随机一般均衡中的循环

一个被称为行为经济学（例如[29,30,31,32,27,4]）的领域正在发展，以建立宏观动态行为的微观基础，我们相信这将帮助我们更好地了解均衡和循环。根据本文中的观察结果，我们认为这个循环，就像平衡一样，是固有的。3.2. 方法相图分析（PDA）在宏观经济学中非常常见[2,22]。例如，代表性关系——菲利普斯曲线——是相图分析的经验结果。在理论宏观经济学中，相图通常用于通过连续时间连续动力学方程定性描述金融和商品市场之间的相互作用[3]，但很少用于随机模型。连续模型分析擅长趋势分析，但不擅长分布分析。相反，随机模型（如DSGE）分析擅长分布，但不擅长趋势[23]。经验数据中的动态模式可以用PDA可视化，但很少同时量化。在DSGE中识别模式是一项艰巨的任务[7,8,9]。如图1所示，我们的测量可以同时确定趋势和分布。关于测量，我们希望强调两点——本文中使用的L（2）测量通常是时间反转不对称的。如[12][14]所述，时间反转不对称性对于检验高随机过程中的确定性运动至关重要。这种方法起源于非平衡统计物理[25]。第二，与经济学中已有的周期度量不同，L（2）可以更自然地估计一个周期的存在，而不需要对中心的选择进行主观判断。此外，该测量可以报告动力场的局部性质。

据我们所知，这两点在确定经济动力学模式时没有得到很好的认识[24,6,7,8,9,22,26]。宏观经济学的宏观模型是无法回答的。遗憾的是，与我们之前在实验游戏中发现微观（如条件反应[15]）对宏观的研究不同，在这项研究中，我们无法在模型或数据中找到这种可处理的关系。我们希望看到现场或实验室的实验，以重建一般平衡的循环。我们希望在均衡中观察到的周期，包括纳什均衡和一般均衡，能够促进进一步的研究，特别是经济学中的基本概念。例如，theIS-LM曲线的精细结构、Goodwin循环等[2]。我们相信，通过严格的数学分析，动态方程模型和随机模型（如DSGE）可以在相空间中进行合并和追踪，而不是图解。因为，在相空间中，平衡偏差的纠缠可以精确测量。我们希望这些方法和结果能对宏观经济工程以及理解经济科学中的平衡概念有所帮助。表2：经验数据来源（美国、世界银行）变量符号变量名称系列代码年份π变化、GDP变化（年百分比）纽约。国内生产总值。德福。KD。ZG 1961-2013i实际利率（%）法国卢比。RINR 1961-2013年GRGDP增长率（年百分比）。国内生产总值。MKTP。KD。ZG 1961-20134。方法和材料4。1.模型与模拟该模型来源于Paul De Grauwe[4]的行为宏观经济学讲座，可称为新凯恩斯主义宏观经济模型或动态随机一般均衡（DSGE）模型。

该模型与教科书[2][3]中的通用as-AD模型框架相同，被视为宏观经济学的代表模型[16][17]。由于本说明的主要目的是说明一般均衡和方法中偏差的循环纠缠，我们使用行为模型的算法（见[4]第一章附录）生成时间序列，但不涉及模型。图1所示时间序列的主要变量是产出（yt）、通货膨胀（πt）和名义利率（rt）。在我们的模拟中，我们不改变作者选择的任何参数。在本研究中使用该算法之前，我们复制了作者[4]使用该算法的第一章中显示的结果，并获得了该章中显示的相同结果。4.2. 经验数据我们使用美国的数据来检验相空间中是否存在周期，并与行为宏观经济学的德格劳韦模型进行比较[4]。数据来源于2014年9月25日访问的世界银行网站。4.2.1。流动率-ππ的源数据可直接根据表2获得。4.2.2. 名义利率——r实际利率和名义利率与预期通货膨胀率之间的关系由Fisher方程1+r=（1+i）（1+π）给出，其中r是名义利率，i是实际利率，π是预期通货膨胀率。因为我 1和π 1，然后iπ非常小，作为一个近似值，我们在这项研究中使用=i+π（1）。i和π的源数据可根据表2.4.2.3获得。产出缺口——我们使用移动平均法来评估潜在GDP率全科医生对于输出间隙（y）。计算器解释如下。假设在年间隔[α，β]内，T表示用于计算移动平均数的年数。

