列维不确定性下的不可逆投资

而且，自从我*是可选的，因此可以逐步测量，然后*可通过[19]定理IV.33进行渐进测量，因此（Ft）适用。因此要证明*这就是为什么要证明*满意度（2.5）。这样一个条件，以及Jx，y（ν*) < ∞,如果贴现因子r足够大，则通常为真。在许多情况下，一旦v的明确形式出现，就可以验证这一点*已知（示例见第4节）。根据[6]引理4.1（另见[5]，备注1.4-（ii）），我们称[0，T]上的实值p过程ξ右上连续，如果对于每个T，ξT=lim supsTξswith lim supsTξs:=lim↓0杯∈[t，（t+）∧T]ξs.L’evy不确定性下的不可逆投资72.3基本容量和自由边界当δ=0时，很容易看出我们的最优策略（2.9）与[36]的定理3.2中的一致。根据[36]中的定义3.1，流程*是一个基本产能过程，也就是说，当企业的生产能力严格高于*t、 最好等待，因为此时企业面临产能过剩。另一方面，当容量水平低于l时*t、 企业应立即进行投资，以达到l级*t、 因此，它代表的是最大容量水平，因此不适合将投资推迟到任何未来时间。很明显，我*必须与关联的最优时间问题的最优边界相联系。这种联系最近在[22]的理论3中得到了证明。9，在不同的环境中（另请参见[15]在现场时间范围内的一维不可逆投资问题）。在本节中，我们可以看到，在我们的列维设置中也存在类似的连接。与[22]类似，等式。

（25），介绍最佳停车问题：找到停车时间τ*这样对于所有人（x，y）∈ R×（0，∞)v（x，y）：=EZτ*E-rsπc（ex+Xs，y）ds+e-rτ*= infτ≥0EZτe-rsπc（ex+Xs，y）ds+e-rτ. （2.12）请注意，问题（2.12）是与不可逆投资问题（2.6）相关的最佳时机问题，因为它可能被解释为不投资的最小成本。从数学上讲，问题（2.12）是与奇异控制问题（2.6）相关的一维、有限时间范围、参数相关（y仅作为参数输入）最优停止问题。在f act中，可以显示（例如，参见[3]、[21]和[24]）在我们的假设下vy（x，y）=v（x，y）和τ*:= inf{t≥ 0 : ν*t> 0}，带ν*（2.6）的最佳停车时间是（2.12）的最佳停车时间。自v（x，y）≤ 1.所有人（x，y）∈ R×（0，∞), 状态空间拆分为：={（x，y）∈ R×（0，∞) : v（x，y）=1}，C:={（x，y）∈ R×（0，∞) : v（x，y）<1}。直觉上，S是最适合立即投资的区域（所谓的“行动区域”或“投资区域”），因为其中的边际价值v=v等于投资的边际成本。另一方面，C是有利于推迟投资选择的区域（所谓的“不作为区域”或“无投资区域”），因为边际价值v=Vi严格小于其中的边际投资成本。由于π（z，·）是严格共面的，映射y7→ v（x，y）对于任何x都是递减的∈ R、 因此b（x）：=sup{y>0:v（x，y）=1}，x∈ R、 （2.13）是停止区域和继续区域之间的边界，即所谓的自由边界。我们通过了公约b≡ 如果{y>0:v（x，y）=1}=.备注2.7。请注意，假设2.2对于非空无投资区域C是必要的。

的确，如果r≤ κthenv（x，y）=1+infτ≥0EZτe-rsπc（ex+Xs，y）- Rds≥ 1+infτ≥0EZτe-rs（κ）- r） ds= 1，其中，上述不等式是由πc（z，c）的f作用引起的≥ 极限→∞πc（z，c）=κ（z，c）。因此，如果r≤ 对于所有的x（x，y）=1∈ R×（0，∞), 因此意味着C=.Levy不确定性下的不可逆投资8正如[22]假设3.6或[36]第5节中所述，我们现在假设边际利润受到市场条件改善的积极影响。假设2.8。z 7的映射→ πc（z，c）对任何c都是不变的∈ (0, ∞).备注2.9。注意，Ifπ是两次连续可微的，那么假设2.8相当于要求π是超模（见[39]）；也就是说，对于任何z，z∈ R+C∈ (0, ∞)π（z）∨ z、 c）+π（z）∧ z、 c）≥ π（z，c）+π（z，c）。Cobb-Douglas函数和CES函数是（0，∞) × (0, ∞).提议2.10。假设2.1和2.8成立。然后，最优停止问题（2.12）的值函数v在R×（0）上是o连续的，∞),o 这样x7→ v（x，y），y∈ (0, ∞), 这是不减损的。证据对于连续性，考虑序列{（xn，yn）：n∈ N} R×（0，∞) 收敛到（x，y）∈ R×（0，∞). 取ε>0，设τε：=τε（x，y）为初始值为x和y的问题（2.12）的ε-最优停止时间。然后我们得到v（x，y）- v（xn，yn）≥ EZτεe-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt- ε. （2.14）在不丧失一般性的情况下，让{xn:n∈ N} （十）- ，x+）对于一个合适的>0，应使≥ 0ex-+Xt≤ exn+Xt≤ ex++Xt。考虑到假设2.1和2.8，我们可以将（2.14）右侧的支配收敛定理应用于getlim supn→∞v（xn，yn）≤ v（x，y）+ε。

