市场影响和投资者订单的生命周期

对于很长的元指令（f），衰退似乎发生在市场秩序结束之前。我们观察到，在重整化时间s=t/t中考虑的瞬时市场影响是一个多区域过程。图6（从（a）到（e））的第一个图清楚地表明，对于每日参与率（正如wealready提到的，改变参与率区间不会影响结果），当ametaorder的持续时间减少时，集合名称执行时间平均γ（tr）Q5%Q25%Q25%Q75%Q95%TT=[3,15]0.800.760.780.800.820.85TT=[15,30]0.660.620.650.660.70TT=[30,60]0.620.580.620.66TT=[60,90]0.550.490.520.560.580.62TT=[90,300]0.540.540.540.540.620]的平均分位数分布（表0.620）和平均分位数分布参与率为R的元订单的瞬时市场影响估计指数γ（tr）∈ [1%, 3%]. 指数是在不同持续时间间隔条件下，通过对数回归进行估计的。T越大，瞬时市场影响的曲率越大，临时市场影响越小（见图6）元订单的瞬时市场影响增大，曲率减小，导致小持续时间内几乎呈线性的瞬时市场影响。因此，当执行得更快时，元顺序似乎具有更强、更线性的影响。这些结果相当直观：当元指令持续时间较短时，市场几乎没有时间“消化”它，从而产生强烈的线性影响（没有足够的时间放松）。然而，图6（e）似乎表明，在元序结束之前达到某种饱和。实际上，图6（f）令人惊讶地显示，当持续时间T变得非常大时，市场影响曲线在元指令结束之前开始衰减。

据我们所知，这是第一项指出这一阶段我们无法解释的影响的研究。元订单规模的市场预测。在这一段中，我们想研究在执行结束之前，市场是否对给定元订单的总规模有或没有精确的洞察（当然，除了元订单规模的无条件分布）。我们还记录了绝对时间t=sT内的瞬态市场影响的形状。为了做到这一点，我们比较了具有相同平均参与率˙ν=R/T的不同元订单的瞬时市场影响。有趣的是，检查具有相似˙ν但持续时间不同的两个亚级ω和ω是否具有相同的瞬态冲击，直到t≤ T∧ T.为此，我们创建了五组元顺序Ai（i=1，…，5），平均参与率相同˙v=R/T，但持续时间不同。详细说明：Ai=nω∈ Ohm（tr）：R（ω）∈ [2i-1R，2iR[和T（ω）∈ [2i-1T，2iT[o，（8），其中R=0.25，T=5秒。因此，所有选定的元顺序在一个很好的近似值中对应于相同的平均参与率˙v=R/T=0.05s-1.此外，将索引i增加1对应于双元顺序持续时间。对于每一组Ai，我们计算相应的瞬时市场影响（经过重新调整的时间）^η（i）s。Foreach i=1，4，图7显示了^η（i）与^η（i+1）2s的上半部分≤ 1.可以看到，在每个子图中，两条市场影响曲线非常接近，表明市场基本上没有预测相应元订单的规模。

让我们指出，当改变兰德/或T.5衰减市场影响曲线5时，也会得到同样的结果。在元执行阶段，市场的吸引力下降是由一个事实推动的：在元执行阶段，市场的吸引力下降是由一个较低的趋势推动的。执行后，如图1所示，预计会产生普遍影响。这是市场影响的衰退部分或放松。一些定性的解释可以是草图。例如，按照凯尔模型的连续版本[Kyle，1985]的精神，考虑整个市场影响周期（短暂、暂时和衰退阶段）：一个程式化的做市商在0到T之间定价，并在T之后以与0兼容的价格释放其累积库存。0.5 1.01.52.0重新调整时间0123456789价格变动霍克斯模型经验数据1经验数据2（a）和A0。0.5 1.01.52.0重新调整时间02468101214价格移动霍克斯模型经验数据2经验数据3（b）A和A0。0.5 1.01.52.0重新调整时间0246810121416价格变动霍克斯模型经验数据3经验数据4（c）A和A0。0 0.5 1.01.52.0重新标度时间0510152025价格变动霍克斯模型经验数据4经验数据5（d）A和图7：在每个子地块上，两条瞬态市场影响^η（i）沙^η（i+1）2 s曲线∈ 显示[0，1]。它们对应于两个持续时间间隔（一个是另一个的两倍，参见（8））。这两条曲线非常接近的事实表明，市场基本上没有预测到超订单的规模。左上（分别为右上）子图对应于i=1（分别为i=2），左下（分别为右下）子图对应于i=3（分别为i=4）。他通常冒着接受这个职位的风险。

另一种可能的解释是机械性的：如果订单以独立于元订单的恒定速率进行填充，元订单将首先消耗一侧的极限订单，推动价格向其方向移动，然后让订单在T处足够不平衡，以至于账簿两侧的对称和随机流动性消耗将实现机械衰减。它通常由潜在订单模型支持，如[Mastromatteo et al.，2013]中开发的模型。最后但并非最不重要的一点是，一个原子大小的碰撞加衰变模型（即，对于由亚阶生成的每个子阶，如[Farmer et al.，2013a]中所述）将在衰变未发生时以及下一个子阶生成时（这通常是幂律衰变的情况）；在T之后，“累积衰减”将自我表达，产生一个可观察到的反转。由于获取数据的难度非常高，现有的衰退元指令市场影响实证文献有限（[Moro等人，2009]，[Bershova and Rakhlin，2012]）。在第一项研究中，莫罗等人首次显示影响衰减到大约等于0.5的水平~ 最高点的0.7。在第二项研究中，Bershova和Rakhlin表明衰变是一个两个阶段的过程：缓慢的初始功率衰变，然后是更快的弛豫。在本节中，我们确认瞬态市场影响曲线是凸的，并且它似乎有一个缓慢的初始机制。5.2数值结果。为了有机会观察日内衰减，需要将数值研究限制在收盘前足够长的时间内。我们选择遵循[Moro et al.，2009]，并选择在收盘前结束的元顺序，即t（ω）+2T（ω）发生在收盘时间之前。

