Mazur引理和Krein-Smulian定理的随机版本

inf C+ε）- Ak-1对于k>0。然后{Ak}k≥0∈ Π(Ohm), 我们可以定义ηε：=Pk≥0Akηk.假设C相对稳定，则ηε∈ C.对于第二部分，必须看到，如果K相对稳定η ∈ L++；十、∈ ηK也相对稳定。事实上，考虑到{Ak}∈ Π(Ohm) 和{ηk} L++使x∈ ηkK foreach k∈ N、 让我们取η：=Pn∈NηnAn∈ L++。然后我们得到x/η是{x/ηk}沿{Ak}的串联。自x/ηk∈ K代表所有人K∈ N和K是相对稳定的，我们得出结论x/η∈ K、 证据是完整的。备注2.1。注意，在后一个结果中，我们认为K是相对稳定的，而不是稳定的更强条件。这是因为η，因此x/η，是通过使用Linstead的稳定性来构造的，而Linstead在E中具有某种稳定性。一旦x/η存在，我们只需要确保它属于K。但由于K的相对稳定性，情况就是这样。同样的策略被用来证明[29]的命题2.3。在陈述主要结果之前，我们需要引入一些概念并证明一些初步结果：定义2.1。给予 E、 我们定义：oA:coL（A）：=（Xi）的L-凸壳∈Iηixi；最后，xi∈ A、 ηi∈ L+，Xi∈IηI=1）oA:Acc:={x的稳定壳∈ E{xk} A、 {Ak}∈ Π(Ohm) 这样x是{xk}沿{Ak}的串联。备注2.2。在许多工作中，假设E是stablecf，定义了子集K的稳定壳。[17, 19]. 请注意，此处提供的定义不需要这样的假设。还要注意的是，Kcc是包含K的最不相对稳定的集合。特别是，当且仅当Kcc=K时，K是相对稳定的。命题2.1。设E[T]是拓扑L-模，设C E是L-凸的和L-吸收的。那么以下是等价的：1。pC:E→ 莉丝：继续。二∈ 在这种情况下，如果加法C是相对稳定的C={x∈ E个人电脑（x）≤ 1} ，其中C表示C相对于T的闭包。证据

证据与真实情况完全相同。为了平等。“”: 它是从pC的连续性中获得的。””: 让x∈ E满足pC（x）≤ 1.通过引理2.1，我们得到了每一个ε∈ L++存在ηε∈ L++使1≤ ηε<1+ε，带x∈ ηεC.然后，{x/ηε}ε∈在C语言中，L++是一个向x和x收敛的网络（向下看L++）∈ C.所以，证据是完整的。下面的例子（取自[29]）表明，对于后一种解释中证明的等式，C需要相对稳定。例2.1。考虑概率空间Ohm = （0,1），E=B(Ohm) Borel的σ-代数，An=[n，n]-1） 和n∈ N、 P:=λ勒贝格测度，E:=L（E）赋|·|。我们定义了setU：=η ∈ L 我 有限元，|η1Ai |≤ 1. 我∈ N- 我.检查表明，U是L凸的，L吸收的，U=U。但是，对于所有x，pU（x）=0∈ 五十、 所以{x；pU（x）≤ 1} 实际上，它需要证明pu（1）=0，因为pu是一个L-半形式。通过矛盾的方式，假设pU（1）>0。然后，就有了m∈ N使得P[（pU（1）>0）∩ Am]>0。定义A:=（pU（1）>0）∩ Am，ν：=（pU（1）+1Ac），η：=1Ac+ν1a和x:=1Ac+νA。因此，我们有1=ηx∈ ηUandP（pU（1）>η）>0，一个矛盾。我们需要一个新概念：定义2.2。设E是L-模，我们说E的和保持相对稳定性，ifL，M E相对稳定意味着L+M相对稳定。下面的例子表明，一般来说，两个相对稳定的子集之和不一定是相对稳定的。例2.2。让我们采取行动Ohm = （0,1），Ak=[k，k-1） 每k∈ N、 F=σ（{Ak；k）∈ N} 由{Ak}和P生成的西格玛代数，勒贝格测度仅限于F(Ohm, F、 P）是一个概率空间。

