市场影响和投资者订单的生命周期

然后，用于估计1^η（k，k，k）的超阶数将除以k。因此，估计值的方差将粗略地乘以k！因此，这个过程不足以研究对多个解释变量的依赖性。下面描述的“直接回归”程序更合适。让我们指出，如果在前面描述的平均程序之后执行线性回归，回归质量的常用统计度量将不具有通常的意义。例如，“R”可能非常高，即使影响和解释变量之间的关系非常嘈杂（因为平均阶跃利用中心极限定理来抵消大部分“嘈杂”）。然而，这种平均方法对于绘制图表和获得定性结果是有用的。这将贯穿本文。直接回归。另一种方法是直接在等式（1）上建立一个明确的模型。假设我们想要确定幂律的参数，将市场影响与解释变量X=R联系起来，即元秩序的日常参与。这将导致（1）的以下参数化版本：(ω)PT（ω）=a·X（ω）γ+(ω)WT（ω）。（4） 只要我们再次假设外生价格的变动与ω足够独立，可以在收益空间中选择一个距离d（·，·）P并使用任何最小化方法获得“合适”的参数（a*, γ*):（a）*, γ*) = arg min（a，γ）Dd(ω)PT（ω），a·X（ω）γE（5）其中。I对应于在所有元订单集合上计算的相应数量的经验平均值。这种方法也将用于我们想要研究对多个解释变量的依赖性的情况。这种方法使用数据库中的所有点（而不是它们的平均版本），从而产生更准确的结果。

当然，对于上面介绍的平均法，它基本上依赖于元指令启动（开始时间）和外部市场波动之间的独立性(WT）。在这个假设下，让我们指出回归残差有一个非常简单的解释：它对应于它允许事后检验独立性假设。在下文中，我们将使用通常的立场或立场（这更适合处理厚尾巴和/或罕见但激烈的事件）。3临时市场影响3。1解释变量的选择临时市场影响主要从三个角度进行研究：o作为交易成本的主要来源。然后，可将获得的模型用于最优交易方案（参见[Almgren等人，2005a]、[Gathereal，2010]和[Lehalle and Dang，2010]以及与最优交易的联系参见[Almgren and Chriss，2000]、[Gathereal and Schied，2012]和[Bouchard等人，2011]），或被投资公司用来了解其交易成本（如参与投资公司的作者撰写的[Engle et al.，2012]、[Bershova and Rakhlin，2013]、[Brokmann et al.，2014]或[Mastromatteo et al.，2013]）它可以被视为价格发现的一个重要解释变量，通常由经济学家进行研究，比如凯尔[Kyle，1985]的开创性工作，或后来在[Hautsch and Huang，2012]或[Farmer et al.，2004]中的工作最后但并非最不重要的一点是，已经建立了统计工具，能够估计一次交易规模下的临时市场影响（见[Bacry and Muzy，2013]或[Eisler等人，2011]）。

在这些论文中，有时会讨论元序对这种“原子”序的隐含条件，但这不是他们的主要目标。这些研究的一个共同点是，规模为v（ω）的元指令ω的临时市场影响包括三个主要组成部分：o反映元指令大小的组成部分，通过反映交易证券理论手册中的交易量的某种东西来调整大小。每日参与率R（ω）或交易率R（ω）应捕获该组成部分的大部分动态在元订单期间，对基础价格的价值造成不确定性的组件。亚阶σ（ω）或买卖价差ψ（ω）期间的波动性是这方面的典型度量最后一个组件捕获由元顺序生成的信息泄漏，良好的代理是其持续时间T（ω）。让我们指出，所有作者都发现了这些组成部分及其相应解释变量之间的乘法关系，因此，在使用平均法的估计范围内，我们预期临时市场影响ηT（ω）与这些解释变量的对数呈线性相关。例如，图2的左图显示了公式（3）中定义的^ηX=Ras，与平均所有元顺序的每日参与率r相比Ohm（te）。它清楚地显示了R对影响的影响：日常参与率越高，影响越大。当用交易率r代替每日参与者时，也会发现同样的结果（见同一图表的右图）。05101520 25 30每日参与者6040200204060801000价格变动05101520 25 30交易率80604020020406080价格变动图2：估计的市场影响^ηX（如公式（3）所定义）作为每日参与者X=r（左）或交易率X=r（右）的函数。

