Berk-Nash均衡：一个具有错误指定的代理建模框架

Jehiel和Samet（2007）考虑了具有perfectinformation的广泛形式游戏的一般类，并假设玩家通过将节点划分为相似类来简化游戏。在这两种情况下，玩家都需要有正确的信念，因为他们对游戏的看法有限或简单。这种假设对应于一个单态集合，因此从一开始就定义了信念，没有留下学习的空间。这种方法在过去的工作中很常见，这些工作假设代理具有错误的特定模型，但没有了解参数值，例如Barberis等人（1998年）。计算复杂性（如Rubinstein（1986）、Salant（2011））、有限内存（如Wilson，2003）、自欺欺人（如Bénabou和Tirole（2002）、Compte和Postlewaite（2004））或基于稀疏性的优化（Gabaix（2014））。参考Najjar，N.，“作为统计学家的决策者：多样性、模糊性和学习”，计量经济学，2009，77（5），1371-1401。和M.Pai，《粗决策和过度匹配》，《经济理论杂志》，即将出版，2013年。Aliprantis，C.D.和K.C.Border，《有限维分析：搭便车指南》，Springer Verlag，2006年。Aragones，E.，I.Gilboa，A.Postlewaite和D.Schmeidler，“无事实的学习”，《美国经济评论》，2005年，95（5），1355-1368年。Arrow，K.和J.Green，“贝叶斯环境下的期望均衡注释”，数学研究所，社会科学工作文件331973号。N.Barberis、A.Shleifer和R.Vishny，“投资者情绪的模型”，《金融经济学杂志》，1998年，49（3），307–343。Battigalli，P.，米兰博科尼大学内乔奇·内尔·西图阿齐奥尼·西图阿齐奥·西图阿齐奥西亚利地区均衡成分研究所，1987年。，S.Cerreia Vioglio、F.Maccheroni和M。

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然后（i）`Piσn（zi）→πσ（zi）>0，在这种情况下（8）保持相等（通过θi7的连续性）→ Qiθi）或（ii）`Piσn（zi）→πσ（zi）=0，在这种情况下（8）成立，因为其RHS为0（按照惯例，0 ln 0=0），其LHS始终为非负。（iv）证明是标准的，因此被省略。引理1的证明。第（一）部分。注意thatKi（σ，θi）≥ -X（四、十一）∈思欣EQiσ（·si，xi）Qiθi（Yi | si，xi）Qiσ（Yi | si，xi）σi（xi | si）pSi（si）=0，其中不等式源自Jensen不等式和ln（·）的严格凹性，当且仅当Qiθi（·| si，xi）=Qiθi（·| si，xi）时，它成立（si，xi）比如σi（xi | si）>0（回想一下，假设pSi（si）>0）。第（二）部分。Θi（σ）是非空的：根据权利要求A（i），K<∞ 使得极小值在约束集中{θi∈ Θi:Ki（σ，θi）≤ K} 。因为Ki（σ，·）在紧集上是连续的，所以存在一个极小值。Θi（σ）是上半连续的（uhc）：将任意（σn）和（θin）固定在limn上→∞σn=σ，limn→∞θin=θi，θin∈ Θi（σn）n、 我们证明了θi∈ Θi（σ）（因此Θi（·）有一个闭图，通过Θi的紧性，它是uhc）。假设，为了得到一个矛盾，θi/∈ Θi（σ）。根据权利要求A（i），存在^θi∈ Θi和ε>0，如Ki（σ，^θi）≤ Ki（σ，θi）- 3ε和Ki（σ，^θi）<∞. 根据假设1，（θij）jwithlimj→∞^θij=^θi，j、 Qi^θij（zi）>0子∈ 子。我们证明了序列中有一个元素，^θiJ，它“比”θingivenσn“做得更好”，这是一个矛盾。因为（σ，^θi）<∞, Ki（σ，·）的连续性意味着存在足够大的J，使得Ki（σ，θiJ）- Ki（σ，^θi）≤ ε/2. 此外，适用于θi=^θij的权利要求A（ii）意味着存在Nε，Jsuch，N≥ Nε，J，Ki（σn，^θiJ）- Ki（σ，θiJ）≤ ε/2. 因此N≥Nε，J，Ki（σn，^θiJ）- Ki（σ，^θi）≤Ki（σn，^θiJ）- Ki（σ，θiJ）+Ki（σ，θiJ）- Ki（σ，^θi）≤ ε.因此，Ki（σn，^θiJ）≤ Ki（σ，^θi）+ε≤ Ki（σ，θi）- 2ε. （9） 假设Ki（σ，θi）<∞.

