列维不确定性下的不可逆投资

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英文标题：
《Irreversible Investment under L\\\'evy Uncertainty: an Equation for the
  Optimal Boundary》
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作者：
Giorgio Ferrari, Paavo Salminen
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We derive a new equation for the optimal investment boundary of a general irreversible investment problem under exponential L\\\'evy uncertainty. The problem is set as an infinite time-horizon, two-dimensional degenerate singular stochastic control problem. In line with the results recently obtained in a diffusive setting, we show that the optimal boundary is intimately linked to the unique optional solution of an appropriate Bank-El Karoui representation problem. Such a relation and the Wiener Hopf factorization allow us to derive an integral equation for the optimal investment boundary. In case the underlying L\\\'evy process hits any real point with positive probability we show that the integral equation for the investment boundary is uniquely satisfied by the unique solution of another equation which is easier to handle. As a remarkable by-product we prove the continuity of the optimal investment boundary. The paper is concluded with explicit results for profit functions of (i) Cobb-Douglas type and (ii) CES type. In the first case the function is separable and in the second case non-separable.
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中文摘要：
我们推导了一个新的方程，用于在指数Léevy不确定性下一般不可逆投资问题的最优投资边界。该问题被设置为一个无限时域二维退化奇异随机控制问题。与最近在扩散环境中获得的结果一致，我们证明了最优边界与适当的Bank-El-Karoui表示问题的唯一可选解密切相关。这种关系和Wiener-Hopf分解使我们能够导出最优投资边界的积分方程。如果潜在的LSevy过程以正概率击中任何实点，我们证明投资边界的积分方程由另一个更容易处理的方程的唯一解唯一满足。作为一个显著的副产品，我们证明了最优投资边界的连续性。本文最后给出了（i）Cobb-Douglas型和（ii）CES型利润函数的显式结果。在第一种情况下，函数是可分离的，在第二种情况下，函数是不可分离的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Irreversible_Investment_under_Lévy_Uncertainty:_an_Equation_for_the_Optimal_Boundary.pdf (281.55 KB)

2022-5-7 03:24:08 上传

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关键词：不确定性 不确定 不可逆 确定性 IRREVERSIBLE

L’evy不确定性下的不可逆投资：最优边界方程*乔治·法拉利+帕沃·萨尔米宁2018年9月18日摘要。我们推导了一个新的关于指数L′evy不确定性下广义可逆投资问题的最优投资边界方程。该问题被设置为一个有限时间范围的二维退化奇异随机控制问题。与最近在不同环境中获得的结果一致，我们证明了最优边界与适当的Bank El Karoui表示问题的唯一可选解密切相关。这种关系和Wiener-Hopf分解使我们能够导出最优投资边界的积分方程。如果潜在的L’evy过程以正概率到达R w中的任何点，我们表明，投资边界的积分方程由另一个更容易处理的方程的唯一解唯一满足。我们证明了最优投资边界的连续性。本文最后给出了（i）C ob b Douglas型和（ii）CES型函数的明确结果。在第一种情况下，函数是可分离的，在第二种情况下，函数是不可分离的。关键词：自由边界，不可逆投资，奇异随机控制，最优停止，L’evy过程，银行和El-Karoui表示定理，基本容量。MSC2010子项目分类：91B70、93E20、60G40、60G51。JEL分类：C02、E22、D92、G31。1导言不确定性下的投资问题在过去几年中受到了越来越多的关注，包括经济文献和数学文献（例如，参见[20]以获得更广泛的回顾）。