每个点是X变量十分之一的平均值，虚线是25%和75%的分位数，显示市场波动的幅度。3.2数值结果为了研究临时市场影响及其对解释变量的依赖性，我们使用Ohm（te）数据库（见表1），并遵循第2.4节中描述的直接回归方法。作为一个例子，我们测试了日常参与X=R的依赖性，因为其他论文认为这是显著的。这意味着我们满足等式（4）：(ω)PT（ω）=a·R（ω）γ+(ω)WT（ω），并发现使用Ldistance的指数γ\'0.449和使用Ldistance的较低指数（约0.40）（见表2中的回归（R.1））。当使用两个距离的土地LCA时，我们得到了不同的估计，这一事实可以通过以下事实来解释：P和R的值偏大P、 Ldistance别无选择，只能通过将高值设置为γ来渲染此偏斜，而Ldistance更关注分布的中心。这种偏斜的根源可能来自信息效应，即两者之间的依赖 然而，我们没有足够的元素来总结这一点。一旦与给定解释变量X对应的幂指数如上所述进行了估计，就可以通过对Y本身的分位数上的残差进行平均来探索和显示任何其他解释变量Y的影响。我们将相关图表称为残差上的Y轨迹。图3的顶部（或底部）图显示了使用L（或L）距离的X=R每日参与回归残差上元序的持续时间Y=T的轨迹。坡度显然是负的。此外，人们可以在大约0.6天（相当于开业后6小时）左右注意到肿块。

我们从纽约股市开盘前一个小时，欧洲股市开盘后6个小时的宏观经济新闻中怀疑了这一点。在美国市场开放的情况下，波动性更高，市场秩序与市场走势之间的依赖性也可能更高。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0T1086420246每日参与的残差图3:X=R每日参与回归残差中持续时间Y=T的轨迹。顶部：使用Lmetric，底部：使用Lmetric。回归参数Coef。（log）Coef。（L2）Coef。（L1）（R.1）每日参与0.54 0.45 0.40（R.2）每日参与0.59 0.54 0.59持续时间-0.23-0.35-0.23（R.3）每日参与率0.44- -买卖价差0.28- -（R.4）每日参与率0.53- -波动率0.96- -（R.1）交易率0.43 0.33 0.43（R.2）交易率0.37 0.56 0.45持续时间0.15 0.24 0.23（R.3）交易率0.32- -买卖价差0.57- -（R.4）交易利率0.32- -波动率0.88- -表2：各种解释变量的临时市场影响第2.4节中描述的直接回归法算法。对于每一个集合，幂指数的估计都是使用Ldistance、Ldistance和正则对数回归给出的。有一条水平线- 当三个回归之间没有显著差异时。为了证实T的依赖性，我们对交易率X=r（而非每日参与率r）采用幂律：PT（ω）=a·r（ω）γ+(ω)我们发现对数回归、最小化和最小化的幂分别为0.43、0.33和0.42（见表2中的回归（R\'.1））。

该回归（见图4）残差上的Y=T轨迹显示出正斜率，证实了持续时间T可与日常参与或交易结合使用，以改善影响建模的方式。作为与其他学术研究的比较：o[Moro et al.，2009]使用买卖价差ψ作为日常参与（即回归（R.3））的前置因子，他们发现（对于日常参与率），在西班牙证券交易所执行的元订单的幂为0.44到0.48，在伦敦证券交易所执行的元订单的幂为0.64到0.72。我们发现ψ0.3比ψ更合适，并确定日常参与的幂为0.4[Waelbroeck and Gomes，2013]任意假设一个前置因子，即波动率σ和每日参与率的平方根律。表2的回归（R.4）符合线性效应不可约性，R的幂约为0.45（平方根定律对应于指数0.5）。[Bershova和Rakhlin，2013]使用波动率线性模型，幂为0.47。使用相同的进化前因子，[Almgren et al.，2005b]发现交易率残差的（更大）幂为0.6.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0T420246810图4：交易率X=r回归残差上的持续时间Y=T轨迹。顶部：使用Lmetric，底部：使用Lmetric。我们对其他解释变量进行了直接拟合，发现σ和ψ之间通常存在相关性。表2给出了第2.4节中描述的各种解释变量集的直接回归方法算法的结果。

对于每一组，使用Ldistance、Ldistance和正则对数回归给出幂指数估计。尽管我们的调查似乎证实了著名的平方根定律，根据该定律，临时市场影响是每日参与率平方根的函数（见表2中的（R.1），（R.2），（R.3），（R.4），然而，它表明，指数随用于指数的度量而变化（直接指数比对数指数低，而非对数对数指数低，甚至比对数指数低），影响形成中潜在的不对称状态。然而，我们的结果偏离了平方根定律，即我们通过γ\'0.25的1/Tγ因子清楚地确定了持续时间效应（见（R.2））。当交易过程过于机会主义时（尤其是当持续时间是交易过程中明显价格机会的函数时），元订单持续时间的这种影响可能很难衡量，这解释了为什么所有作者都没有注意到它。我们的数据库由具有更稳定基准（VWAP、PoV）的交易算法主导，我们能够捕捉到交易压力对价格形成的这种机械影响。使用每日参与率R的回归和使用交易率R’R/T的回归是一致的（尤其是通过直接回归而不是使用对数回归获得的回归，如前所述，这是有偏差的）；例如：（R.2）表示η\'√R/T0。25和（R’’2）读数η\'√r×T0。25（用于方向回归）。在参与评级者对临时市场影响的解释中加入波动性或买卖价差（见回归（R\'.3）和（R\'.4））不会改变其指数：η\'ψ1/2r1/3\'σr1/3，但会引起交易率指数R：η\'ψ0.3R0的微小变化。44\' σ√R

