Berk-Nash均衡：一个具有错误指定的代理建模框架

Berk-Nash和ABEE之间的等价性直接从（a）、（b）中得出，最后一个结论是，由于弱拓扑是由一系列形式的半范数引起的：ρ（u，u）=|Eu[f]，因此，具有信号sian和信念的参与者i的预期效用也随之产生- Eu[f]|对于f连续且有界的任意u和uin（Θi）。等式pω∈Ohm气Ohm,θiσ（ω| si）Px-我∈十、-iQiX-i、 θiσ（x）-i |αi（ω））πi（(R)xi，x-i、 ω）。（a）和（b）项的证明：-Ki（σ，θi）等于，直到一个常数，Xsi，~w，~x-伊恩气Ohm,θi（∧ω| si）QiX-i、 θi（~x）-i |αi（"oω））Yj6=iσj（~xj | sj（~ω））pOhm|Si（ω| Si）pSi（Si）=Xsi，ωln气Ohm,θi（ω| si）POhm|Si（ω| Si）pSi（Si）+X |X-i、 αi∈艾琳齐克斯-i、 θi（~x）-i |αi）X~ω∈αiYj6=iσj（~xj | sj（~ω））pOhm(~ω).可以直接检查使上述表达式最大化的任何参数值是否满足（a）和（b）。引理2的证明。该证明使用了在该证明之后陈述和证明的权利要求B。这有助于确定极限→∞Θidi（σ，θi）uit（dθi）=0 a.s.in H，其中di（σ，θi）=inf^θi∈Θi（σ）kθi-^θik。修好我∈ 我和h∈ H.然后，根据贝叶斯规则，^Θidi（σ，θi）uit（dθi）=Θidi（σ，θi）Qt-1τ=0Qiθi（yiτ| siτ，xiτ）Qiστ（yiτ| siτ，xiτ）ui（dθi）\'iQt-1τ=0Qiθi（yiτ| siτ，xiτ）Qiστ（yiτ| siτ，xiτ）ui（dθi）='Θidi（σ，θi）etKit（h，θi）ui（dθi）'ietKit（h，θi）ui（dθi），其中第一个等式由假设1定义，ui的完全支持，事实上，Pu，φ（h）>0意味着所有Qiστ项为正，其中我们定义了kit（h，θi）=-tPt-1τ=0lnQiστ（yiτ| siτ，xiτ）Qiθi（yiτ| siτ，xiτ），表示第二个等式。对于任何大于0的α，定义Θiα（σ）≡ {θi∈ Θi:di（σ，θi）<α}。然后，对于所有ε>0和η>0，Θidi（σ，θi）uit（dθi）≤ε+CAit（h，σ，ε）Bit（h，σ，η），其中C≡ supθi，θi∈Θikθi- θik<∞ （因为Θiis有界）和whereit（h，σ，ε）=Θi\\Θiε（σ）etKit（h，θi）ui（dθi）和Bit（h，σ，η）=Θiη（σ）etKit（h，θi）ui（dθi）。本文的结论是，对于所有（非常小的）ε>0，ηε>0这样的极限→∞Ait（h，σ，ε）/Bit（h，σ，ηε）=0。

这个结果是通过几个步骤实现的。第一ε>0，定义Kiε（σ）=inf{Ki（σ，θi）|θi∈ Θi \\Θiε（σ）}和αε=（Kiε（σ）- Ki（σ））/3，其中Ki（σ）=infθi∈ΘiKi（σ，θi）。通过Ki（σ，·）的连续性，存在ε和α等，ε ≤ ε, 0 < αε≤ α < ∞. 从今往后，让ε≤ ε. 它遵循thatKi（σ，θi）≥ Kiε（σ）>Ki（σ）+2αε（11）θ等于di（σ，θi）≥ ε. 此外，通过Ki（σ，·）的连续性，ηε>0，因此，θi∈如果对于某些θi，对于某些τ，Qiθi（yiτ| siτ，xiτ）=0∈ {0，…，t- 1} 然后我们定义Kit（h，θi）=-∞和经验tKit（h，θi）= 0.Θiηε，Ki（σ，θi）<Ki（σ）+αε/2。（12） 第二，让我=θi∈ Θi:Qiθi（yiτ| siτ，xiτ）>0表示所有τ和^Θiηε（σ）=^Θi∩Θiηε（σ）。我们现在证明ui（^Θiηε（σ））>0。根据引理1，Θi（σ）是非空的。匹克尼θi∈ Θi（σ）。