Mazur引理和Krein-Smulian定理的随机版本

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英文标题：
《Randomized versions of Mazur lemma and Krein-Smulian theorem》
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作者：
Jose Miguel Zapata
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We extend to the framework of locally $L^0$-convex modules some results from classical convex analysis. Namely, randomized versions of Mazur lemma and Krein-Smulian theorem under mild stability properties are provided.
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中文摘要：
我们将经典凸分析的一些结果推广到局部$L^0$-凸模的框架。也就是说，随机版本的Mazur引理和Krein-Smulian定理在温和的稳定性性质下提供。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Randomized_versions_of_Mazur_lemma_and_Krein-Smulian_theorem.pdf (424.56 KB)

2022-5-7 04:15:32 上传

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关键词：Lian SMU Mul distribution Quantitative

Mazur lemma和Krein的随机版本ˇSmuliantheoremJos\'e M.Zapata*+2018年10月6日摘要我们将经典凸分析的一些结果推广到局部L-凸模的框架。也就是说，随机版本的Mazur引理和KreinˇSmulian定理具有温和的稳定性。关键词：局部L-凸模；稳定性；Mazur引理；Kreinˇsmulian理论简介在过去17年中，风险模型在文献中的重要性越来越大。[1, 2, 4, 11, 13]. 尤其是，风险的动态和有条件测量在最近的工作中发挥了重要作用，参见[2,6,10,20]。这主要是因为，与静态情况相比，它允许随着时间的推移对金融头寸的风险进行精确、一致的测量，同时考虑到整个风险管理战略中新信息的到来。菲利波维奇等人[9]提供了一种针对此类风险度量的杰出方法（另见[10]）。他们考虑了一个概率空间(Ohm, F、 P）对风险管理决策在某个时间t的市场信息进行建模，以及对某个时间范围t>t的不同财务状况的价值进行建模的L（F）上的模块（F-可测量函数的等价类空间）。这产生了局部凸模块的概念，这是局部凸拓扑的经典概念的推广。在文献中，我们可以找到一些通过考虑随机变量环上的模来研究泛函分析结果的著作。例如，R.Haydon等人[23]将随机形式的L-模用作研究Lebesgue-Bochner函数空间超幂的工具。此外，还必须强调T。

郭，在L-模结构下广泛研究泛函分析中的定理；首先，考虑关于L-半形的随机收敛拓扑，参见[14,15,16,18]，以及后来由Filipovic等人[9]引入的局部L-凸拓扑，以及两者之间的联系，参见[17,19,21,22]。同样值得注意的是，Eisele和Taieb[8]将泛函分析中的一些定理推广到环L上的模∞.用标量代替R意味着一些困难。例如，Lneither是一个域，也不具有总序，而且局部L-凸拓扑缺少0的可数邻域基∈ L.在其他困难中，这就是为什么在L-模的结构下，从泛函分析中证明定理的论点经常失败的原因。*穆尔西亚大学，Dpto。Matem\'aticas，30100西班牙穆尔西亚埃斯皮纳多，电子邮件：jmzg1@um.es+作者感谢匿名审稿人对手稿的仔细审查。由于这个原因，许多著作经常在代数结构或拓扑结构上考虑额外的“稳定性条件”或“可数串联性质”，参见[9,17,29]。例如，在[29]中引入了相对稳定子集的概念（在[29]中，这种子集被称为可数连接下的闭子集），以便提供拓扑由一系列L-半形诱导的拓扑L-模的特征。本文的目的是证明局部L-凸模中泛函分析的一些相关结果。首先，我们将证明L-赋范模的Mazur’slemma的一个随机版本，其运算和保持子集的相对稳定性。其次，我们提供了KreinˇSmulian定理的随机版本。