不确定这种差异是否普遍存在。尝试在回归中使用两个以上的变量并没有提供显著的关系。4短暂的市场影响曲线4。1与我们之前的许多其他实证研究一样，幂律前一节证实，v级订单的临时市场影响与vγ成正比（γ接近0.5）。因此，我们预计上半年执行（第一份v/2合同）的临时市场影响比下半年（最后一份v/2合同）的临时市场影响更重要。将这一论点推广到元序的任何部分，我们期望瞬态市场影响曲线是时间的凹函数。证实这一直觉的第一项实证研究来自莫罗等人（[Moro等人，2009]），最近，Bershova和Rakhlin的工作也证实了这一点（[Bershova和Rakhlin，2013]）。在这两种情况下，都发现了接近幂律的行为。让我们指出，[Toth et al.，2011b]的潜在订单簿模型可以被视为这一公认的程式化事实的可能定性解释。在这个模型中，只有当价格接近他们对价格的预期时，代理商才会下限价订单。因此，随着价格趋势的发展，越来越多的流动性被揭示出来，这导致了这种趋势的“放缓”。在本节中，我们使用Ohm（tr）数据库（见表2.3），并首次确认瞬态市场影响曲线的凹度。除了这个众所周知的程式化事实，我们还研究了瞬时市场影响曲线的曲率与执行持续时间之间的联系。让我们回顾一下，瞬时市场影响曲线对应于将市场影响曲线限制为时间t≤ T在实践中，我们遵循第2.4节的指南，并在第（2）节之后计算^ηs=h(ω)PsT（ω）iT=1。（6） 让我们回忆一下。

.这意味着，在对每个亚阶ω进行时间重新缩放后，将执行平均，以便所有持续时间都对应于T=1。所以函数η是重标时间s的函数（让我们回忆一下，在本文中，我们用字母s表示重标时间，而t代表物理时间）。我们在s中对这个估计进行了抽样∈ [0,1]在100个点上使用统一的采样网格。图5说明了这种计算，并显示了幂律行为^ηs∝ sγ（tr）（7）与γ（tr）=0.64根据对数回归拟合曲线，当s≤ 1（γ（tr）=0.68中的（tr）下标表示瞬态）。我们的经验发现与Moro等人（[Moro等人，2009]）一致，他们发现伦敦证券交易所（LSE）执行的元指令指数等于0.62，西班牙证券交易所（BME，Bolsas y Mercados Esp~anoles）执行的元指令指数等于0.71。4.2凹度和执行持续时间我们现在将研究元指令持续时间T对瞬态市场的影响使用冲击Ohm（tr）。为了避免其他解释变量的虚假影响，我们选择了与给定的日常参与范围相对应的元顺序子集∈ [1%，3%]，以这种方式选择31105元订单。我们已经检查过，对于不同的神经，这样获得的结果不会发生质的变化。按照第2.4节的平均方法（见等式（3），X（ω）=T（ω）），然后我们对不同持续时间间隔的功率γ（tr）进行比较，以检查与T的相关性。更准确地说，我们选择以下六个时间间隔（持续时间以分钟表示）：T∈ [3,15]，T∈ [15,30]，T∈ [30,60]，T∈ [60,90]，T∈ [90300]和T∈ [300510]，每个包含大约6000个元顺序。图6显示了这6组中每一组的短暂市场影响。

为了指出不同的区域，我们在每个这样获得的图上进行幂律拟合。幂律拟合是通过对数表示的线性回归获得的。为了测试我们结果的稳健性，我们使用BootstrapPressions随机抽取对应存储桶中80%可用元顺序的500倍（参见[Giné，1997]中有关bootstrap的参考文献）。表3给出了所获得的统计数据。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0重新标度时间024681012价格变动幂律拟合经验数据图5：由（6）定义的估计瞬时市场影响曲线^η；γ（tr）=0.64.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0重新标度时间0510152025价格变动经验数据幂律拟合（a）T∈ [3,15[，γ（tr）\'0.800.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0重标时间051015202530价格变动经验数据幂律拟合（b）T∈ [15,30[，γ（tr）\'0.660.0.20.4 0.6 0.8 1.0重新标度时间05101520价格变动经验数据幂律拟合（c）T∈ [30,60[，γ（tr）\'0.630.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0重标时间0246810121416价格变动经验数据幂律拟合（d）T∈ [60,90[，γ（tr）\'0.560.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0重标时间0246810价格移动经验数据幂律拟合（e）T∈ [90300[，γ（tr）\'0.540.0.20.40.6 0.8 1.0重新标度时间024681012价格变动经验数据（f）T∈ 它=[300+∞[图6：作为日常参与者的重整化时间s函数的估计瞬时市场影响∈ [1%，3%]以及不同的持续时间间隔。每个图表对应不同的持续时间间隔。在每种情况下，幂律都会导致γ（tr）的估计。有关γ（tr）相应分布的统计数据如表3所示。在（a）-（e）中，我们发现T越大，暂时性市场影响的曲率越大，暂时性市场影响越小。