根据假设1，（θin）ninΘisuch that limn→∞θin=θiandQiθin（yi | si，xi）>0易∈ 菲(Ohm, xi，X-i） 所有（四、十一）∈ Si×Xi。特别地，θi，θi的连续性存在于^Θiηε（σ）。通过完全支持，ui（^Θiηε（σ））>0。接下来，请注意，lim inft→∞Bit（h，σ，ηε）et（Ki（σ）+αε）≥ lim inft→∞^^iηε（σ）et（Ki（σ）+αε+Kit（h，θi））ui（dθi）≥^^Θiηε（σ）elimt→∞t（Ki（σ）+αε-Ki（σ，θi））ui（dθi）=∞ （13） a.s.在H中，第一个不等式如下，因为^iηε（σ） Θiηε（σ）和exp是一个正函数，第二个不等式来自Fatou引理和非iid随机变量的LLN，这意味着limt→∞Kit（h，θi）=-Ki（σ，θi）θi∈^Θi，a.s.inH（参见下面的权利要求B（i）），最后一个等式来自（12）和ui（Θiηε（σ））>0的事实。接下来，我们考虑术语Ait（h，σ，ε）。权利要求B（ii）和B（iii）（见下文）暗示不是这样的，T≥ T，Kit（h，θi）<-（Ki（σ）+（3/2）αε）θi∈ Θi \\Θiε（σ），a.s.inH。因此，limt→∞Ait（h，σ，ε）et（Ki（σ）+αε）=limt→∞^Θi \\Θiε（σ）et（Ki（σ）+αε+Kit（h，θi））ui（dθi）≤ ui（Θi\\Θiε（σ））limt→∞E-tαε/2=0。a、 在H。

上述表达式和等式（13）暗示limt→∞Ait（h，σ，ε）/Bit（h，σ，ηε）=0 a.s.-Pu，φ。我们陈述并证明上述证明中使用的索赔B。对于任何ξ>0，定义Θiσ，ξ为θi∈ Θiσ，ξ当且仅当Qiθi（yi | si，xi）≥ ξ对于所有（si，xi，yi），如Qiσ（yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）>0。索赔B.尽管我∈ I：（I）对于所有θI∈^Θi，limt→∞Kit（h，θi）=-Ki（σ，θi），a.s.inH；（ii）存在ξ*> 0和Tξ*以至于，T≥ Tξ*, Kit（h，θi）<-（Ki（σ）+（3/2）αε）θi/∈ H中的Θiσ，ξ，a.s；（iii）对于所有ξ>0，^Tξ使得，T≥^Tξ，Kit（h，θi）<-（Ki（σ）+（3/2）αε）θi∈ Θiσ，ξ\\Θiε（σ），a.s.在H.证明中：定义频率（zi）=tPt-1τ=0zi（ziτ）子∈ 子。Kit可以写成Kit（h，θi）=κi1t（h）+κi2t（h）+κi3t（h，θi），其中κi1t（h）=-T-1吨-1τ=0Pzi∈子zi（ziτ）-\'Piστ（zi）ln Qiστ（zi），κi2t（h）=-T-1吨-1τ=0Pzi∈Zi′Piστ（Zi）ln Qiστ（Zi），和κi3t（h，θi）=Pzi∈zifrejit（zi）ln Qiθi（zi）。下面的陈述几乎肯定适用于H，但我们省略了这个限定。首先，我们展示limt→∞κi1t（h）=0。定义liτ（h，zi）=zi（ziτ）-\'Piστ（zi）ln Qiστ（zi）和Lit（h，zi）=Ptτ=1τ-1liτ（h，zi）子∈ 子。修正任何错误∈ 子。我们证明了Lit（·，zi）将a.s.收敛到一个可积的有限函数Li∞（·，子）。为了证明这一点，我们使用鞅收敛结果。让htt表示直到timet的部分历史。自EPu，φ（·ht）lit+1（h，zi）= 0，然后EPu，φ（·ht）Lit+1（h，zi）= Lit（h，zi）和so（Lit（h，zi））是关于Pu，φ的鞅。接下来，我们展示suptEPu，φ[|Lit（h，zi）|]≤M代表M<∞. 注意EPu，φLit（h，zi）= EPu，φPtτ=1τ-2.liτ（h，zi）+Pτ>τliτ（h，zi）liτ（h，zi）. 因为这是一个鞅差序列，对于τ>τ，EPu，φliτ（h，zi）liτ（h，zi）= 因此，EPu，φLit（h，zi）=Ptτ=1τ-2EPu，φliτ（h，zi）.还应注意EPu，φ（·hτ-1)liτ（h，zi）≤ln Qiστ（zi）气στ（zi）。