有几篇经济学论文讨论了当运营利润函数依赖于反映变化的外生随机冲击过程时，企业利润最大化的问题，例如技术上可行的产出、需求和宏观经济条件等（参见[1]、[8]、[10]和[34]），并将不可逆的投资决策及其时机与实际情况联系起来*第一作者感谢德国研究基金会（DFG）通过RI1128-4-1赠款提供的资金支持。第二作者的研究部分得到了芬兰Svenska kulturfondenvia Stiftelsernas教授的资助。+德国比勒菲尔德大学数学经济学中心；乔治。ferrari@uni-比勒菲尔德。德阿博·阿卡德米大学，自然科学/数学和统计系，芬兰芬兰人安利克斯加坦3B，FIN-20500阿博，芬兰；phsalmin@abo.fiIrreversibleLevy不确定性2期权下的投资（参见[27]和[34]等）。通常在这些模型中，函数是可分离的（如Cobb-Douglas），经济冲击过程是几何布朗运动。在数学经济学文献中，不确定条件下的连续时间不可逆投资问题通常被建模为具有单调控制的凹（或凸）随机控制问题（参见[14]、[22]、[30]、[33]和[36]）。事实上，由于不允许撤资的经济约束，不确定性下的不可逆投资问题可能被视为所谓的“单调跟随者”问题；也就是说，一个投资策略由非减量随机过程给出的问题，R+上的相关随机Borel测度相对于Lebesgue测度可能是奇异的。

在这种情况下，不确定条件下的不可逆投资与经济文献中发现的实物期权（参见[27]和[34]）之间的联系可以被视为具有单调控制的洞穴（或凸）随机控制问题与最优停止中的某些问题之间的众所周知的联系。这种联系在[21]、[23]和[24]中得到了严格的证明。当优化下的随机过程X是马尔可夫过程，例如微分过程或L’evy过程时，最优控制策略通常包括通过一条曲线将奇异随机控制问题的状态空间分成两个区域，称为最优投资边界或FREE边界。这些区域通常被称为“行动”区域和“不行动”区域，因为在这些区域中，控制或施加作用是最佳的。类似地，在最优停止问题中，一个有“继续”和“停止”区域，在这两个区域中，分别让X的演化继续和停止是最优的。凹（或凸）奇异随机控制问题的主要特征是，奇异随机控制问题的作用域与适当关联的最优停止问题的停止域重合，最优策略是将受控过程保持在不活动（连续）区域内，且控制最小。很明显，通过对其自由边界的描述，研究与奇异s-to-Castic控制问题相关的最优停止问题，分离停止和继续区域，可以完全理解最优控制，即企业的最优投资政策。在本文中，我们基本上考虑了与[22]中相同的问题，但现在经济冲击由指数L’evy过程建模，而不是规则的线性扩散。

在市场数据的时间序列中常见的概率分布中，列维过程可能表现出严重的尾部和偏斜。我们通过[4]、[7]、[36]等文献中的随机模糊条件方法，并依靠Bank El Karoui表示定理（参见[6]、定理3）的适当应用，解决了ir可逆投资问题。如[22]中所述，我们证明了Bank El-Karoui表示问题的唯一可选解与一维、有限时间范围、参数相关的临时停止问题的自由边界密切相关，该问题与原始奇异控制问题自然相关。这种关系和L’evy过程的Wiener-Hopf分解使我们能够导出自由边界的积分方程。如果潜在的L’evy过程h在R中的任意点具有正概率（作为α稳定的L’evy过程，具有α∈ （1，2）或在金融经济学中起重要作用的跳跃微分过程）然后证明自由边界是另一个更容易处理和方便的方程的唯一解。此外，利用该方程，我们还证明了自由界元在我们的一般L’evy过程框架中是连续的。据我们所知，这个结果第一次出现在她的脸上。最后，我们找到了最优边界的显式形式，即使在不可分离的情况下，在L’evy不确定性3操作利润函数下的CES（恒定替代弹性）不可逆投资（见下文第4.2节），从而得出了一个相当复杂的随机不可逆投资问题的最优投资政策的完整特征。[13]和[26]最近也讨论了确定不确定性下投资问题的最佳投资边界的问题。