（2.15）类似地，对于问题（2.12），取ε-最优停止时间τεn:=τε（xn，yn），初始值为x，ynone hasv（x，y）- v（xn，yn）≤ EZτεne-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt+ ε (2.16)≤ EZ∞E-rtπc（ex+Xt，y）- πc（exn+Xt，yn）dt+ ε.再次唤起支配收敛定理Yieldn→∞v（xn，yn）≥ v（x，y）- ε、 （2.17）与（2.15）一起，意味着v.不可逆投资在L’evy不确定性9下的连续性。为了验证第二种说法，让τ*:= τ*（x，y）是初始值为x和y的最佳停止时间。然后对于x<x，我们有v（x，y）- v（x，y）≥ EZτ*E-rtπc（ex+Xt，y）- πc（ex+Xt，y）dt≥ 0，因为πc（·，y）应该是非减量的，参见假设2.8，参见[22]中命题3.7的证明。提议2.11。在假设2.1和2.8下，（2.13）中定义的自由边界b为o非减量，o左极限右连续。证据b是非减量的这一事实可以用[22]中类似的方法来证明（参见COLLARY 3.8的证明）。从单调性来看，b在任何点上都是左右极限。为了证明b是右连续的，fix∈ 注意，对于每一个ε>0，我们有关于b的耳鸣性的m，即b（x+ε）≥ b（x），这意味着b（x）≤ limε↓0b（x+ε）=:b（x+）。考虑序列{（x+ε，b（x+ε））：ε>0} s一个有{（x+ε，b（x+ε））：ε>0}→ ε（b），当↓ 0和（x，b（x+）∈ S、 因为S是由v的连续性封闭的（参见命题2.10）。然后，b（x+）≤ 定义（2.13）中的b（x），且证明完整。下一个定理将[22]中的定理3.9应用于我们的指数L’evy设置。它连接基本容量过程l*与原始控制问题相关的最优停止问题（2.12）的自由边界b。定理2.12。让我*是（2.8）和b自由边界定义（2.13）的唯一可选解。

在假设2.1、2.2和2.8下，一个hasl*t=b（x+Xt），t≥ 0.（2.18）证据。首先，因为b是Borel可测的（单调的），所以dx是可选的，所以（2.18）右边的过程是可选的。此外，t 7→ b（x+Xt）是右上连续的，因为b是上半连续的（由命题2.11表示为非减量且右连续的）和t7→ 这是连续的。为了证明（2.18），[22]中的论点（见命题3.4的证明）很容易适用于本案。因此，我们有*t=-ξ*t、 其中，过程ξ*允许以下表述（参见第1049页的[6]公式（23））ξ*t=s上升l<0:ess-infτ≥tEZτte-r（s）-t） πcex+Xs，-Lds+e-r（τ）-（t）英尺= 1.. （2.19）为了处理（2.19）中的条件期望，可以像[22]中的定理3.9的证明那样进行，并研究正则概率空间(Ohm, P） 。然而，考虑到我们的列维，我们让Ohm := D（[0，∞)) 是[0]上所有c`adl`ag函数ω的Skorohod空间，∞) 因此ω=0，端点为Skorohod拓扑，F表示其Borelσ场。此外，P是关于Ohm 坐标过程Xu（ω）=ωu，u≥ 0，是一个L′evy过程，移位算子θu：Ohm 7.→ Ohm 定义为θu（ω）（s）=ωu+s，用于L’evy不确定性10ω下的不可逆投资∈ Ohm 美国呢≥ 最后，我们用（Fu）u表示≥0过滤，这里fu是由7生成的→ωs，s≤ u、 并由P-null集扩充。根据[19]中的定理103，第151页——基于onGalmarino的测试——任何停止时间τ∈ T，τ≥ t、 可以写成τ（ω）=t+τ′（ω，θt（ω）），其中τ′：Ohm × Ohm 7.→ [0, ∞], 英尺 F∞-可测量且τ′（ω，·）是每个ω的停止时间∈ Ohm.

