Berk-Nash均衡：一个具有错误指定的代理建模框架

随机近似理论（例如Kushner and yin（2003））粗略地说，为了研究（βt）的渐近行为，tit足以研究以下ODE的轨道行为˙β（t）=g（β（t））。稳态的表征。为了找到（βt）t的稳态，只需找到β即可*使得G（β*) = 0.设H（m）≡ F（8a）- 96m）10(-（a）- a） +（b）- m） 10）+（1-F（8a）- 96m）2(-（a）- a） +（b）- m） 2）。观测G（β）=r-1H（m）和他的连续性→-∞H（m）=∞ 安德林→∞H（m）=-∞. 因此，至少存在一种溶液H（m）=0。因此，至少存在一个β*使得G（β*) = 0.设b=b-A.-a=4-=b=b-A.-a=4-42-40=3，`r=4+F（8a-96b）96和r=4+F（8a- 96¨b）96和b≡ [b，\'b]×[r，\'r]。因此H（m）<0m>b，因此m*一定是这样的*≤’b.也很容易看出m*≥ b、 此外，dH（m）dm=96f（8a-（96m）8（a）-（a）-B-M-4.-96F（8a）-96m）。因此，对于任何m≤\'b，dH（m）dm<0，因为≤“b意味着8（a-（a）≤ （b）-m） 80<（b-m） 96。因此，在相关领域m∈ [b，\'b]，他的值在减少，因此意味着只有一个m*使得H（m*) = 因此，只存在一个β*使得G（β*) = 0 .我们现在感兴趣的是描述β的极限*当微扰消失时，即当F收敛到1{ξ≥ 0}. 为此，我们引入了一些符号。我们考虑收敛到1{ξ的序列（Fn）≥ 0}并使用β*nto表示与Fn相关的稳态。最后，我们用HN来表示与Fn相关的HASS。我们进行如下工作。首先要注意的是*N∈ Bn、 该限制存在（如果需要，将转到子序列）。我们证明了*≡ 画→∞M*n=8a=8=。假设不是，尤其是假设limn→∞M*n<8a=（质量相反的参数是类似的，因此省略）。在这种情况下，limn→∞8a- 96m*n> 0，和我们一样→∞Fn（8a）- 96m*n） =1。

特里弗林→∞Hn（β*n） =10(-（a）- a） +（b）- M*) 10) ≥ 10-2 +> 0.但这意味着N使得Hn（β*n） >0N≥ 这是一个矛盾。此外，定义σ*n=Fn（8a）-96m*n） 和σ*= 画→∞σn.自Hn（m）*n） =0nand m*=, 因此σ*=-2.-2 +4.--2 +4.-- 2.-2 +4.-=.全局收敛到稳定状态。在我们的例子中，事实上可以证明行为以概率1收敛到唯一平衡。根据Benaim（1999）第6.3节的结果，建立β的全局渐近稳定性是有效的*对于任何n，即β的吸引盆*都是B。为了做到这一点，让L（β）=（β- β*n） P（β- β*n） 对于所有β；P在哪里∈ R2×2正定义和对角线，稍后确定。请注意，L（β）=0 iβ=β*n、 AlsodL（β（t））dt=L（β（t））G（β（t））=2（β（t）- β*n） P（G（β（t））=2（m（t）- M*n） P[11]G（β（t））+（r（t）- R*n） P[22]G（β（t））.自G（β）*n） =0，dL（β（t））dt=2（β（t）- β*n） P（G（β（t））- G（β）*n） ）=2（米（吨）- M*n） P[11]（G（β（t））- G（β）*n） ）+2（r（t）- R*n） P[22]（G（β（t））- G（β）*n） ）=2（米（吨）- M*n） P[11]^G（m）*n+s（m（t）-M*n） ，r*n）mds+2（r（t）- R*n） P[22]^G（m）*n、 r*n+s（r（t）- R*n） )在这里，最后一个等式由中值定理成立。注意dg（m*n、 r*n+s（r（t）-R*n） ）博士=-1和dG（m）*n+s（m（t）-M*n） ，r*n） dmds=\'）（r*n）-1dH（m）*n+s（m（t）-M*n） ）dmds。因为r（t）>0和*N≥ 0第一项为正，我们已经确定DH（m）dm<0我在相关领域。因此，通过选择P[11]>0和P[22]>0，可以得出dl（β（t））dt<0。因此，我们证明L满足以下性质：严格正β 6= β*nand L（β*n） =0，dL（β（t））dt<0。因此，该函数满足Lyapounov函数的所有条件，因此满足β*nis全局渐近稳定n（见Hirsch等人（2004）第194页）。