对于t年的潜在GDP增长率，我们使用了一个简单的移动平均值，这是实际GDP增长率的未加权平均值全科医生年与年之间- T、 T+T]。第t年的潜在GDP增长率定义为gp（t）=2T+1t+TXτ=t-Tgr（τ），（2）其中，gr（τ）是τ年的实际GDP增长率。特别是，α+T之前一年的潜在GDP增长率定义为gp（T）| T<α+T=gp（α+T），而β之后一年的潜在GDP增长率定义为gp（T）|T<α+T=gp（α+T）- T为gp（T）|T>β-T=gp（β- T）。然后，表示为t Gp（t）的年度潜在GDP可定义为Gp（t）=GαtYτ=α+11+gp（τ）, （3） xt-1 xUT+1 VT+1图3:L（2）测量示意图，如公式5所示。L（2）报告下一个经纬仪（xt）的方向和振幅→ xt+1）关于当前运输（xt-1.→ xt）。在2D条件下，如果xt+1=ut+1，则L（2）为正。或者，如果xt+1=vt+1，则L（2）为负。因此，在本研究案例中，我们定义，当逆时针运动时，累积L（2）应为正，当逆时针运动时为负，同时，当| L（2）|较大时，循环运动更强。L（2）的隐喻是：如果循环运动是均匀确定的，L（2）将从零开始偏离。请注意，此测量是循环运动的数学抽象。需要强调两点：（1）以L（2）为指标，在任何一般平衡点（吸引子）周围不需要循环运动；（2） 这个角动量测量也可以表示为L（xt+1←xt | xt←xt-1） 被认为是一种贝叶斯方法。其中，Gα是α年的初始GDP。然后，t年产出缺口的百分比定义为asy（t）=Ga（t）- Gp（t）Gp（t）×100，（4）其中，Ga（t）是在第t年的实际GDP（不变的2005美元，在世界银行数据库中编码为NY.GDP.MKTP.KD）。在我们的研究案例中，我们选择T=5，α=1960，β=2013。

因此，可以获得输出间隙y（t），并在图2中的子图中显示。将T从3改为10，我们在本注释中未观察到主要结果的显著差异。1960年至1965年和2008年至2013年这两个时期的潜在GDP分别约为1965年和2008年。在切割样本（1960-1965年和2008-2013年）时，我们没有观察到主要结果的显著差异。图8从左到右分别显示了实际增长率、三个变量的时间序列和测量的经验L（2）的三个组成部分。4.3. 测量为了探索一般均衡的模式，我们扩展了之前研究[11][13][14][15]中使用的测量方法。4.3.1. n采样角动量我们提出了一种测量方法，称为平均角动量，表示为L，以量化周期运动。在相空间S中，在n个时间段（t，t，…，tn）内形成一条演化轨迹（x，x，…，xn）。相对于轨迹中心Pni=1xi/n，L（n）是每个连续变换的两个向量的叉积的平均值。明确地说，L（n）定义为L（n）S=nnXi=1xi×xi+1。（5） 在本研究中，S代表π-y-r三维空间。与xt类似，L（n）是一个有三个分量的向量，表示为（L（n）π、L（n）y、L（n）r）或（L（n）y）-r、 L（n）r-π、 L（n）π-y） ，表示y-r中的循环运动，r-π和π-y在二维空间中的循环运动。