从[4]和[12]中可以清楚地看出，风险度量或风险评估的一些基本定理依赖于克莱恩-斯穆利定理。此外，这个经典结果在资产定价的基本定理中起着关键作用（见[5]）。因此，我们认为，这一结果可能会导致在动态时间配置中的财务应用。在文献中，我们有一些相关的结果：Mazur的早期版本可以在[18，推论3.4]中找到，但在随机收敛的拓扑中。关于L的KreinˇSmulian定理∞-模块可在[8]中找到。此外，条件局部凸空间的KreinˇSmulian定理可以在[7]中找到，具有不同的策略证明和强稳定性。本手稿的结构如下：第1节专门介绍注释和序言。在第二节中，我们证明了Mazur引理的随机版本。第三节致力于证明KreinˇSmulian的随机版本。为了方便读者，让我们列出一些注释。设一个概率空间(Ohm, F、 让我们考虑一下(Ohm, F、 P），或者简单地说是L，实值F-可测随机变量的等价类集合。众所周知，三重五十、 +,·被赋予几乎确定优势的部分序的是一个格序环。我们将遵循识别随机变量及其等价类的常见做法。对于给定η，ξ∈ 五十、 我们将写“η”≥ ξ“如果P（η）≥ ξ） =1，同样，如果P（η>ξ）=1，我们将写出“η>ξ”。我们还定义了L+：=η ∈ Lη ≥ 0L++：=η ∈ Lη > 0. 我们将用L表示，F-可测随机变量的等价类集合，取R=R的值∪ {±∞}, 几乎确定的支配地位的部分顺序自然地延伸到了“林”。

此外，给定一个子集H 五十、 众所周知，H在几乎确定的支配地位顺序上同时拥有一个内确界和一个上确界，这将用ess表示。inf H和ess。分别是sup H。该命令还允许我们定义拓扑。我们定义了Bε：=η ∈ L|η| ≤ ε半径ε的球∈ L++以0为中心∈ L.那么η+Bε；η ∈ 五十、 ε∈ L++是L上Hausdor ff拓扑的基础（参见Filipovic等人[9]）。L[|·|]代表这种拓扑结构的借出。我们用A表示与F相关的度量代数，该度量代数是通过识别F的两个事件而获得的，当且仅当其对称差为P-可忽略。同样，我们确定了F的一个元素及其等价类A。我们还确定了A+：={A∈ A.P（A）>0}。给一个家庭{Ai}i∈在A中，其上确界表示为∨我∈我和它的妈妈∧我∈IAi。对于给定的B∈ A、 我们定义了B的划分集，由∏（B）：={Ak}k给出∈NA.∨Ak=B，Ai∧ Aj=0，对于所有I6=j，i，j∈ N} 。让我们回顾一下局部L-凸模理论的一些概念：定义1.1。[9，定义2.1]拓扑L-模E[T]是赋予拓扑T的L-模E，其拓扑T为1。E[T]×E[T]-→ E[T]，（x，x）7→ x+x和2。L[|·|]×E[T]-→ E[T]，（η，x）7→ ηxare与相应的产品拓扑是连续的。定义1.2。[9，定义2.2]如果邻域基U为0，则L-模E上的拓扑T称为局部凸∈ 使每个∈ 你是1。L-凸，即ηx+（1- η） y∈ U代表所有x，y∈ U和η∈ Lwith 0≤ η ≤ 1.2.L-吸收，即适用于所有x∈ 有一个η∈ L++使x∈ ηU；3.L-平衡，即ηx∈ U代表所有x∈ U和η∈ l带|η|≤ 1.在这种情况下，E[T]被称为局部L-凸模。定义1.3。[9，定义2.3]函数k·k:E→ L+是E上的一个L-半形式，如果：1。kηxk=|η| kxk表示所有η∈ 土地x∈ E2.

kx+yk≤ kxk+kyk，对于所有的x，y∈ E.此外，如果kxk=0意味着x=0，那么k·k是元素P上的L-范数，是L-模E上的L-半形族。给定P和ε的有限子集∈ L++，我们定义，ε：={x∈ EkxkF≤ ε} ，其中kxkF:=ess。sup{kxk；k·k∈ F}。然后你：=UF，ε；ε ∈ L++，F P有限社区基数为0∈ 对于局部L-凸拓扑T，称为P诱导的拓扑（见[9]）。赋予这种拓扑结构的E用E[P]表示。定义1.4。给定L-模E中的序列{xk}和分区{Ak}∈ Π(Ohm), 元素x∈ 如果所有k的1Akxk=1Akx，则称E是{xk}沿{Ak}的串联∈ N.下面的例子表明，对于给定的{Ak}∈ Π(Ohm) 和{xk} E、 沿着{Ak}可以有一个以上的{xk}串联。例1.1。让我们采取行动Ohm = （0,1），F=B(Ohm) Borel的σ-代数，Ak=[k，k]-1） withk∈ N和P=λ勒贝格测度。我们在L(Ohm, F、 P）以下等效关系X~ y如果1Akx=1Aky，对于所有k，但对于绝大多数k∈ N.如果我们用x表示x的等价类，我们可以定义x+y:=x+y和η·x:=ηx，得到E:=L/~ 是一个L-模。那么，对于x∈ 五十、 我们有1Akx=1Akx=0。因此，E的任何元素都是{0}kalong{Ak}k的级联∈ Π(Ohm) 和序列{xk} E、 如果存在沿着{Ak}的{xk}的唯一连接，它将由形式上的sumPAkxk表示。现在，我们将收集一些L-模的稳定性概念，其中更多包含在现有文献中（不同名称下），参见[9,17,29]。定义1.5。设E为L-模，则：1。K 如果对于K中的每个序列{xk}和每个部分{Ak}，则称E是稳定的（具有唯一性）∈ Π(Ohm), 它认为存在（唯一的）串联x∈ 沿着{Ak}的{xk}的E。

