启动成本和电网运营商对电价的影响

纳什均衡（NE）决策*和EP[π]*构成一个纳什均衡if1。每一位制作人∈ P，v*pis是一种策略，使得（2.46）ψpvp，EP[π]*≤ ψp五、*p、 EP[π]*所有副总裁∈eSp；2.对于每个消费者c∈ C、 五*cis的策略是（2.47）ψcVc，EP[π]*≤ ψc五、*c、 EP[π]*对所有Vc来说∈ 资深大律师；3.价格向量EP[π]*最大化假设市场代理人的目标函数，即（2.48）ψMEP[π]，v*≤ ψMEP[π]*, 五、*适用于所有EP[π]∈ SM从定义（2.1）来看，目前尚不清楚是否存在解决我们问题的方法，也不清楚它是否独特。这个问题在[21]中得到了彻底的研究。粗略地说，它表明，如果终端用户的需求可以被可用的发电厂系统覆盖，那么就存在一个网元。此外，如果发电厂足够相似（如果发电厂的效率没有大的差距），那么就可以证明NE也是独一无二的。另一方面，如果电厂足够相似，那么每个电力合同的预计均衡价格可能是一个区间，而不是一个单点。在本文中，我们主要讨论在有解的假设下，NE的数值计算。在本文中，我们假设以下条件稍微严格一点。假设2.2。尽管如此，p∈ 向量VP的存在使得Apvp=apa。s、 Bpvp<bpa。s、 ，对所有人来说∈ C、 存在向量vc，使得AcVc=aca。s、 BcVc<bca。s、 ，并且可以选择矢量和vC，以满足（2.45）的要求。2.6。二次规划公式。解决均衡优化问题的传统方法是通过影子价格（例如se e[8]）。然而，这种方法只有在不存在不等式约束时才有效。影子价格取决于活动约束集，因此只有当活动约束集已知时，才能使用这种方法。

在不等式约束优化中，通常事先不知道活动集，因此需要不同的方法。下面提出的公式可以看作是影子定理对不等式约束优化问题的扩展。解决不等式约束均衡优化问题的一种简单方法是选择一个期望的pric e向量EP[π]，然后计算每个生产者p的最优解∈ P和每个消费者c∈ C分别通过求解（gpr）和（CO）得到。如果以这样的价格个人计算机∈CVc+Pp∈PVp将其分解为z e ro，然后找到解，EP[π]是一个均衡预期价格向量。否则，我们必须调整预期价格向量并重复该过程。我们可以看到，这样的分析是昂贵的，因为它需要多次解决一个大型优化问题（即计算每个生产者和每个消费者的最优解）。在下面的部分中，我们展示了我们可以做得比天真的方法好得多。利用我们提出的重新表述，大规模的地理优化问题只能解决一次。所有vk，k的必要和充分条件∈ P∪ 由于假设2的事实，构成NE的C和EP[π]如下。2表示斯莱特条件（2.49）-EP[πk]- λkQkvk- Bkηk- A.kuk=0ηk（Bkvk）- bk）=0Bkvk- bk≤ 0Akvk- ak=0ηk≥ 0Pc∈CVc+Pp∈PVp=0。最后一个等式对应于假设市场代理的KKT条件。我们现在可以将（2.49）解释为一个大型优化问题的KKT条件，其中包括假设市场代理人的新定义（HMA）。

为了了解这一点，我们将所有决策变量加入一个向量x:=hv, EP[π]我并将等式约束改写为Ax=a和a：=A.PA.pP，aCA.抄送，0。。。，0 |{z}N其中，结束零的数量等于N，且：=Ap0 0。。。。。。0 ApP0 00 Ac0 0。。。。。。0 AcCMp··MpPI··I 0,哪位议员∈ RN×Rdim VP是一种矩阵定义的asMp=诊断1.1 |{z}N0 · · · 0.........0 · · · 0,o Bx的不等式约束≤ b和b：=BPBpP，bCB复写的副本, B:=Bp0。。。。。。0 BpP0 00 Bc0 0。。。。。。0密件抄送,o 目标函数为-π十、-十、带π的Qx：=EP[π0，p], ..., EP[π0，pP], 0, ..., 0 |{z}（|C |+1）N式中，π0，ππp，其中∏的元素设置为零，（2.50）Q：=λpQp0 MP0λppqpp0mpP0λcQc0 I。。。。。。0λcCQcCIMp··MpPI··i0,o 双变量η：=ηPηpP，ηCη复写的副本以及：=uPupP，uCucC，uM.在这种情况下，我们可以将KKT条件（2.49）重新表述如下（2.51）-π - Qx- Bη - A.u = 0η（Bx）- b） =0Bx- B≤ 0Ax- a=0η≥ 0uM=0。由于问题2.51的对偶变量上的附加约束uM=0无法由大多数可用的二次规划求解器处理，因此我们必须以对偶形式重新表述问题。我们首先将KKT条件（2.51）下的优化问题表示为（2.52）maxx-π十、-十、Qxs。t、 Ax=aBx≤ buM=0，通过定义Lagra ngian asL（x，u，η）=-十、Qx- π十、- （斧头）- （a）u - （Bx）- b）η; 如果η≥ 0-∞; 否则可以证明这一点，Q 0表示满足市场清算约束的所有向量（2.41）（有关上限，请参见[20]）。因此，L（x，u，η）是一个光滑凸函数。无约束极小值可以通过求解DxL（x，u，η）=0来确定。