因此，根据迭代期望定律，EPu，φLit（h，zi）≤Ptτ=1τ-2EPu，φhln Qiστ（zi）Qiστ（zi）i，它又在1上有界，因为（lnx）x≤ 1.十、∈ [0,1]，我们使用（ln0）0=0的约定。因此，suptEPu，φ[|Lit |]≤ 1.根据理论。2.8在Durrett（2010）中，Lit（h，zi）将a.s.-Pu，φ收敛为有限Li∞（h，zi）。因此，byKronecker引理（Pollard（2001），第105页），limt→∞Pzi∈子T-1Ptτ=1zi（ziτ）-\'Piστ（zi）ln Qiστ（zi）= 因此，limt→∞κi1t（h）=0。接下来，考虑κi2t（h）。假设limt→∞σt=σ，并且Qiσln的连续性，Qiσinσ意味着limt→∞κi2t（h）=-P（si，xi）∈Si×XiEQσ（·| Si，xi）[ln Qiσ（Yi | Si，xi）]σi（xi | Si）pSi（Si）。κi1t，κI2t的极限意味着，γ > 0, ^tγ使得，T≥^tγ，κi1t（h）+κi2t（h）+X（si，xi）∈Si×XiEQσ（·| Si，xi）ln Qiσ（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）≤ γ. （14） 现在我们通过刻画κi3t（h，θi）的极限来证明（i）-（iii）。（i） 无论如何∈ 子，频率（zi）-πσ（zi）≤T-1吨-1τ=0zi（ziτ）-\'Piστ（zi）+T-1吨-1τ=0\'Piστ（zi）-πσ（zi）. RHS中的第一项变为0（证明基本上与The相同）。这个引理意味着对于序列（`t）tifPτ`τ<∞, 然后，τ=1bτbt′τ→ 0，其中（bt）是一个非递增的正实数值，它发散到∞. 我们可以用\'t\'应用引理≡ T-1ltandbt=t.证明κi等于0）。第二项为0，因为limt→∞σt=σ，且“Pi”是连续的。因此ζ > 0, ^tζ使得，T≥^tζ，子∈ 子，频率（zi）-πσ（zi）< ζ（15）因此，由于θi∈^Θi，limt→∞κi3t（h，θi）=P（si，xi）∈Si×XiEQσ（·| Si，xi）ln Qiθi（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）。该表达式和（14）建立了第（i）部分。（ii）对于所有θi/∈ Θiσ，ξ，设ziθibe，使得πσ（ziθi）>0和Qiθi（ziθi）<ξ。到（15），tpiL/2suchT≥ tpiL/2，κi3t（h，θi）≤ 频率（ziθi）ln Qiθi（ziθi）≤ （piL/2）lnξθi/∈ Θiσ，ξ，其中piL=minZi{Piσ（zi）：\'Piσ（zi）>0}。

这个结果和（14）意味着，T≥ T≡max{tpiL/2，^t}，Kit（h，θi）≤ -X（四、十一）∈Si×XiEQσ（·| Si，xi）ln Qiσ（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）+1+piL/2lnξ≤ #Zi+1+齐鲁/2lnξ，（16）θi/∈ Θiσ，ξ，其中第二行来自σi（xi | si）pSi（si）≤ 1和x ln（x）∈ [-1, 0] 十、∈ [0，1]。此外，Ki（σ）<∞ αε≤ α < ∞ε ≤ ε表示（16）的RHS可以低于-（Ki（σ）+（3/2）αε）对于一些非常小的ξ*.（iii）对于任何ζ>0，设ζξ=-αε/（#Zi4 lnξ）>0。