如果序列{xk}的每个串联x K沿着一个分区{Ak}∈ Π(Ohm) 也是在K中（以及沿着{Ak}等于x的{xk}的任何其他串联）。备注1.1。请注意，相对稳定的性质与[29]中介绍的可数连接下的闭合性质完全相同；我们只更改房产的名称。在相对稳定的性质中，我们不要求串联的存在，我们只要求如果它存在，那么它属于K。显然，如果K E是稳定的，它也是相对稳定的。注意，每个L-模E总是相对稳定的；然而，我们可以找到不稳定的L模块的示例（见下面的示例）。特别是，我们发现相对稳定的属性比稳定的属性要弱得多。检验表明，稳定L-模E的每个相对稳定子集K也是稳定的。例1.2。[9] 考虑概率空间Ohm = [0,1]，F=B[0,1]Borelσ-代数和P:=λ[0,1]上的勒贝格测度，以及define:=spanLn[1]-N-1,1-n] )；N∈ 不，E是一个不稳定的L-模，但它相对稳定。我们有一个定理，它刻画了由一个L-半形族导出的局部L-凸拓扑。定理1.1。[29，定理2.6]设E[T]是拓扑L-模。当且仅当邻域基为0时，T由一个L-半群诱导∈ E为哪一个∈ U是L-凸、L-吸收、L-平衡且相对稳定的。此外，Zapata[29]以及Wu和Guo[27]分别给出了一个例子，表明在上述定理中，相对稳定的性质不能被放弃（参见[29，例子2.1]）。关于序列沿着一个分区连接的唯一性，我们得到了以下结果：命题1.1。

设E[T]是局部L-凸模，并假设T由一个L-半形族诱导，是Hausdor ff。那么对于给定的{Ak}∈ Π(Ohm) 和{xk} E、 如果存在沿着{Ak}的{xk}的串联，那么正好存在其中一个。证据假设U是0的邻域基∈ 如定理1.1所示。因为T Ishausdorff，通过遵循经典案例的论点，我们得到了thatTU={0}。对于给定的x，y∈ E{xk}沿着{Ak}的串联，很明显- y是序列0，0。。。沿着{Ak}走。因此，由于美国∈ U相对稳定，它保持x- Y∈ 为了所有的你∈ U因此，我们得出结论，x=y。一个L-半形细胞家族的稳定外壳是在[9]中引入的。由于[9]家族中的L-精原细胞型在有限上限下是不变的，我们采用了郭等人[21]提出的定义：定义1.6。设P是L-模E上的一个L-半形族。我们将P的稳定壳定义如下：Pcc：=主键∈NAkk·kFk；Ak∈ Π(Ohm), Fk 菲尼特, 使用kxkFk:=ess。sup{kxk；k·k∈ Fk}。Filipovic等人[9]引入了拓扑L-模E[T]的拓扑对偶，表示为byE[T]*= E*=u：E→ Lu是L线性且连续的.我们也可以考虑弱者和弱者-* 拓扑结构。事实上，让我们考虑一下L亚型σ（E，E）家族*) = {qx*}十、*∈E*由qx定义*（x） ：=|x*（x） |对于x∈ 类似地，我们也有弱者-* 拓扑结构。然后，我们可以考虑稳定壳σ（E，E）*)cc，它诱导的拓扑比弱拓扑更好。同样，σ（E）*, E） C引导的拓扑结构比弱拓扑结构更好-* 拓扑结构。σ（E，E）诱导的拓扑*)c和σ（E）*, E） cc将被称为稳定的弱者和稳定的弱者-* 分别是拓扑结构。以下示例显示，两种拓扑不一定相同。例1.3。[25，例1.2]菲利波维奇等人。