计算dxl（x，u，η）=-Qx- π - A.u - Bη，并将π插回拉格朗日函数，得到如下等价公式：L（x，u，η）=十、Qx+au+bη如果η≥ 0和- Qx- π - A.u - Bη = 0,-∞ 另一方面，将后者与最大化优化问题联系起来，得到以下公式（2.53）maxx，u，η-十、Qx- uA.- ηbs。t、 Qx+Au+Bλ + π = 0η ≥ 0uM=0。问题（2.53）相当于问题（2.52），但可以使用任何二次规划算法来解决。基于我们在第2节中的讨论。我们可以看到（2.53）是通过考虑问题（gpr）得到的，这是问题（PR）的一个连续松弛。为了估计连续松弛引起的误差，我们使用以下步骤：1。我们计算均衡电价EP[π]*通过解决问题（2.53）。使用均衡电价EP[π]*从上一步开始，我们计算最优交易向量V*p、 p∈ 所有生产者的P和最优交易向量V*c、 c∈ C分别通过求解（PR）和（CO）来计算所有消费者。3.我们将误差计算为（2.54）MIQP:=Xc∈个人简历*c+Xp∈PV*p、 为了验证上述程序，我们采用以下非常类似的程序：1。我们计算均衡电价EP[π]*通过解决问题（2.53）。使用均衡电价EP[π]*从上一步开始，我们计算最优交易向量V*p、 p∈ 所有生产者的P和最优交易向量V*c、 c∈ C分别通过求解（gP R）和（CO）来表示所有消费者。3.我们将误差计算为（2.55）QP:=Xc∈个人简历*c+Xp∈PV*p、 在第3节和第4.2节中，我们在对整个英国电网建模时预先发送了MIQP和QP。3.数值结果。在本节中，我们将讨论数值结果，并将第2节中的模型应用于模拟真实的英国电网。3.1. 参数估计。

在本节中，我们将研究如何估算进入第2节所述模型的发电厂的各种参数。在英国，所有发电厂都必须每半小时向电网运营商提交其可用容量以及爬坡和爬坡限制。该数据可在Lexon网站上公开获取。一个更具挑战性的问题是估算每个发电厂的效率cp、l、r、启动成本sp、l和碳排放强度因子gp、l、Rf∈ Rp，l。为了校准的目的，我们假设所有生产商都是风险中性的，并将λp=0设为所有p∈ P此外，我们忽略了r放大器的上升和下降限制（2.15），（2.20），（2.21），（2.25）和（2.26）。由于每个发电厂都是单独处理的，我们避免写下标/上标p、l、r。在我们探索校准过程的细节之前，让我们先建立一些关系，这些关系在本节稍后将被证明是有用的。我们可以看到，如果以现货价格出售电力的收入大于以当前现货价格购买所需燃料和排放物的成本，发电厂将在Tji时生产（请记住，发电厂也必须支付启动成本）。因此，对于使用燃料l的发电厂∈ L并在时间Tj，（3.1）π（Tj，Tj）时发电- cGl（Tj，Tj）- gGem（Tj，Tj）>0必须等待生产进行。很明显，当只有现货合约可用时，为什么（3.1）必须保持不变。让我们研究一下，如果市场上有远期和未来电力合同，为什么（3.1）也成立。