让我们把L:=L(Ohm, F、 P）。让我们定义以下L-模，它是L（R，F）的L-子模：E:=spanL{（1，0），（0，1Ak）；k∈ N} 。让我们也考虑以下子集：L:={（0，-1Ak）；K∈ N} ccM:={（1Ak，1Ak）；k∈ N} cc，这显然是相对稳定的。我们还有（1,0）∈ E和k（1，0）=1Ak（0，-1Ak）+（1Ak，1Ak））∈ 1Ak（L+M），因此（1,0）∈ L+Mcc。然而，检查显示（1,0）/∈ L+M。我们得出结论，L+M不是相对稳定的。下面的结果很容易通过检验来证明，我们省略了证明：命题2.2。设E为L-模。如果E是稳定的，那么它的和保持相对稳定。根据上述结果，对于L-模E，保持稳定的性质强于保持相对稳定的具有和的性质。下面的结果表明，事实上，前者严格地比后者强。提议2.3。存在一个不稳定的L-模E，但其和保持相对稳定。证据让我们重温例1.2中定义的L-模：E:=spanL{1An；n∈ N} 带有：=[1-N-1, 1 -n] 每n∈ N.E是一个不稳定的L-模。让我们证明E的和保持相对稳定性。的确，让我们假设L，M是E的相对稳定子集∈ E和{Bk}k∈ Π(Ohm) 使1Bkz=1Bk（lk+mk）和lk∈ L和mk∈ 每个k的M∈ N.首先注意下面的setFL:={k∈ N1Akl 6=0表示所有l∈ 五十} 必然是有限的。让我们用一种类似的方式来定义FMF，它也是有限的。让我们把它放在一起∈F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）=Xi∈F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）+Xi∈佛罗里达州∪调频-F、 k∈奈∩Bk（lk+mk）=l+m，其中l=Pi∈F∪佛罗里达州∪FMPk∈奈∩Bklk，m=Pi∈F∪佛罗里达州∪FMPk∈奈∩Bkmk。由于L和M相对稳定，我们得出结论∈ 我和m∈ M

最后，我们给出了经典Mazur引理的L-模的一个版本：定理2.1。[Mazur引理的随机版本]设（E，k·k）为L-赋范模，其和保持相对稳定性，设{xγ}γ∈Γ是E中的一个网，它收敛到x∈ E.那么，对于任何ε∈ L++，存在szε∈ coccL{xγ；γ∈ Γ}这样kx- zεk≤ ε.证据定义M:=球菌{xγ；γ∈ Γ}. 我们可以假设0∈ M、 用x代替x- xγ和xγ乘以xγ- 某些γ的xγ∈ Γ固定和所有γ∈ Γ.通过矛盾的方式，假设每个z∈ 这里有Az∈ A+这样的kx- zk>ε在Az上。表示Bε：={x∈ Ekxk≤ε} ，定义M:=Sz∈Mz+Bε。那么M是一个0的L-凸L-吸收邻域∈ E、 这是相对稳定的（这是因为Mand Bε相对稳定，E之和保持相对稳定）。此外，对于每个z∈ 存在Cz∈ A+和kx- zk≥ε在Cz上。所以/∈ 因此，根据命题2.1，我们得到存在C∈ A+使得Pm（x）>1（1），其中Pm是M的规范函数。进一步，给定η，ξ∈ 对于1Cηx=1Cξx，它认为C上的η=ξ。实际上，定义A=（η- ξ ≥ 0）C |η- ξ| pM（x）≤ pM（1C |η）- ξ| x）=pM（（1A）- 1Ac）1C（η）- ξ） x）=pM（0）=0。鉴于（1），我们得出C上η=ξ的结论。在本文的最早版本中，意外地忽略了关于E有和的假设，该假设保持了相对稳定性。

作者感谢郭铁新向他指出可能缺乏这种条件，并为激发例2.2和命题2的一些有趣的讨论提供了便利。3.然后，我们可以定义以下L-线性映射u：spanL{x}-→ Lu（ηx）：=η1CpM（x）。此外，我们还有u（z）≤ pM（z）代表所有z∈ spanL{x}。因此，根据定理A.1，u扩展到E上定义的L映射应用程序u，使得u（z）≤ pM（z）代表所有z∈ E.因为M是0的邻域∈ E、 根据命题2.1，规范函数pMis continuouson E。因此u是定义在E上的连续L-线性函数。此外，我们也有这样的结论。苏普兹∈Mu（z）≤ 字母S。苏普兹∈Mu（z）≤≤ 字母S。苏普兹∈MpM（z）≤ 1<pM（x）=C上的u（x）。因此，x不能是与xγ弱收敛于x的假设相反的弱累积点。我们有以下推论：推论2.1。设（E，k·k）为L-赋范模，其和保持相对稳定性，且 E是L-凸且相对稳定的，我们得到范数中的闭包，弱拓扑中的闭包，以及稳定弱拓扑中的闭包是相同的，即Kk·k=kσ（E，E*)= Kσ（E，E）*)复写的副本。证据我们发现范数拓扑比稳定的弱拓扑好，后者比弱拓扑好。