到（15），^tζξ使得，T≥^tζξ，κi3t（h，θi）≤X{zi:\'Piσ（zi）>0}freqit（zi）ln Qiθi（zi）≤X{zi:\'Piσ（zi）>0}πσ（zi）- ζξln Qiθi（zi）≤X（四、十一）∈Si×XiEQσ（·| Si，xi）ln Qiθi（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）- #Ziζξlnξ，θi∈ Θiσ，ξ（自Qiθi（zi）≥ ξ 使πσ（zi）>0）。在上述表达式中，αε/4=-#Ziζlnξ和（14）意味着，T≥^Tξ≡ max{^tζξ，^tαε/4}，Kit（h，θi）<-Ki（σ，θi）+αε/2θi∈ Θiσ，ξ。这个结果和（11）暗示了期望的结果。在线附录示例：逆向选择交易在本节中，我们提供示例2中交易环境的正式细节。5.让p∈ （A×V）为真实分布；我们使用下标，如pAandpV | A，来表示相应的边际分布和条件分布。设Y=A×V∪{} 表示可观察结果的空间，其中 这将是一种方便的方式来代表没有贸易的事实。我们用V表示随机变量取值∪{} ^V。请注意，本例中的状态空间是Ohm = A×V.部分反馈由函数fP:X×A×V表示→ Y使得fp（x，a，v）=（a，v）如果a≤ x和fP（x，a，v）=（a，) 如果a>x，则fF（x，a，v）=（a，v）表示完全反馈。在所有情况下，payoff由π：X×Y给出→R、 式中π（x，a，v）=v- 如果a≤ 否则为x和0。

部分反馈情况下的目标分布QP为，十、∈ 十、（a、v）∈ A×V，QP（A，V | x）=p（A，V）1{x≥a} （十）以及，十、∈ 十、A.∈ A、 QP（A、， | x） =pA（a）1{x<a}（x）。对于完全反馈的情况，QF的客观分布是，十、∈ 十、（a、v）∈ A×V，QF（A，V | x）=p（A，V），以及，十、∈ 十、A.∈ A、 QF（A， | x） =0。买方了解除配电盘p以外的环境∈ （A×V）。然后，对于主观模型中的任何分布，Qθ，选择x的感知预期收益∈ X isEQθ（·X）[π（X，A，V）]=X（A，V）∈A×V{x≥a} （x）（v）- x） Qθ（a，v | x）。（17） 买方在参数集ΘI=（A） ×（五） （即独立信仰）或ΘA=×j（A） ×（五） （即基于类比的信念）在正文中定义。因此，结合反馈和参数集，我们有四种情况需要考虑，对于每种情况，我们写下了主体模型和wKLD函数。该死的平衡。反馈为F，参数集为ΘI。主观模型为，十、∈ 十、（a、v）∈ A×V，QCθ（A，V | x）=θA（A）θV（V），和，十、∈ 十、A.∈ A、 QCθ（A， | x） =0，其中θ=（θA，θV）∈ ΘI.这是一个基于类比的游戏。事实上，这个符号 在这个例子中没有必要，但我们保留它，以便在相同的结果空间中定义所有反馈函数。（17） ，x的预期收益∈ X isprθA（A）≤ x） （EθV[V]-x） ，（18）其中prθ表示关于θa的概率，EθV表示关于θV的期望。同样，对于所有（纯）策略x∈ 十、 wKLD函数是kc（X，θ）=EQF（·X）lnQF（A，^V|x）QCθ（A，^V|x）=X（a，v）∈A×Vp（A，v）lnp（A，v）θA（A）θv（v）。每x∈ 十、 θ（X）=（θA（X），θV（X））∈ ΘI=（A） ×（五） 式中，θA（x）=pa，θV（x）=pv是使KC（x，·）最小化的唯一参数值。与（18）一起，我们得到了正文中的方程∏cei。行为平衡（天真版）。