在给定的长表3中：稳健性测试n′L（n）π-yp\'L（n）y-rp-L（n）r-πp2-0.8634 0.0311 1.4038 0.0002 0.1858 0.56113 -2.8083 0.0024 4.4615 0.0000 0.3800 0.91164 -5.4011 0.0004 8.6940 0.0000 0.3296 0.68705 -8.2188 0.0001 13.4340 0.0000 -0.0246 0.75056 -11.1249 0.0000 18.0349 0.0000 -0.5237 0.84077 -14.0079 0.0000 22.4741 0.0000 -1.1396 0.71448 -16.9161 0.0000 26.6510 0.0000 -1.8652 0.53109 -19.9469 0.0000 30.6053 0.0000 -2.5685 0.513410 -23.1497 0.0000 34.5579 0.0000 -3.4236 0.340111 -26.4547 0.0000 38.5523 0.0000 -4.4856 0.171012 -29.9195 0.0000 42.6605 0.0000 -5.7208 0.0860在相空间S中长度为l的轨迹（时间序列），给定固定的自然数n，我们可以得到l（n）S的l/n样本，然后得到l（n）扫描的概率谱。在[13]中，我们在实验游戏中使用了这种测量方法，其中n被设置为[33]中实验会话的总长度（例如，n=150）。在正文中，我们使用n=2来显示统计结果。图3是L（2）测量的示意图和定义。L（2）直接报告瞬时循环运动。作为向量，L（2）（t）=（xt+1-xt）×（xt- xt-1） 报告nest transition（xt到xt+1）相对于Current transition（xt）的转变方向和幅度-1至xt）。在一小步的确定性过程中，指的是每一个跃迁，它的下一个跃迁有一个确定的方向，它的角动量是确定的，应该从零开始偏离。在给定的相平面上投影，L（2）的观测分量在逆时针运动时为正，顺时针运动时为负。表1展示了根据图1所示的理论速度场模式对L（2）的理论预期（假设）。

为了测试稳健性，我们还测试了n=3，4，5。。。，12表示L（n），结果如表3.4.3.2所示。速度向量场和分布速度向量场是状态相关运动的图解表示。[11]和[34]中对速度场的测量进行了详细定义和说明。附加材料4。4.1. 经验数据中的分布与模拟在美国的经验数据中，关于分布的统计结果是，r- π显著（p=0.000，OLE，n=53），这也支持理论预期。在y- r（p=0.368，OLE，n=53）或π- y（p=0.301，OLE，n=53），我们没有发现显著的结果。在由DSGE模型生成的模拟时间序列中，相同长度的随机采样得到相同的结果。这与图2.4.4.2第一行所示图表中显示的模拟分布模式一致。周期的稳健性测试为了测试L（2）确定的周期结果的稳健性，我们分别取采样间隔n=3、4、5、6、7、8、9、10、11和12（年）来计算L（n）。我们观察到，没有一个理论预期在统计学上被违背。相反，所有观测到的L（n）π-y满足顺时针循环的预期，所有L（n）y-同时，r中的顺时针循环预期为弱循环和无循环（短期）- π平面。表3显示了平均观测值和统计结果（Wilcoxon配对符号秩检验，通过比较L（n）和0，因为如果系统在随机性中，L（n）在统计上应为零）。循环的理论评估为了更好地理解固有的循环模式，需要一种分析方法。