因此我们得到了kk·k Kσ（E，E）*)复写的副本 Kσ（E，E）*).另一方面，对于给定的x∈ Kσ（E，E）*), 让我们选择一个网络{xγ} 收敛到x的K。由于定理2.1，对于每个ε，K是L-凸且相对稳定的∈ L++，我们可以找到ε∈ coccL{xγ；γ∈ Γ}  K、 这样kzε- xk≤ ε.这意味着x∈ Kk·k.然后，从现在开始，假设E有保持相对稳定性的和，或者更具体地说，如果E是稳定的，对于任何L-凸子集k是相对稳定的，我们将用k表示拓扑闭包，而不指定拓扑是弱的、稳定的还是强的。让我们回顾一下[9]中介绍的一些概念：定义2.3。设E[T]是拓扑L-模。函数f:E→“Lis称为适当的iff（E）∩L6= f>-∞; 如果f（ηx+（1），则称为L-凸-η） 十）≤ ηf（x）+（1）-η） f（x）表示所有x，x∈ E和η∈ Lwith 0≤ η ≤ 1.它说如果A的1Af（x）=Af（1Ax），则具有本地属性∈ A+，和x∈ E最后，如果能级setV（η）={x，f称为下半连续∈ Ef（x）≤ η} 关闭所有η∈ L.推论2.2。设（E，k·k）是一个L-赋范模，其和保持相对稳定性，设f:E→Lbe是一个适当的L-凸函数。如果f是连续的，则f是弱拓扑的下半连续的。证据众所周知，如果f是L-凸的，则它具有局部性质（见[9，定理3.2]）。作为f L-凸且具有局部性质，我们得到V（η）是L-凸且相对稳定。因为η是连续的，因为它是闭的。3 KreinˇSmulian定理的随机版本在本节中，我们在L-赋范模的上下文中推广了KreinˇSmulian的经典定理。我们将使用完备性参数和随机双极定理（见A.2）。

在附录中，我们回顾了极性和结果相关的概念。在证明本节的主要结果之前，让我们先介绍一些必要的概念。设（E，k·k）为L-赋范模。给定ε∈ L++定义新ε：={（A，B）；A，B E、 kx- yk≤ ε表示所有x∈ A、 y∈ B} 。那么W:={Wε；ε∈ L++}是E上一致性的基础。设G是E.A网{Aγ}γ的所有非空闭子集的集合∈据说G中的Γ收敛到A∈ G如果每个ε∈ L++有一些γε和（Aγ，A）∈ 所有γ的Wε≥ γε. 请注意，A是唯一的。{Aγ}γ∈对于每个ε，Γ被称为柯西∈ L++有一些γε和（Aα，Aβ）∈ 所有α，β的Wε≥ γε.此外，如果每个柯西网{xγ}γ∈Γ E收敛到somex∈ E.提案3.1。如果（E，k·k）是完备的，那么每个柯西网{Aγ}∈Γin G收敛。此外，如果{Aγ}γ∈Γ减小，然后收敛到A:=Tγ∈ΓAγ。证据如果{Aγ}γ∈Γ是Cauchy，每个ε都有∈ L++存在γε，使得kx- yk≤ ε表示所有x∈ Aα，y∈ Aβ和α，β≥ γε（2）特别是，每个净{xγ}γ∈Γ与xγ∈ Aγ是柯西函数，因此当E完全时收敛。定义A:={lim xγ；xγ∈ 所有γ的γ∈ Γ}. 让我们证明{Aγ}γ∈Γ收敛到A。的确，给定x∈ 存在一个网{xγ}γ∈Γ与xγ∈ 一个收敛到x的γ，然后（2）它保持kxγ- yk≤ ε表示所有y∈ Aα，带α，γ≥ γε.取γkx的极限值- yk≤ ε表示所有y∈ Aα，带α≥ γε.自从x∈ A是任意的，它认为（A，Aα）∈ 所有α的Wε≥ γε，证明是完整的。最后，让我们证明随机版本的克里恩-斯穆利定理3.1。[KreinˇSmulian定理的随机版本]设（E，k·k）是一个完全赋范模，它稳定且唯一，且设k E*要相对凸。那么下面的陈述是等价的：1。K很弱-* 关闭2.K∩ {z∈ E*; kzk*≤ ε} 他很虚弱-* 每个ε都是闭合的∈ L++。证据

