tm）和p（X>t，X>t，…，Xm>tm）≤ P（Y>t，Y>t，…，Ym>tm）保持所有（t，t，…，tm）∈ Rm。提议3.2。

对于任意两个随机向量X=（X，X，…，Xm）和Y=（Y，Y，…，Ym），ρ具有以下性质。（i） （归一化）如果X有共单调分量，则ρ（X）=1；如果X有独立的分量，那么ρ（X）=0。（ii）（单调性）如果X在协和顺序上小于Y，那么ρ（X）≤ ρ（Y）。（iii）（置换不变性）对于（1，2，…，m）的任何置换（i，i，…，im），我们得到ρ（Xi，Xi，…，Xim）=ρ（X，X，…，Xm）。（iv）（对偶）ρ(-十、-十、-Xm）=ρ（X，X，…，Xm）。证据（i）和（iii）的证明很简单。（ii）任何按一致顺序排序的随机向量显然具有相同的边缘分布。因此，Xi=dYiandQmi=1E[Xi]=Qmi=1E[Yi]，i=1,2。。。，m、 因此，对于任何共单调向量XC=（XC，XC，…，XCm）和YC=（YC，YC，…，YCm），我们有FXC（x，x，…，xm）=FYC（x，x，…，xm）。所以ρ（X）和ρ（Y）具有相同的分母。另一方面，X≤cY意味着FX（x，x，…，xm）≤FY（x，x，…，xm），它总结了证明。（iv）显然，E[Qmi=1(-Xi）]=(-1） mE[Qmi=1Xi]。对于共单调向量，我们发现[mYi=1(-Xi）C]=E[mYi=1F-1.-Xi（U）]，U~ U（0，1）=E[mYi=1(-F-1Xi（1）- U） ）]=E[mYi=1-F-1Xi（V）]，V~ U（0，1）=(-1） mE[mYi=1XCi]。因此，ρ(-十、-十、-Xm）=E[Qmi=1(-Xi）]-Qmi=1E[-Xi]E[Qmi=1(-Xi）C]-Qmi=1E[Xi]=(-1） mE[Qmi=1Xi]- (-1） mQmi=1E[Xi](-1） mE[Qmi=1XCi]- (-1） mQmi=1E[Xi]=ρ（X，X，…，Xm），这是证明的结论。提议3.3。对于任意随机向量X，我们有ρ（X）≤ 1.如果ρ（X）=1，那么X=dXC。证据因为fx（y，y，…，ym）≤ min{FX（y），FX（y），…，FXm（ym）}=FCX（y，y，…，ym）， （y，y，…，ym）∈ Rm，由此得出E[Qmi=1Xi]≤ E[Qmi=1XCi]，这意味着ρ（X）≤ 1.如果ρ（X）=1，那么E[Qmi=1Xi]=E[Qmi=1XCi]和FX（X，…，xm）=FCX（X，…，xm），soX=dXC。ρ（X）=0的反向含义通常不成立。

