列维不确定性下的不可逆投资

在另一个汉德，拿着一个序列{un:n∈ N} R这样联合国↓ u as n↑ ∞ 按照上面的类似论点，我们也可以证明^b的右连续性。因此，^b是连续的。显然，递减连续^b解（3.4）的正n也解（3.1），然后右上角的正连续可选过程^lt:=^b（x+Xt）解（2.8）。因此，通过命题2.5和定理2.12，我们得到了^lt:=^b（x+Xt）=b（x+Xt）=l*t、 直到无法区分为止。这个证明是通过与定理3.1的证明类似的论证来完成的，即^b=b。作为定理3.3的一个显著副产品，我们得到了以下结果。推论3.4。如果L′evy过程X以正概率击中R的每一点，那么不作为和行动区域之间的最佳投资边界b是连续的。备注3.5。值得注意的是，在可分离的情况下，π（z，c）=zG（c），G连续可微分、递增、严格凹且满足INDA条件，方程（3.4）很容易转化为[13]的方程（15）（另见[36]，例3.3），其中H是b的（广义）逆。然而，我们的结果比[13]的结果更一般。与[13]不同的是，我们确实没有假设投资策略保持在上述范围内，而且，我们的等式（3.4）适用于满足假设2.1的所有经营利润，因此不一定是可分离的。根据第三节[13]中的讨论，考虑到投资策略的不可逆性，等式（3.4）可被视为对净现值规则或马歇尔定律的修正。备注3.6。

结合定理2.12和推论3.4，我们发现，如果X以正概率击中R的每个点，那么基本容量过程l*问题（2.6）通常只有[6]才知道是右上角连续的，它确实与X具有相同的路径规律性，即它至少有c`adl`ag路径。在某种程度上，我们的方程（3.4）可以被解释为自由边界值问题的替代品，人们通常会记录自由边界值问题来描述最优停止问题的解（参见[32]）。在具有L’evy不确定性的最优停止问题的情况下，仍然可以导出自由边界问题（例如，参见[12]），即使必须注意相关积分微分算子的理解意义，以及在边界处施加的值函数的适当正则性性质。事实上，人们已经注意到（例如，参见[2]、[12]和[31]）最优停止问题的值函数的平滑特性（即其在最优边界处的C特性）可能在L'evy设置中失效。相反，我们的方程（3.4）不是从任何自由边界问题推导出来的，而是从（3.1）直接推导出来的，这要归功于l的后向方程（2.8）*= b（x+x）、Wiener-Hopf因式分解和x的强马尔可夫性质。因此，它代表了一个非常有用的工具，可以在假设L’evy过程以正概率命中R的每一点的情况下，确定（2.6）型不可逆投资问题的整类最优投资边界。

在下一节中，我们将展示如何解析地求解方程（3.4），即使是在具有不可分离函数的平凡情况下。4显式结果在本节中，我们推导了不可逆投资问题（2.6）的最优投资边界的显式形式，对于Cobb-Douglas和CES（子成分的常数弹性）操作函数，即π（z，c）=zαcβ和α，β∈ π（z，c）=（αzγ+（1）- α） cγ）γ，带α，γ∈ 分别为（0,1）。此外，我们将在本节中假设，L’evy过程X以正p概率到达R的任何点，因此，最优投资边界为方程（3.4）的唯一解（参见定理3.3）。回想一下，Tris是一个指数分布的随机时间，参数r独立于x，Mt:=sup0≤U≤tXuand It:=inf0≤U≤tXu。符号bψ用于X的平面变换的对数（定义明确时），即bψ（λ）：=log eeλX.4.1 Cobb-Douglas运营部门假设运营部门为Cobb-Douglas类型；也就是说，π（z，c）=zαcβ表示α，β∈ (0, 1).提议4.1。假设bψ（α1-β) ∨bψ（α+β）定义良好，且（参见假设2.2）r>0∨bψ（α1）- β) ∨bψ（α+β）。（4.1）那么对于Cobb-Douglas运营公司，最优投资边界为b（x）=（θex）α1-β、 x∈ R、 （4.2）用θ表示：=βE{EαITr}rα. （4.3）列维不确定性证明下的不可逆投资。在这种情况下，等式（3.4）的形式为r=βeαxE{eαITr}bβ-1（x）。（4.4）取b（x）=（θex）α1-β很容易看出，上面的（4.4）对于θ是求解的，如（4.3）所示。[36]中使用的参数（见定理7.2的证明）很容易适用于α6=1的情况- β表示如果（4.1）成立，则*t:=sup0≤s<t（b（x+Xs）- y）∨ 0，t>0，和ν*:= 0（参见（2.21））是可容许的，而Jx，y（ν）*) < ∞.