在任何交易时间，我∈ Ij，如果（3.2）π（ti，Tj），理性生产者可以签订短期电力远期合同，同时签订长期燃料和e任务远期合同- cGl（ti，Tj）- gGem（ti，Tj）>0。在交付时间Tj，该生产商有两种选择：o获得在交易时间tiandproduce Electric购买的燃料和排放证书的交付。在这种情况下，她观察到以下结果（3.3）cP（Tj）=∏（ti，Tj）- cGl（ti，Tj）- gGem（ti，Tj）。o不发电，而是关闭远期电力、燃料和排放合同。在这种情况下，她观察到以下结果（3.4）cP（Tj）=[π（ti，Tj）- π（Tj，Tj）]- c[Gl（ti，Tj）- Gl（Tj，Tj）]-g[Gem（ti，Tj）- 创业板（Tj，Tj）]。发电厂∈ Rp、L将在Tjif运行，且仅当（3.5）cP（Tj）>cP（Tj）时。通过对术语进行重新排序，很容易看出不等式（3.5）等同于不等式（3.1）。http://www.bmreports.com/Using根据上述推理，我们可以得出结论，为了确定烟囱，仅关注现场电气性、燃料和排放合同是不够的。通过考虑第2节中描述的启动成本和方程式。1，每个发电厂的利润最大化问题可以写成（3.6）maxW（2），W（4），W（6）Xj∈JcW（Tj）P（Tj）- W（4）（Tj）SUBJECT toW（4）（Tj）≥ W（2）（Tj）- W（2）（Tj）-1) ,J∈ J\\{1}（3.7）W（6）（Tj）≤ W（2）（Tj），J∈ J（3.8）W（k）（Tj）∈ [0, 1] ,J∈ J、 k∈ {2,4,6}（3.9）W（2）（Tj）∈ ZJ∈ J、 其中（3.11）cW（Tj）=W（2）（Tj）Wmin（Tj）+W（6）（Tj）Wmax（Tj）-Wmin（Tj）, J∈ Jand（3.12）`P（Tj）=∏（Tj，Tj）- cG（Tj，Tj）- gGem（Tj，Tj），J∈ J.注意，我们不必对变量W（4）（Tj）J施加完整性约束∈ J、 因为（3.10）和（3.7）都暗示了这一点。考虑被忽视的风险溢价、交易成本、维护成本等。

我们引入一个额外的常数m>0，并将其包含在（3.12）中，作为（3.13）(R)P（Tj）=∏（Tj，Tj）- cG（Tj，Tj）- gGem（Tj，Tj）- MJ∈ J.我们想知道问题（3.6）的最优解是如何依赖于参数c、g、m和s的*（Tj；c，g，m，s）表示问题（3.6）的最优生成。我们的任务是找到满足（3.14）minc、g、m、sXj的C、g、m和s∈JcW*（Tj；c，g，m，s）-~W（Tj）式中，W（Tj）表示观察到的电厂历史产量。优化问题是一个双层优化问题，其中（3.14）对应于外部优化问题，（3.6）对应于内部优化问题。传统上，这类问题很难解决，因为它们是高度非凸的，而寻找外部优化问题最优解的过程需要对内部整数规划优化问题进行许多昂贵的评估。然而，我们可以证明，在我们的例子中，一个困难的整数规划问题可以被一个可处理的线性规划问题代替，而不影响最优解。我们可以用下面的命题来说明问题（3.6）的最优解可以通过线性规划松弛来计算。提议3.1。问题（3.6）的约束矩阵（3.7）、（3.8）和（3.9）是完全非模的。证据让我们把不等式约束矩阵（3.7）和（3.8）写成（3.15）[AAA]W（2）W（6）W（4）≤ 0对于某些块矩阵s A、A和A，我们将首先证明矩阵[AA]是完全单模的。请注意，所有条目都是{-1, 0, 1}. 此外，每行正好包含两个非零条目。其中一个条目是1，另一个是-1.这些是矩阵[AA]为完全非模的充分条件。看到A=P是微不足道的我00对于一些适当大小的置换矩阵P和Q。