实际上，我们可以很容易地构造几个ρ（X）=0的非独立随机向量。例3.1。设Y为rv，取0、π/2和π，概率分别为1/3。然后，很容易看出X=siny和X=cosy是不相关的（即ρ（X，Y）=0）。然而，它们不是独立的，因为X和X在功能上是连接的（通过关系X+X=1）。对于一个连续的反例，以Z为例~ U（0，1）和X=sin Z，X=cos Z。然后，E[X]=E[X]=E[XX]=0，因此X和X不相关，但不独立，因为关系X+X=1成立。对于共单调随机向量，联合尾分布函数与联合分布函数具有相似的形式。提议3.4。对于任何共单调随机向量XC=（XC，XC，…，XCm），连接分布函数¨FXC（x），x∈ rm有以下表达式：\'FXC（x）=min{F（x），\'F（x），…，\'Fm（xm）}，x∈ Rm。证据从（2.3）中，对于任何共单调随机向量XC=（XC，…，XCm），我们有¨FXC（x）=P（XC>x，XC>x，…，XCm>xm）=P（F-1（U）>x，F-1（U）>x。。。，F-1m（U）>xm）=P（U>F（x），U>F（x）。。。，U>Fm（xm））=P（U>max{F（x），F（x），…，Fm（xm）}=1- max{F（x），F（x），…，Fm（xm）}=min{F（x），\'F（x），…，\'Fm（xm）}，x∈ 这就是证据的结论。提案3.5。对于任何非负PUOD随机向量X，我们有ρ（X）≥ 0.证明。根据PUOD的定义，我们知道“FCX（x，…，xm）≥\'FX（x，…，xm）≥Qmi=1’FXi（xi），所以命题3.1中的被积函数是非负的，从而得出结论。4关于m=2的新依赖性测量与经典依赖性测量之间的关系，我们可以将ρ与Pearson相关系数γ、Koch和Schepper[11]中的共单调性系数κ以及Dhaene等人[12]中定义的ρcde联系起来。提议4.1。对于任意随机偶（X，Y），我们有ρ（X，Y）=γ（X，Y），当且仅当边缘分布仅在位置和/或尺度参数上不同时。证据

（X，Y）和（XC，YC）具有相同的边缘，因此ρ（X，Y）=E[XY]- E[X]E[Y]E[XCYC]- E[X]E[Y]=Cov（X，Y）Cov（XC，YC）=γ（X，Y）γ（XC，YC），当且仅当γ（XC，YC）=1时，它等于γ（X，Y）。因此，YC=aXC+b，某些常数a>0和b的概率为1∈ R、 因此F-1Y（p）=aF-1X（p）+b，由此我们可以得出，边际分布仅在位置和/或尺度参数上有所不同。提议4.2。对于任意随机偶（X，Y），我们有ρ（X，Y）=ρc（X，Y）。证据证据显而易见。提案4.3。对于任意非负随机向量X=（X，X，…，Xm），我们有ρ（X）=κ(-十） 。特别是当m=2时，ρ（X）=κ（X）。证据对于任意非负随机向量X，F-X（X）=P(-十、≤ 十、-十、≤ 十、-Xm≤ xm）=P（X≥ -x、 x≥ -十、Xm≥ -xm）=FX(-x） ，所以ρ（x）=R+∞· · ·R+∞\'-FX（x）-修复（x）dxR+∞· · ·R+∞\'-FCX（x）-修复（x）dx=R+∞· · ·R+∞“\'FX(-十）-“修复(-十）dxR+∞· · ·R+∞\'\'FCX(-十）-“修复(-十）dx=R+∞· · ·R+∞F-X（X）- 菲-X（X）dxR+∞· · ·R+∞常设费用-X（X）- 菲-X（X）dx=κ(-十） 。当m=2时，对于任何非负随机偶（X，X），\'FX，X（X，X）=1- 外汇（x）- FX（x）+FX，x（x，x）。因此，ρ（X，X）=R+∞R+∞\'FX，X（X，X）-\'FX（x）\'FX（x）DXR+∞R+∞\'FCX，X（X，X）-\'FX（x）\'FX（x）dx=R+∞R+∞外汇，X（X，X）- 外汇（x）外汇（x）DXR+∞R+∞FCX，X（X，X）- 外汇（x）外汇（x）dxdx=κ（X，X），这是证明的结论。根据上一个公式，我们可以写出ρ（X，X）=RRC（u，u）- uudF-1X（u）测向-1X（u）RRmin{u，u}- uudF-1X（u）测向-1X（u）。所以ρ不仅取决于copula，还取决于边缘。例4.1。为了说明上述现象，让我们考虑由cα（u）=uu[1+α（1）给出的F arlie-Gumbel-Morgenstern copula- u） （1）- u） ]α∈ [-1, 1].当两个边缘都是U（0，1）时，可以证明ρ=α。所以这个族的ρ的范围是[-1/3，1/3]获得最小值和最大值。所有其他边缘将导致测量值小于1/3。