然而，其中的设置比我们的更简单，因为[13]中只考虑了可分离的运行性能，而[26]中只讨论了一维模型。在这里，我们允许任何满足下面假设2.1的凹形运行，我们的不可逆投资问题被设置为一个二维退化奇异随机控制问题。此外，我们的方程遵循strongMarkov性质和Wiener-Hopf分解，不是通过写下任何积分微分自由边界问题（如[26]中所述）或在边界本身施加相关最优停止问题的值函数的任何正则条件而获得的。从这个意义上说，我们的方法似乎绕过了与Levy环境中光滑条件的有效性相关的困难（参见[2]、[12]和[31]）。论文的结构如下。在第2.1节中，我们建立了不可逆投资问题，然后在第2.2节中解决。在第2.3节中，我们得到了基于基本容量过程的最优投资边界的特征。第3节讨论了描述最优投资边界的方程。最后，在第4.2节“最优投资问题”中给出了一些具体计算的例子。1[22]中的设置和基本假设考虑了生产单程od的企业的最优不可逆投资问题。然而，考虑到市场在经验上经常表现出显著的偏度和峰度，我们通过指数随机过程eX，w这里X={Xt，t对经济的不确定状态（例如，商品的需求，或宏观经济条件，或生产商品的价格）进行建模≥ 0}是定义在完全过滤概率空间上的实值L′evy过程（而不是复合泊松过程或子目标）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。

对于任何x∈ R、 我们让Px（·）：=P（·| X=X）并导出相应的期望算子。在下文中，我们将简单地写出P=P和E=E。L’evy过程是一个具有平稳和独立增量的随机过程，具有。s、 c`adl`ag路径（右连续，左限），并在时间零点从零开始。EachL\'evy过程完全由其L\'evy三重态（γ，σ，π）表征，其中γ，σ∈ R和∏是所谓的L’evy度量，集中在R\\{0}和满意度Zr（1）上∧ x） π（dx）<∞.此外，每个L’evy过程X可以表示为xt=γt+σBt+X（1）t+X（2）t，（2.1）其中B是标准布朗运动，X（1）是零均值纯jum p鞅，X（2）是跳跃至少为1的复合泊松过程，（2.1）中的所有分量都是L’evy不确定性下的不可逆投资。作为平稳增量和独立增量的等式，它也可以是s howntate[eiθXt]=e-tψ（θ），（2.2）对于所有t≥ 0和θ∈ R、 Wher eψ（θ）：=- loge[eiθX]=iγθ+σθ+ZR1.- eiθx+iθx1{|x |<1}π（dx）是X的L′evy特征指数。众所周知的L′evy过程有布朗运动、泊松过程、跳跃扩散过程和方差伽马过程。我们参考[9]或[25]了解有关L’evy过程的详细说明。假设该公司的生产能力根据y，νt:=y+νt，Cy，ν：=y发展≥ 0，（2.3）其中，ν是一个（不可逆的）投资计划，即一个非减损的、左连续的（Ft）自适应过程，使得ν=0 P-a.s。企业的瞬时利润由运营利润函数π：R+×R+7描述→ R+，取决于经济状况和生产能力。本文认为以下假设是有效的：假设2.1.1。映射（z，c）7→ π（z，c）是连续的。

此外，C7→ π（z，c）是严格递增和严格凹的，具有连续和严格递减的导数πc（z，c）：=R+×（0）上的cπ（z，c），∞) 令人满意的limc→0πc（z，c）=∞, 极限→∞πc（z，c）=κ，对于某些0≤ κ < ∞.2.过程（ω，t）7→ πcex+Xt（ω），y是P（dω） E-任何y>0的rtdt可积。这里r是一个满足假设2.2的正贴现因子。r>κ。在下一节中，需要假设2.2来推导最优控制策略（参见下面的Proposition 2.5）。此外，我们将在备注2.7中看到，假设2.2需要有一个非空的“无投资区域”。备注2.3。通过Cobb-Douglas和对数运算函数，假设2.1.1满足κ=0。另一方面，对于形式为π（z，c）=（αzγ+（1- α） cγ）γ，对于某些α∈ （0,1）和γ∈ （0，1）（这将减少到Cobb-Douglas操作性能，π（z，c）=zαc1-α、 当γ=0时，有κ=（1）- α)γ. 还值得注意的是，γ<0的CES运行性能不符合假设2.1.1，因为在这种情况下，limc→0πc（z，c）=（1）- α)1/γ.L\'evy不确定性下的不可逆投资5对于任何投资计划，未来总净利润的预期现值定义为：y（ν）：=EZ∞E-rtπ（ex+Xt，Cy，νt）dt-Z∞E-rtdνt. （2.4）从现在起，如果投资计划的现值是确定的，我们将称其为可接受的投资计划；i、 e.ifEZ∞E-rtdνt< ∞. （2.5）我方将用SOT表示所有可接受的投资计划。由于（2.5）和π的正性，它认为Jx，y（ν）>-∞ 不管怎样∈ 所以公司经理的目标是挑选一个合适的人选*这样v（x，y）：=Jx，y（ν）*) = supν∈SoJx，y（ν）<∞, （x，y）∈ R×R+。（2.6）由于π（z，·）是严格凹的，soi是凸的，而Cy，ν是ν中的一个函数，所以我们得到，在sox上，Jx，y（·）也是严格凹的。