这样，定义金融时报 F∞-可测正随机变量Z（ω，ω′）：=Zτ′（ω，ω′）e-ruπcex+ω′u，-Ldu+e-rτ′（ω，ω′）（2.20）并设置Zt（ω）：=Z（ω，θt（ω）），在简单改变变量后，（2.19）中的条件透视内的项等于Zt（ω）。更精确地说，Zτ（ω）te-r（s）-t） πcex+Xs（ω），-Lds+e-r（τ（ω）-t） =Zτ′（ω，θt（ω））e-ruπcex+θt（ω）（u），-Ldu+e-rτ′（ω，θt（ω））=Zt（ω）。强马尔可夫性质的一个应用（例如，参见[35]第111页的exer-cise 3.19）对所有ω进行简化{Zt | Ft}（ω）=EXt（ω）{Z（ω，·）}∈ Ohm. 回顾（2.12）中v的定义，并使用（2.20）表示所有ω∈ Ohmξ*t（ω）=sup{l<0:v（x+Xt（ω），-l） =1}。最后，利用[22]中的参数（见定理3.9的证明），我们可以写出每个ω∈ Ohm 和t≥ 0l*t（ω）=-ξ*t（ω）=s up{y>0:v（x+Xt（ω），y）=1}=b（x+Xt（ω）），其中上面的最后一个等式从（2.13）开始。这就完成了证明。在这一点上，很明显，如果*of（2.9）是可容许的，因此Jx，y（ν）*) < ∞, 因此，最优停止问题（2.12）的自由边界b实际上是问题（2.6）的最优投资边界。此外，继续区C和停止区S分别是不活动区和活动区。事实上，由于理论2。12最优控制*式（2.9）可以表示为ν*t=sup0≤s<t（b（x+Xs）- y）∨ 0，t>0，ν*= 0; （2.21）也就是说，它是在时间t反映（ran dom）时间相关边界l处的生产能力所需的最小影响*t=b（x+Xt），t≥ 0.备注2.13。

结合定理2.12和命题2.11，我们恢复了[36]和定理5.1，其中的一个论点与我们的不同，它表明基本容量在潜在冲击过程中单调增加；也就是说，如果我*是与aL’evy工艺X和l相关的基本容量*与另一个L’evy processeX相关联的基本容量是否为Ext≤ XTT≥ 0 a.s.，然后l*T≤ L*t所有t≥ 0 a.s.L’evy不确定性下的不可逆投资113最优投资边界方程在本节中，我们给出了我们的主要结果。利用命题2.5和2.12以及维纳-霍普法系数化，我们首先推导出最优投资边界b的积分方程（见下面的定理3.1）。结果表明，如果L′evy过程以正概率击中R中的每一点，则该方程有唯一解。在定理3.3中，给出了另一个更简单的方程，它描述了最优投资边界。此外，利用这样的方程，我们证明了边界是连续的。据我们所知，对于指数L’evy过程，自由边界在有限时间范围内的连续性证明，一维参数依赖于（2.12）型时间停止问题首次出现在这里。为了简化说明，在本节的其余部分中，我们将假设*of（2.9）是可容许的，并且使得Jx，y（ν）*) < ∞, 因此是最优的。这样，最优停止问题（2.12）的自由边界b实际上是问题（2.6）的最优投资边界。定理3.1。假设2.2和2.2。设Mt:=sup0≤U≤tXu，It:=在f0中≤U≤tXu。此外，让tr表示一个指数分布的随机时间，参数r indepe ndentofx。

然后，不作为和行动区域之间的最优投资边界b是积分方程Z的左极限解的正非减右连续的∞Enπcey+z+ITr，f（y+z）oP（地铁）∈ dz）=r.（3.1）此外，如果L′evy过程X以正概率击中r的每个点，则（3.1）的解是唯一的。证据自从我*解（2.8）和l*t=b（x+Xt）（参见定理2.12），然后b满足=EZ∞τre-r（s）-τ） πcex+Xs，supτ≤u<sb（x+Xu）dsFτ= EZ∞重新-rtπcex+Xτ+（Xt+τ-Xτ），bsup0≤u<t（x+xτ+Xu+τ）- Xτ）dtFτ, （3.2）对于任何τ∈ 在第二个等式中，我们使用了b是非减损的事实。利用增量依赖性和X的强马尔可夫性，可以看出（3.2）与EY等价Z∞重新-rtπc分机b（Mt）dt= RY∈ R、 而且，对于nπc外部，b（地铁）o=r，Y∈ R.（3.3）但是现在，通过维纳-霍普夫分解（参见[25]，第6章），我们知道- MTR独立于MTrand XTr- mtrha与^itri具有相同的定律，^I是I的独立副本，然后我们可以从（3.3）r=Eynπc写出外部，b（地铁）o=EnEnπcey+XTr，b（y+MTr）MTroo=EnEnπcey+MTr+（XTr）-地铁），b（y+MTr）MTroo=Z∞Enπcey+z+ITr，b（y+z）oP（地铁）∈ dz），在L’evy不确定性12下的不可逆投资，其中X的空间同质性已用于上述第二等式。最后，如果τ{xo}:=inf{t≥ 0:Xt=xo}<∞ 所有xo都有正概率∈ R、 然后，左极限b满足（3.1）的正的、非减量的右连续的唯一性可以用矛盾证明，如[22]（见定理3.11的证明）。备注3.2。可以找到确保L'evy过程X以正概率命中R的每个点的充分条件，例如，在[25]的定理7.12中。