1.=> 2：很明显，因为{z∈ E*; kzk*≤ ε} =Boε较弱-* 关闭2.=> 1：对于每个ε∈ 我们有Bεo∩ K很弱-* 关闭然后是{（Bεo∩K） o}ε∈L++是柯西。的确，对于δ，δ≤ ε/2，通过使用极性的性质（见A.1）和双极性定理（见A.2）：（Bδo∩ K） o+Bε （Bδo）∩ K） o+Bε/2=（（Bδo∩ K） o+Bε/2）oo （（Bδo）∩ K） 哦∩ Boε/2）o=（Bδo∩ K∩ Boε/2）o （Bδo）∩ K） o.由于命题3.1，网络在减少，它收敛到C:=Tε∈L++（Bεo）∩ K） 让我们看看K=Co。事实上，C （Bεo）∩ K） oso Bεo∩ K coforallε∈ L++和K Co.让ε，r∈ r>1的L++语言。由于网络收敛到C，因此存在δ∈ L++与（Boδ）∩ K） o C+（r- 1） Bε （C）∪ Bε）oo+（r- 1） （C）∪ Bε）oo=r（C∪ Bε）oo通过取极，可以得出[r（C∪ Bε）oo]o=r（C∪ Bε）o （Boδ）∩ K） oo=Boδ∩ 坎特索斯公司∩ Boε r（Boδ）∩ K） 无论如何∈ L++，r>1。因此，ε∩ 有限公司\\R∈L++，r<1r（Boδ∩ （K） Boδ∩ K=Boδ∩ K K、 证据是完整的。备注3.1。在写完本文的第一个版本后，作者从阿斯加·詹姆斯山那里了解了这部作品[7]。因此，作者感谢阿斯加·詹姆斯山指出了这一点。S.Drapeau等人[7]抽象地介绍了条件集代数，其中假设所有结构都具有强稳定性。这个框架与L理论有关，在这个意义上，如果我们假设一个L模上具有唯一性的稳定性性质，我们就得到了一个条件集。在这种情况下，它被证明是具有不同策略证明的KreinˇSmulian定理的一个版本。然而，我们想强调的是，我们研究的是弱稳定性性质。例如，相对稳定性既不假设串联的存在性也不假设串联的唯一性。此外，简而言之，这里使用的拓扑不需要是[7]提出的意义上的“稳定族”。

例如，这里证明的随机Mazur引理和KreinˇSmulian定理所使用的弱拓扑不是必要的稳定族。事实上，例1.3表明所采用的弱拓扑是不稳定的，并且严格地弱于其稳定版本。此外，这里证明的随机Mazur引理适用于Proposition 2.2中提供的类型的模，这些模不稳定，但它们的和保持相对稳定性。此类模块不在[7]的范围内；然而，缺乏稳定性的模型空间最终可能成为金融应用的对象。参考文献[1]P.Artzner，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath，一致性风险度量，数学。财务9（1999）203-228。[2] J.Bion Nadal，《条件风险度量和凸条件风险度量的稳健表示》，CMAP预印本557（2004）。[3] D.L.科恩，《测量理论》，1993年卷。波士顿：伯赫奥瑟，1980年。[4] F.Delbaen，《货币效用函数》，大阪大学，大阪，2011年。[5] F.Delbaen，W.Schachermayer，《套利数学》，斯普林格科学与商业媒体，2006年。[6] K.Detlefsen，G.Scandolo，条件和动态凸风险度量，金融学Stoch。9 (2005) 539–561.[7] S.德雷珀、A.詹姆斯山、M.卡利泽克和M.库珀。条件集代数与条件拓扑和紧性的概念。《数学分析与应用杂志》，437（1）（2016）561-589。[8] K.-T.Eisele，S.Taieb，有界随机变量环上模的弱拓扑，J.数学。肛门。阿普尔。421.2 (2015) 1334-1357.[9] D.Filipovic，M.Kupper，N.Vogelpoth，局部L-凸模中的分离与对偶，J.Funct。肛门。256 (2009) 3996–4029.[10] D.Filipovic，M.Kupper，N.Vogelpoth，《条件风险方法》，暹罗J.金融学杂志。(2012) 402-432.[11] 霍尔默，A。

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