反馈为FP，参数集为ΘI。主观模型为，十、∈ 十、（a、v）∈ A×V，QBEθ（A，V | x）=θA（A）θV（V）1{x≥a} （十）以及，十、∈ 十、A.∈ A、 QBEθ（A， | x） =θA（A）1{x<A}（x），其中θ=（θA，θV）∈ ΘI.来自（17），来自x的预期收益∈ X如等式（18）所示。此外，对于所有（纯）策略x∈ 十、 wKLD函数是kbe（X，θ）=EQP（·X）lnQP（A，^V|x）QBEθ（A，^V|x）=X{a∈A:A>x}pA（A）lnpA（A）θA（A）+x{（A，v）∈A×V:A≤x} p（a，v）lnp（a，v）θa（a）θv（v）。每x∈ 十、 θ（X）=（θA（X），θV（X））∈ ΘI=（A） ×（五） 式中，θA（x）=pa和θV（x）（V）=pV | A（V | A≤ 十）五、∈ V是使kbe（x，·）最小的唯一参数值。与（18）一起，我们得到了正文中的方程∏。基于类比的期望均衡。反馈为F，参数集为ΘA。主观模型为，十、∈ 十、（a、v）∈ A×Vj，所有j=1。。。，k、 QABEEθ（a，v | x）=θj（a）θv（v），以及，十、∈ 十、A.∈ A、 QABEEθ（A， | x） =0，其中θ=（θ，…，θk，θV）∈ ΘA.这是一个基于类比的游戏。从（17）开始，感知到x的预期收益∈ X iskXj=1P rθV（V∈ Vj）prθj（A）≤ x | V∈ Vj）（EθV[V | V∈ [Vj]- 十）. （19） 在所有情况下，混合策略的扩展都很简单。此外，对于所有（纯）策略x∈ 十、 wKLD函数是kabee（X，θ）=EQF（·X）lnQF（A，^V|x）QABEEθ（A，^V|x）=kXj=1X（a，v）∈A×Vjp（A，v）lnp（A，v）θj（A）θv（v）。每x∈ 十、 θ（X）=（θ（X）。。。，θk（x），θV（x））∈ ΘA=×j（A） ×（五） 式中θj（x）（a）=pA | Vj（a | V∈ Vj）A.∈ A和θV（x）=pv是使KABEE（x，·）最小化的唯一参数值。与（19）一起，我们得到了正文中的方程∏Abe。行为平衡（天真版）与类比类。当然，也可以考虑文献中未探讨的情况，即反馈是局部的，主观模型由Θa参数化。假设买方的行为稳定到某个价格x*.

由于类比类别之间可能存在相关性，买方现在可能认为偏离不同的价格x 6=x*影响她的价值。尤其是，买家可能对x有多种信念*. 为了获得自然均衡，我们假设买方也观察包含其已实现估值的模拟类，无论其是否交易，以及Pr（V∈Vj，A≤ x） 对于所有j=1，…，大于0。。。，k和x∈ 我们用函数fP表示这个新的反馈假设*: X×A×V→ Y*Y在哪里*= A×V∪ {1，…，k}和fP*（x，a，v）=（a，v）如果a≤ x和fP*（x，a，v）=（a，j）如果a>x和v∈ Vj。给定这个反馈函数的目标分布是，十、∈ 十、（a、v）∈ A×V，QP*（a，v|x）=p（a，v）1{x≥a} （十）以及，十、∈ 十、A.∈ A和所有j=1。。。，k、 QP*（a，j | x）=pA | Vj（a | V）∈ Vj）pV（Vj）1{x<a}（x）。主观模型是，十、∈ 十、（a、v）∈A×Vjand all j=1。。。，k、 QBEAθ（a，v | x）=θj（a）θv（v）1{x≥a} （十）以及，十、∈ 十、（a、v）∈ A×Vjand all j=1。。。，k、 QBEAθ（a，j | x）=θj（a）Pv∈VjθV（V）{x<a}（x），其中θ=（θ，θ，…，θk，θV）∈ ΘA.特别是，从（17）中，可以看出x的预期收益∈ X如等式（19）所示。

此外，对于所有（纯）策略x∈ 十、 另一种更自然的方法是，我们可以要求均衡是一系列混合策略均衡的极限，所有价格都是以正概率选择的。函数isKBEA（x，θ）=EQP*（·| x）lnQP*（A，^V|x）QBEAθ（A，^V|x）=kXj=1X{（a，v）∈A×Vj:A≤x} p（a，v）lnp（a，v）θj（a）θv（v）+x{（a，j）∈A×{1，…，k}:A>x}pA|Vj（A|V∈ Vj）pV（Vj）lnpA | Vj（a | V∈ Vj）pV（Vj）θj（a）pV∈VjθV（V）。每x∈ 十、 θ（X）=（θ（X）。。。