[9] 介绍了以下局部L-凸模，它们被称为Lptype模。也就是说，让我们(Ohm, E、 P）一个概率空间，使得F是E和P的次σ代数∈ [1, +∞]. 然后我们可以定义L-模LpF（E）：=L（F）Lp（E），其中x | Fkp:=（EP[|x | p | F]1/pif p<∞字母S。infY∈L（F）；Y≥ |x|如果p=∞定义一个L-范数。此外，众所周知，对于1≤ p<+∞, 如果1<q≤ +∞ 当1/p+1/q=1时，mapT:LpF（E）→ LqF（E），y 7→ 由Ty（x）定义的类型：=EP[xy | F]是L-等距同构（见[17，定理4.5]）。定义了弱拓扑，以及setsUF族，ε：={x∈ LpF（E）|EP[xy | F]|≤ ε, Y∈ F}，其中F是LqF（E）和ε的有限子集∈ L++（F），构成0的邻域基∈弱拓扑的LpF（E）。让我们考虑一下具体情况：Ohm = （0,1），E=B(Ohm) Borel的σ-代数，Ak=[k，k]-1） 和k∈ N、 F:=σ（{Ak；k）∈ N} ）和P表示勒贝格度量。而且，对于每个k∈ N、 考虑到Ak中F的轨迹和条件概率P（·| Ak），让我们定义Lk:=L（Ak）。每x∈ Lkwe表示kx | Akk:=EP[x | Ak]1/2。在这种情况下，L（F）={Pk∈纳克；rk∈ R} ，检查显示LF（E）={Pk∈NAkxk；xk | Ak∈Lk}对于x∈ 如果（E），我们有kx | Fk=Pk∈NAkkx | Akk。对于每个k，让我们选择一个可数集{ykn；n∈ N} 其中{zkn}是Lk的早期独立子集。LetU:=Xk∈NAkU{yk，…，ykk}，1。我们知道U是0的邻域∈ LF（E）表示拓扑σ（LF（E），LF（E））cc，但不表示拓扑σ（LF（E），LF（E））。事实上，通过矛盾的方式，让我们假设LF（E）和ε有一个有限的子集F∈ L++（F），式中ε=Pk∈Narkwith rk∈ R+，所以uF，ε U.现在，让我们以k:=#F+1为例。让我们定义Fk:={y | Ak；y∈ F}，thenuff，rk U{zk，…，zkk}，1in-Lk。每一天∈ Lk，让我们表示uy（x）：=EP[xy | Ak]。

然后，它将\\y∈Fker（μy）k\\i=1ker（uyki）。但这是不可能的，因为∈Fker（uy）是LK的一个向量子空间，其余维小于k，包含在一个余维为k的向量子空间中。2 Mazur-lemma的一个随机版本经典凸分析的著名结果是Mazur-lemma，它表明，对于Banach空间中的任何弱收敛序列，都有一个其成员的凸组合序列强收敛到同一极限。我们将把这个工具推广到L-赋范模中的网络。在证明这个结果之前，我们需要回顾一下L-模的规范函数，它在[9，定义2.21]中介绍过：设E为L-模。量规函数pK:E→集合K的L+ E由pk（x）定义：=ess。infη ∈ L+；十、∈ ηK.此外，在其他属性中，如果K是L-凸和L-吸收的，则可以通过取η来定义上述本质界∈ L++，也是PKI的次可加性，对于所有x，ηpK（x）=pK（ηx）∈ E和η∈ L+。此外，如果K是L-平衡的，那么PKI是L-半形式（见[9，命题2.23]）。考虑到Lis不是一个完全有序的集合，下面的结果在某些情况下是有用的：引理2.1。让C Lbe的范围低于（分别高于）且相对稳定，然后对于每个ε∈ L++存在ηε∈ C就是这样。inf C≤ ηε<ess。inf C+ε（分别为ess.sup C≥ ηε>ess。sup C- ε） 特别地，给定一个L-模E和K E、 这是L-凸的，L-吸收的，相对稳定的，对于ε∈ L++，存在ηε∈ L++与x∈ ηεK使得pk（x）≤ ηε<pK（x）+ε。证据首先，让我们看看C是向下的。的确，对于给定η，ξ∈ C、 呼吸：=（η<ξ）。由于C相对稳定，我们得到1Aη+1Acξ=η∧ ξ ∈ C.因此，对于ε∈ L++，C中存在一个递减序列{ηk}，收敛于ess。几乎可以肯定。让我们考虑AA中的顺序： 和Ak:=（ηk<ess。