因此，如果一个最优解*to（2.6）确实存在，它是独一无二的。我们将在下一节提供最优控制的形式。我们将在本节中解决最优投资问题。[36]中对一个与我们（2.6）类似的非常普遍的随机可逆投资问题进行了深入研究，其中假设冲击过程是一个一般的渐进测量过程，或最近在[22]中，在一个不同的环境中。因此，通过简单地修改[22]或[36]中的参数（另见[7]和[38]），可以获得以下一些结果。我们将陈述它们的完整性，并提供一篇完整的论文，但我们将仅简要介绍它们的证据，并参考文献了解细节。我们用所有Ft停止时间τ的集合表示∈ [0, ∞] 然后放e-rτ（ω）=0如果τ（ω）=∞.根据[22]、等式（11）和定理3.2，我们对最优控制ν进行了如下表征*.提议2.4。在假设2.1下，一个控制ν*∈ 所以Jx，y（ν）*) < ∞ 问题（2.6）的唯一最优投资策略是当且仅当满足以下最优条件时EZ∞τe-rsπc（ex+Xs，Cy，ν）*s） dsFτ- E-rτ≤ 0，a.s。τ ∈ T，EZ∞EZ∞te-rsπc（ex+Xs，Cy，ν）*s） ds英尺- E-rtdν*T= 0，（2.7）成立。一阶条件（2.7）可视为经典优化理论中库恩-塔克条件的随机、有限维推广。第一种情况（2.7）中不等式的左侧称为超梯度过程（参见[22]，等式（11）和注释3.1）。它被解释为在时间τ时，由于额外的投资单位而产生的6个边际收益的情况下，未来总净不可逆投资的预期现值∈ T

（2.7）背后的直觉是，当超梯度在某个停止时间为正时，会有少量额外投资。另一方面，当超梯度为负时，不应进行投资，因为类似地减少此类投资将是有益的。如[22]第3节或[36]定理3.2中所述，下一个命题将最优控制连接起来*关于合适的班克尔·卡鲁伊表示问题的解决方案，请参见[6]、定理1、定理3和与（2.7）相关的备注2.1。提议2.5。假设2.1和2.2成立。然后方程Z∞τe-rsπcex+Xs，supτ≤u<sludsFτ= E-rτ，τ∈ T，（2.8）有一个唯一的（直到不可区分的）严格正可选解，具有右上角的连续路径。让我*表示该解决方案并定义ν*t:=（sup0）≤s<tl*s- y）∨ 0，t>0，ν*:= 0.（2.9）如果ν*是可容许的，因此Jx，y（ν）*) < ∞ 然后是问题（2.6）的唯一最优不可逆投资计划。证据我们只粗略地描述了证明的两个主要步骤，并参考了[22]和[36]f。第一步。这里的目标是证明（2.8）允许一个唯一的（直到不可区分的）严格正可选解*具有右上角的连续路径。为此，对于κasin假设2.1，应用Bank El-Karoui表示定理（参见[6]，定理3和andRemark 2.1），其中^T=+∞, u（ω，dt）：=e-rtdt（2.10）和f（ω，t，l）：=πcex+Xt（ω），-L, 对于l<0，-l+κ，代表l≥ 0，（2.11）表示决定论过程{e-rt，t≥ 0}，然后使用与[22]中命题3.4相同的参数。第二步。按照[36]中定理3.2的证明进行，很容易看出*of（2.9）满足一阶条件（2.7）。因此，命题2.4ν*是最优的，如果它是可容许的，并且Jx，y（ν*) < ∞.备注2.6。注意*（2.9）中的定义明显增加并保持连续。