因此，ν*对于问题（2.6）来说是最优的，因此（4.2）中给出的b是最优投资边界。备注4.2。命题4.1的结果与[36]中命题7.1和命题7.2的结论一致，其中基本容量过程*已在Lev y过程和Cobb-Douglas项目中明确确定。4.2 CES运营项目我们现在转向CES（恒定替代弹性）类型的不可分离运营项目，即π（z，c）=（αzγ+（1- α） cγ）γ对于某些α∈ (0, 1). 此外，为了满足消费2.1.1的要求，让γ∈ （0,1）有limc→0πc（z，c）=0和κ：=limc→∞πc（z，c）=（1）- α)γ.据我们所知，对于不可分离的CES型和指数L’evy过程的最优投资边界（2.6）的显式形式首次出现在这里。提案4.3。假设bψ（1）定义良好，且（参见假设2.2）r>（1- α)γ∨bψ（1）。（4.5）对于CES运营公司，最佳投资边界由b（x）=Kex，x给出∈ R、 （4.6）其中常数K（取决于γ、α和R）是唯一的正解toEn1 +α1 - αeγITrK-γ1.-γo=r（1）- α)γ. （4.7）证据。在这种情况下，等式（3.4）变为- α） γ=En1 +α1 - αeγ（x+ITr）b-γ（x）1.-γo.（4.8）比较（4.8）和（4.7）可以看出，b（x）=Kexis是最佳边界的自然候选。为了验证我们的坦诚饮食，我们首先必须证明（4.7）在莫斯通阳性溶液中确实存在。

定义函数F：（0，∞) 7.→ R asF（u）：=En1 +α1 - αeγITru-γ1.-γo-r（1）- α)γ.L’evy不确定性下的不可逆投资16很明显，u 7→ F（u）是严格递减的，连续的，因为0<γ<1，它保持不变↓0F（u）≥ 利木↓0uγ-1Enα1 - αeγITr1.-γo-r（1）- α)γ= ∞.此外，自0<γ<1起，也有0≤ eγITr≤ 1和利木↑∞F（u）≤ 利木↑∞1 +α1 - αU-γ1.-γγ-r（1）- α)γ= 1 -r（1）- α） γ<0，其中最后一个不等式是由于r>（1- α） 根据假设。因此，F（u）=0最多允许一个正解。为了完成证明，我们必须证明*t:=sup0≤s<t（b（x+Xs）-y）∨0，t>0，ν*:= 0（参见（2.21））是可容许的，并且使得Jx，y（ν）*) < ∞; 因此，问题的最优f（2.6）。显然，ν*是（英尺）适应，左连续和不减损。通过维纳-霍普夫分解eMTrEeITr=rr-bψ（1），（4.9），然后回忆（4.5）并使用（4.9）我们得到Z∞重新-rtν*tdt≤ 柯Z∞重新-rtsup0≤s<tex+Xsdt= 柯Z∞重新-rtex+Mtdt= 凯克斯eMTr< ∞.因此，通过部件进行集成是可行的Z∞E-rtdν*T< ∞, （4.10）即ν*是可以接受的。下一位考虑者Z∞E-rtπ（ex+Xt，y+ν）*t） dt≤重新Z∞重新-rteγ（x+Xt）+y+sup0≤s<tKex+Xsγγdt≤1.-γrEZ∞重新-rtex+Xt+y+sup0≤s<tKex+Xsdt=1.-γry+exE外向型+ 凯克斯eMTr< ∞, （4.11）我们再次使用了（4.5）和（4.9）。结合（4.10）和（4.11）表明Jx，y（ν*) < ∞（参见（2.4））。因此可以得出如下结论：*对于问题（2.6）是最优的，而（4.6）中的b是最优投资边界。Levy不确定性下的不可逆投资17备注4.4。显然，情况γ=n，n≥ [22]中讨论的2是命题4.3中研究的一个特殊情况，在这种情况下，b（x）=kex对于某个正常数K:=K（n，α，r）求解方程（4.7）。

二项式展开的应用（另见[22]第4.2节）将常数K的方程（4.7）简化为以下n阶多项式方程- 1n-1Xj=1N- 1jAj，nα1 - αjK-jn-“r（1）- α)γ- 1#=0与Aj，n:=E{ejnITr}。由于r>（1）以来的笛卡尔符号规则，这样的多项式方程允许唯一的正解- α)γ.致谢。乔治·法拉利感谢弗兰克·里德尔的有益讨论。PaavoSalminen感谢比勒费尔德大学数学经济中心在比勒费尔德和安德烈亚斯·基普里亚努逗留期间的热情款待和支持，以及一封激动人心的电子邮件。参考文献[1]ABEL，A.B.，Ebery，J.C.（1996）。具有成本可逆性的最优投资。牧师。经济部。螺柱。63 581–593.[2] 艾莉，L。，KYPRIANOU，A.E.（2005年）。关于列维过程第一段的一些评论，美国的Put和Pasting原则。安。阿普尔。Probab。15(3) 2062–2080.[3] 巴尔德松，F.M.，卡拉萨斯，I。(1997). 不可逆投资与产业均衡。金融斯托奇。1 69–89.[4] 班克，P.，里德尔，F.（2001年）。跨期替代的最优消费选择。安。阿普尔。Probab。11 750–788.[5] 班克，P.，福尔默，H.（2002）。美国选项、多武装匪徒和最优消费计划：一个统一的观点。在巴黎，普林斯顿大学讲授数学金融。数学课堂讲稿。1814 1–42. 斯普林格·维拉格。柏林[6] 班克，P.，北卡罗伊（2004年）。一个随机表示定理及其在优化和障碍问题中的应用。安。Probab。32 1030–1067.[7] 班克，P.（2005年）。动态燃油控制下的最优控制。暹罗J.ControlOptim。44 1529–1541.[8] 本托利拉，S.，贝托拉，G.（1990）。解雇成本和劳动力需求：睡眠硬化症有多严重？牧师。经济。螺柱。57(3) 381–402.[9] BERTOIN，J.（1996）。列维进程。坎布里奇大学出版社。[10] BERTOLA，G.（1998年）。不可逆转的投资。

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