，θk（x），θV（x））∈ ΘA=×j（A） ×（五） 式中θj（x）（a）=pA | Vj（a | V∈ Vj）A.∈ A和θV（x）（V）=pV | A（V | V∈ Vj，A≤ x） pV（Vj）五、∈ Vj，所有j=1。。。，k是使KBEA（x，·）最小的唯一参数值。与（19）一起，我们得到了∏BEA（x，x）*) =Pki=jPr（V∈ Vj）公共关系（A）≤ x | V∈Vj）EV | V∈ Vj，A≤ 十、*- 十、.B逆结果的证明：定理3Let（¨ui）i∈Ibe是一个支持σ作为平衡的信念文件。考虑以下政策文件φ=（φit）i，t:∈ I和所有t，（uI，si，ξI）7→ φit（ui，si，ξi）≡如果最大∈I||||||||||||I-“气”ui|≤2Cεtаi（ui，si，ξi）否则，其中аi是ψi，C中的任意选择≡ 马克西#Yi×supXi×Yi |πi（xi，Yi）|<∞, 斜纹的顺序（εt）定义如下。尽管我∈ 一、 Fix任何先前的uI，即uI（·| I（σ））=uI（其中对于任何 ΘBorel，u（·| A）是给定的条件概率A）。我们现在证明，如果εt≥ 0利姆特和利姆特→∞εt=0，那么φ是渐近最优的。在整个论证过程中，我们定义了一个任意的i∈ I.滥用符号，letUi（uI，si，ξI，xi）=E|QuI（·si，xi）[πI（xi，Yi）]+ξI（xi）。必须显示ui（ui，si，ξi，φIt（ui，si，ξi））≥ Ui（ui，si，ξi，xi）- εt（20）表示所有（i，t）、所有（ui，si，ξi）和所有xi。通过φ的构造，方程（20）满足最大值∈I||||||||||||I-“Qi”ui||>2Cεt。

如果取而代之的是maxi∈I||||||||||||I-“气”ui|≤2Cεt，thenUi（\'ui，si，ξi，φit（ui，si，ξi））=Ui（\'ui，si，ξi，νi（\'ui，si，ξi））≥ Ui（°i，si，ξi，xi），（21）xi∈ xi此外xiUi（ui，si，ξi，xi）- Ui（ui，si，ξi，xi）=Xyi∈Yiπ（xi，Yi）“气”ui（一思，十一）-“七u一（一|四，十一）≤ supXi×Yi |πi（xi，Yi）|Xyi∈易“气”ui（一思，十一）-“七u一（一|四，十一）≤ supXi×Yi |πi（xi，Yi）|×#Yi×maxi，xi，si“气”ui（一思，十一）-“七u一（一|四，十一）所以通过我们选择C，|Ui（ui，si，ξi，xi）- Ui（ui，si，ξi，xi）|≤ 0.5εtxi因此，等式（21）暗示等式（20）；因此，如果εt≥ 0t和Limt→∞εt=0。我们现在构造一个序列（εt）tsuch，εt≥ 0利姆特和利姆特→∞εt=0。设φi=（φit）tbe，使得φit（ui，·，·）=φi（ui，·，·）ui；i、 e.“φi”是一种静态策略，在假设信念总是“ui”的情况下使效用最大化。设ζi（ui）≡2C|||||||||||||-“Qi”ui | | |并假设（证明在末尾）pu，φ（limt→∞马克西∈I|ζI（uit（h））|=0）=1（22）（请记住，Pu，\'φ是由政策文件φ诱导的h上的概率度量；φ，Pu，\'φ的定义不依赖于μ）。然后通过第二个Borel-Cantelli引理（Billingsley（1995），第59-60页），对于任何γ>0，PtPu，\'-φ（maxi∈I|ζI（uit（h））|≥ γ) <∞. 因此，对于任何a>0，都存在一个序列（τ（j））jsuch thatXt≥τ（j）Pu，\'φ马克西∈I|ζI（uit（h））|≥ 1/j<A.-j（23）和limj→∞τ（j）=∞. 尽管如此，t≤ τ（1），我们设置εt=3C，对于任何t>τ（1），我们设置εt≡ 1/N（t），其中N（t）≡P∞j=11{τ（j）≤ t} 。注意，自从limj→∞τ（j）=∞,N（t）→ ∞ 作为t→ ∞ 因此εt→ 0