具有这种性质的L’evy过程的例子包括任何具有高斯成分的L’evy过程（在金融经济学中起重要作用的跳跃扩散过程的情况下）或具有α的对称α-稳定的L’evy过程∈ （1,2）（见[25]第7.5节和练习7.6）。关于单侧L’evy过程，有一个集合C:={x∈ R:P（τ{x}<+∞) > [25]的OREM 7.12中定义的0}不是空的（因为光谱单侧的L’evy过程蠕变），其中的预测条件（7.21）是满足的，（i）-（iii）相应适用。定理3.1证明中的维纳-霍普夫因式分解在我们的列维设置中取代了在独立指数时间（参见[17]p.185和[11]p.26）在定理3.11[22]中利用的规则、一维扩散及其运行上确界的位置的联合律。还值得注意的是，维纳-霍普法系数化已被公认为一种有用的工具，可用于求解一维、有限时间范围内的勒维过程最优停止问题，如[12]、[16]、[18]、[28]、[29]、[37]等所示。下一个定理代表了我们的主要结果。它表明，为了得到（3.1）的解，必须找到一个更简单方程的解。定理3.3。在假设2.1、2.2和2.8下，存在一个唯一的正函数^b满足方程nπc欧盟+ITr，f（u）o=r，u∈ R.（3.4）函数^b是不减损且连续的。此外，如果L′evy过程X以正概率击中R的每一点，则^b是不活动和作用区域之间的最佳投资边界。证据我们从证明（3.4）最多允许一个正解^b开始，这样它是非减量的和连续的。定义函数Φ（u，y）：=Enπc欧盟+ITr，yo- r、 （u，y）∈ R×（0，∞).

（3.5）不难看出，Φ（u，·）对于任何u都（严格地）在下降∈ R由于假设2.1。此外，再次感谢假设2.1，我们可以应用mon-otone收敛定理来说明Φ（u，·）在（0，∞), 酸橙↓0Φ（u，y）=∞ 还有limy↑∞Φ（u，y）=κ- r<0表示任何u∈ R、 假设2.2，最后一个限值为负值。因此存在一个正的^b（u），u∈ R、 解决（3.4）。为了证明^b是非减量的，fixε>0，注意（3.5）和^b解（3.4）意味着0=Φ（u+ε，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））=Φ（u+ε，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u+ε））+Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））≥ Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u）），在L’evy不确定性13下的不可逆投资，其中上述不等式如下，因为根据假设2.8，Φ（·，y）对任何人来说都是不可减损的∈ (0, ∞). 因此，有Φ（u，^b（u+ε））- Φ（u，^b（u））≤ 因此^b（u+ε）≥^b（u），u∈ R、 因为y 7→ Φ（u，y）是非递增的。接下来我们展示^b的连续性。我们首先考虑它的左连续性。修理你∈ R、 按顺序{un:n∈ N} R这样联合国↑ u as n↑ ∞, 和定义b（u）-) := 画↑∞^b（联合国）。在不失去普遍性的情况下，我们可能会认为≥ 联合国≥ U- ，对于合适的>0，以便b（un）≥^b（u）- b的单调性和eun+ITr≤ EUITR≤ 0.这是从c 7的凹陷处得出的结论→ π（z，c）与z7的单调性→ πc（z，c）（分别参考假设2.1和2.8）表示πc（eun+ITr，^b（un））≤ πc（eu，^b（u）- )). 注意{un:n∈ N} 如上所述，我们有r=Enπceun+ITr，^b（联合国）o、 n∈ 放任↑ ∞ yieldsr=limn↑∞Enπceun+ITr，^b（联合国）o=Enπc欧盟+ITr，^b（美国）-)o、 （3.6）其中使用了支配收敛定理和π的联合连续性（参见假设2.1）。然后我们得出结论：^b（u-) =^b（u）由（3.4）的解的唯一性决定。