这意味着矩阵[AAA]是完全单模的。可以通过使用类似的参数来包含边界约束（3.9）。借助命题3.1，我们可以放松二元性约束，将问题（3.6）转化为线性规划问题（3.16）maxW（2），W（4），W（6）Pj∈JcW（Tj）P（Tj）- W（4）（Tj）ss。t、 W（4）（Tj）≥ W（2）（Tj）- W（2）（Tj）-1) , J∈ J\\{1}W（6）（Tj）≤ W（2）（Tj），J∈ JW（k）（Tj）∈ [0,1]，k∈ {2, 4, 6} , J∈ J、 在实践中，粒子群算法[22]和Gurobi[13]的组合被用来解决双层优化问题（3.16）。将粒子群算法应用于外部优化问题，古罗比算法应用于内部优化问题。对于每个发电厂，我们使用了从2012年1月1日至2013年1月1日期间获得的5000多个运输样品。3.2。英国电网。在本节中，我们将我们的模型应用于英国发电厂的整个系统。我们选择煤炭、天然气和石油发电厂，因为这些发电厂调整生产以适应需求的变化，因此有责任制定价格。核动力装置不必明确建模，因为它们的上升和下降约束非常严格，随着时间的推移，它们的产量几乎是恒定的。它们通常仅因维护原因而偏离最大产量。可再生能源和互连线没有明确建模，因为它们需要不同的处理，本文中没有涉及。在本节中，我们确定了所有j的需求D（Tj）∈ J as（3.17）D（Tj）：=Dact（Tj）- 普伦W（Tj）- Pinter（Tj）其中，Dact（Tj）表示英国电力系统的实际需求，Prenw（Tj）表示所有可再生能源的生产，包括风能、太阳能、生物质、水力和抽水蓄能，Pinter（Tj）表示通过互联网络流入英国电力系统的电力。

为了使这个模型在实践中有用，我们必须对这些术语进行建模，但这超出了本文的范围。我们的目标是利用2013年11月2日的可用信息计算电力现货价格。我们希望交货期为2013年4月4日00:00:00至2013年4月8日00:00:00。我们认为有两种类型的电力合同可用。第一个是一个月前的合同，交易日期为201317年3月15日：00:00，涵盖四天的交付。第二种是即期合同，要求立即交货，每半小时单独交易一次。我们使用2013年11月2日的未来煤炭、天然气和石油价格。由于历史需求预测不可用，我们使用了实际需求，这是文献中的标准做法。要在实践中使用该模型，可以使用Elexon网站上提供的需求预测来开发一种新方法。由于我们没有关于发电厂所有权的信息，我们假设只有一家生产商拥有连接到英国电网的所有发电厂，只有一家消费者负责满足最终用户的需求。实际上，市场参与者拥有更多关于所有权的信息，这些信息可以纳入模型。我们设定λk=10-7为所有人∈ P∪ C.生产者和消费者风险规避的影响在[20]中进行了彻底调查。如前一节所述，我们从2012年1月1日至2013年1月1日期间获得的5000个培训样本中估算了每个发电厂的参数c、g、m和s。为了鼓励纳入启动成本，我们首先调查了第2节a中所述模型的简化版本，忽略了star tup成本。图3.1显示了当所有启动成本设置为零时，我们模型的输出。

左侧的图描绘了计算出的燃煤和燃气发电厂之间的能量混合，而右侧的图描绘了实际观察到的能量混合。这两个图还包含我们的模型计算的现货价格和实际观察到的现货价格。每种燃料的计算产量和观测产量之间的差异如图F所示igurehttp://www.bmreports.com/2040 60 80 100 120 140 160 18001234x 104半小时需求20 40 60 80 100 120 140 160 1800204060801000价格煤炭（计算）天然气（计算）计算价格观察价格20 40 60 80 100 120 140 160 18001234x 104半小时需求20 40 60 80 100 120 160 1800204060801000价格煤炭（观察）天然气（观察）计算价格观察价格图3.1。在不包括启动成本（即设置为零）的情况下，比较计算出的电价和历史电价以及能源结构。0 20 40 60 100 120 140 160 180-2000-1500-1000-5000500100015002000煤误差气体误差图3.2。计算和观测的天然气和煤炭产量之间的差异。3.2. 我们可以看到，我们的模型非常精确地预测了能量组合。此外，该模型预测的电价日变化规律与实际观测的电价日变化规律相似。该模型正确地预测了高峰时段的电价高于高峰时段。此外，计算出的电价有两个每日峰值，几乎与历史观察到的电价同时出现。这些图表还揭示了我们模型的一些问题。首先，我们可以看到我们的模型低估了高峰时段的现货价格，并在高峰时段重新激活了现货价格。在[15]中也发现了类似的结果。其次，我们的模型没有捕捉到观察到的价格的两个峰值。