我们可以尝试简化模型，以分析方式评估L（2）。回想一下，在[35][4]中，研究策略包括将该行为模型的动力学与理性预期下的同一结构模型进行比较，该模型可以被解释为一个程式化的DSGE模型，并且可以用矩阵符号表示，参考[35]中的等式（15），如下所示：1.-b0 1-A.-C-Cπ-tytrt=B00-aa0Etπt+1Etyt+1Etrt+1+1.- B000 1- A00摄氏度πt-1yt-1rt-1.+ηtεt~nt. （6） 理论上，当l.h.s中的系数矩阵为满秩，即其行列式不等于零时，可以求解该方程。通常，可通过粘合剂和Pesaran[37]程序获得溶液[4,36]。在本文中，我们不使用蛮力迭代法，而是在一个简化条件下，显式地计算L（2）来净化固有循环。考虑到产出缺口和通货膨胀预期预测的启发法，前瞻性术语（Etπt+1，Etyt+1，Etrt+1）被给定离散选择机制的等效表达式所取代。使用外推规则，根据[4]中的等式（1.5），Etyt+1=yt-1.类似地，根据[4]中的等式（1.15），Etπt+1=πt-1.因此，该模型完全是向后看的，可以写成递归公式。因此，等式6被证明是1.-b0 1-A.-C-Cπ-tytrt=1 0 0-100摄氏度πt-1yt-1rt-1.+ηtεt~nt. （7） 这个方程可以用反向归纳法求解[36]。

如果忽略噪声项，π-tytrt= Cab+ac- 1.-B-abc-a（c）- 1)-1.-aca（c+bc）- C-C- 公元前-Cπt-1yt-1rt-1.= Fπt-1yt-1rt-1., （8） 其中F表示每月的行动。当常数C≡ ac+abc- 1，0，在[4]中被指出为等式（1.22），在[35]中被指出为等式（1.22）。模型的校准方式是，时间单位可以被视为月（见[4]中的第12页），我们使用Fas操作来计算每年的L（2）——因为1960-2013年每年报告的经验数据。然后，使用模型中的参数a、a、b、b、c、c（见[4]中的第36页），每月的动作是F=0.9955 0.0448 -0.0045-0.0897 0.8969 -0.08971.4484 0.5157 0.4484如果不存在噪音，每年的行动是=0.4360 0.1408 -0.0296-1.2129-0.1841 0.02830.2559 0.3022 -0.0738（9） 然后，预期的L（2），从xt开始的连续传输中的角动量-1 to xt to xt+1可表示为1（2）=（xt+1- xt）×（xt- xt-1） （10）=Fy×y，（11），其中y=（F）- 1） xt-1=xt- xt-1和y被用作基准，矢量Xt+1将从中移动方向和振幅。用F代替Y，通过53次重复随机抽样（正态分布噪声，相对于平衡[0,0,0]的标准偏差为1）确定位置Xt-1，t和t+1处的冲击为正态分布噪声，标准偏差为[4]中建议的0.5。我们进行了1000次这样的计算，平均L（2）的分布如图7（右面板）所示。总的来说，L（2）的平均值约为Yas[L（2）π-y、 L（2）y-r、 L（2）r-π] = [-1.392,2.637,0.4361]（12）该结果如图7的右面板所示。

因此，期望值近似表示为| L（2）π-y |>L（2）y-r |>L（2）r-π|与l（2）y-R L（2）r-π≥ 0 L（2）π-y（13）形式，理论预测可在表1.4.4.4中显示。周期和单次冲击为了说明DSGE中周期的存在是由于持续的噪声，理论上，我们可以控制噪声（等式7中最右边的术语）。我们可以看到，即使在非均质冲击处于平衡状态时，DSGE也可能出现循环运动。我们给出了一个外生π激波的例子来说明这些循环。我们假设系统在t处处于平衡状态[π，y，r]=[0,0,0]- 1，然后在t的π处加一个正+10的外源性电击，此后不加外源性电击。这样的系统将根据其自身的动力学方程8演化。如图4所示（最左上方的子图），系统将在几个月后恢复平衡。在这个恢复过程中，L（2）和三个2D空间中的循环模式可以量化和可视化。类似地，我们可以分别在y或r处添加外源性冲击。我们还可以分别在π、y或r处添加负外生休克。在这六个例子中，我们可以分析π- Y- r纠缠，L（2）测量和三相平面中的演化轨迹。图4和图5显示了结果。很明显，等式8所描述的系统将很快（大约50个周期）恢复到平衡[0,0,0]。重要的是，在图中的所有六个例子中。