根据权利要求A（iii），nε≥ Nε，Jsuch the Ki（σNε，θinε）≥Ki（σ，θi）- ε. 这个结果和表达式（9）暗示了Ki（σnε，^θiJ）≤ K（σnε，θinε）- ε.但这与ε中的θ相矛盾∈ Θi（σnε）。最后，如果Ki（σ，θi）=∞, 索赔A（iii）暗示：nε≥ Nε，Jsuch the Ki（σNε，θinε）≥ 2K，其中K是索赔人（i）中定义的界限。但这也与ε中的θ相矛盾∈ Θi（σnε）。Θi（σ）是紧的：如上所示，Θi（·）有一个闭合图，因此Θi（σ）是一个闭合集。Θi（σ）的紧致性源于Θi的紧致性。定理1的证明。我们从两个方面证明了结果。第一部分。我们证明了扰动博弈中均衡的存在性（见第4.1节）。设Γ：×i∈我（Θi）=> ×i∈我（i）是这样的通信：，u=（ui）i∈我∈ ×i∈我（Θi），Γ（u）=×i∈我 （Θi（σ（u）），其中σ（u）=（σi（ui））i∈我∈ ∑，定义为σi（ui）（xi | si）=Pξξi：xi∈ arg最大值xi∈谢琪ui（·思，\'xi）πi（(R)xi，Yi）+ ξi（`xi）(10)（十一、四）∈ Xi×Si。注意，如果u*∈ ×i∈我（i）使*∈ Γ(u*), 然后σ*≡（σi（ui）*))我∈这是一个扰动博弈的均衡。我们证明了这一点*通过检查Kakutani Fan-Glicksberg不动点定理的条件，证明存在：（i）×i∈我（Θi）是紧的、凸的和局部凸的Hausdorff：集合（Θi）是凸的，因为Θi是紧的（i）在弱拓扑下也是紧的（Aliprantisand Border（2006），定理15.11）。根据蒂乔诺·弗夫定理，×i∈我（Θi）也很紧凑。最后，该集在弱拓扑下也是局部凸的；（ii）Γ具有凸的、非空的图像：很明显 （Θi（σ（u））是凸值的u. 此外，通过引理1，Θi（σ（u））是非空的u; （iii）Γ有一个闭合图：让（un，^un）n使得∈ Γ（un）和un→ u和^un→ ^u（弱拓扑下）。由索赔人（iv）提供，ui7→ σi（ui）是连续的。因此，σn≡ （σi（uin））i∈我→ σ ≡ （σi（ui））i∈I.ByLemma 1，σ7→ Θi（σ）是uhc；因此，根据Aliprantis和Border（2006）中的定理17.13，σ7→ ×i∈我 （Θi（σ））也是uhc。因此^u∈ ×i∈我 （Θi（σ））=Γ（u）。第二部分。

修正由扰动概率（Pξ，n）n索引的扰动对策序列。在第1部分中，有一个相应的固定点序列（un）n，使得un∈ ×i∈我 （Θi（σn））n、 σn在哪里≡ （σi（uin，Pξ，n））i∈I（见等式（10），其中我们现在明确地解释了对Pξ，n的依赖性）。根据紧性，存在（un）和（σn）n的子序列分别收敛于u和σ。自σ7以来→ ×i∈我 （Θi（σ））是uhc，那么u∈ ×i∈我 （Θi（σ））。现在我们证明，如果我们选择（Pξ，n）n，ε>0，limn→∞Pξ，n（kξ）≥ ε） =0，则σ是最优的，在未受干扰的博弈中给定u，这就建立了未受干扰博弈中均衡的存在性。假设不存在，则存在i，si，xi，^xi和ε>0，从而σi（xi | si）>0和E'Qiui（·'si，xi）[πi（xi，Yi）]+4ε≤ E’Qiui（·si，^xi）[πi（^xi，Yi）]。通过ui7的连续性→“我知道limn→∞uin=ui，确认一下，N≥ n、 E|Qiuin（·si，xi）[πi（xi，Yi）]+2ε≤ E“Qiuin（·| si，^xi）[πi（^xi，Yi）]。然后从（10）和limn开始→∞Pξ，n（kξ）≥ ε） =0，那个limn→∞σi（uin，Pξ，n）（xi | si）=0。但这与Slimn相矛盾→∞σi（uin，Pξ，n）（xi | si）=σi（xi | si）>0。命题3的证明。在下一段中，我们将证明以下结果：对于所有σ和θiσ∈ Θi（σ），（a）QiOhm,θiσ（ω| si）=pOhm|所有Si的Si（ω| Si）∈ Si，ω∈ Ohm和（b）QiX-i、 θiσ（x）-i |αi）=Pω∈OhmPOhm|对于所有αi，Ai（ω|αi）Qj6=iσj（xj | sj（ω））∈哎，x-我∈ 十、-我