这与数据库完全对应Ohm（d）见表1。按照与上一节相同的思路，我们使用平均法计算^ηSFOR≤ 2对于不同的持续时间间隔（如前所述，s对应于重新缩放的时间，因此s=2对应于物理时间t=2T）。图8显示了对图6中使用的前四个区间的此类估计（瞬态和市场影响衰减曲线）。因此，图8（a-d）中的瞬态部分分别与图6（a-d）中显示的曲线完全相同。0.0 0.5 1.01.52.0重新缩放时间01234567价格移动经验数据幂律拟合transientHawkes拟合（a）0.0 0 0.5 1.01.52.0重新缩放时间02468101214价格移动经验数据幂律拟合transientHawkes拟合（b）0.0.5 1.01.52.0重新缩放时间0510152025价格移动经验数据幂律拟合transientHawkes拟合的幂律拟合（c）0.0 0.5 1.01.52.0重新标度时间0510152025价格变动经验数据transientHawkes拟合的幂律拟合（d）图8：瞬态和市场影响衰减曲线估计∈ [1%，3%]和不同的范围（与图6（a-d）相同）。图中显示了瞬态部分的幂律系数。还显示了与HIM模型相匹配（参见第6节）。（a） T∈ [3,15[，（b）T∈ [15,30[，（c）T∈ [30,60]和（d）T∈ [60,90]图9显示了相应市场影响衰减的对数曲线图。更准确地说，为了研究衰减率（朝向永久影响值），我们显示了^ηs的对数曲线图-^ηs=2as函数-1个给s∈]1, 2]. 它们清楚地表明，衰变在一开始（即，在元序执行结束之后）要慢得多。我们已经检查过，改变每日参与率不会对结果产生质的影响。

这一结果证实了[Bershova和Rakhlin，2013]和[Waelbroeck和Gomes，2013]之前获得的结果。6霍克斯碰撞模型玩具模型中的瞬态和衰变6。1基于霍克斯的微观结构霍克斯过程模型已被证明能够成功地建模高频金融时间序列（见[Bacry等人，2012年，Bouchaud等人，2004年，Bacry and Muzy，2013年，休利特，2006年]）和最优交易模式（见[Alfonsi and Blanc，2014年]）。霍克斯过程是具有随机强度的点过程，其强度取决于过程的过去。根据[Bacry et al.，2012]，我们考虑以下价格模型。让Pt代表资产的高频价格（例如，最后交易价格、中间价格等）。为了简单起见，我们不会考虑价格上涨的幅度，而只考虑价格上涨的幅度为1。设（J+t，J）-t） 是分别代表Pt向上和向下跳跃的点过程。Pt=J+t- J-t、 （9）10-1标度时间-110-210-1100价格变动经验数据（a）10-1标度时间-1100价格变动经验数据（b）10-1标度时间-1100价格变动经验数据（c）10-1标度时间-1100价格变动经验数据（d）图9：市场影响衰减曲线估计的对数曲线图。更准确地说，它显示了^ηs的对数图- ^ηs=2是s的函数-1个给s∈]1,2]，代表R∈ [1%，3%]和几个T范围（与图6（a-d）相同）。它表明，衰变在一开始就比较慢（对于接近1的s）。（a） T∈ [3,15[，（b）T∈ [15,30[，（c）T∈ [30,60]和（d）T∈ [60,90[.设λ+和λ-（J+t，J）的各自强度-t） 。众所周知，在微观结构层面上，价格是高度均值回复的（至少对于大型资产而言）。

已经证明（[Bacry et al.，2012]）这种平均回归特性可以通过二维Hawkes过程很好地模拟，该过程仅使用单个“交叉”核φ（t）：λ+t=u+φ？流行音乐播音员-沙和λ-t=u+ν？dJ+s（10）式中，φ（t）是因果函数（即由R+支持），正函数，在哪里？代表卷积积积φ？dJt=Rt-∞~n（t）-s） dJ（t）。从最后两个方程中可以清楚地看出，平均回复特性：上升（或下降）越多，强度λ越大-t（分别为λ+t）将为。||||| | | | |<1给出了价格增长和稳定强度的标准，其中| |||表示L（R）范数（对于霍克斯过程的完整数学研究，请参见[Daley and Vere Jones，2003]）。6.2元订单市场影响的霍克斯影响模型（HIM）我们对从时间t开始的元订单的影响进行建模，在时间t+t结束，对应于购买订单的持续流动，交易率由[t，t+t]支持（仅当t<[t，t+t]时为rt，0]），通过强度的扰动。为了简单起见，我们将遵循上述微观结构模型，只考虑市场的平均反转反应（例如，[Bacry and Muzy，2013]，[Da Fonseca and Zaatour，2014]）。让我们指出，如果人们对精确模拟微观结构感兴趣，这显然不是一个现实的假设。然而，这不是我们的目标。在本节中，我们想建立一个结构模型，以解释市场影响曲线的主要动态。与Bouchaud[Bouchaud等人，2004年]、Gathereal[Gathereal，2010年]一样，销售元订单的影响可以使用完全相同的原则建模[Bacry and Muzy，2013年]，我们将建立一个线性模型，因为元订单的影响只是其子订单影响的总和。他是模特。

该模型将（10）替换为两个方程：λ+t=u+~n？流行音乐播音员-t+Zttf（rs）g+（s）- t） ds与λ-t=u+ν？dJ+t+Zttf（rs）g-（s）- t） ds，（11）其中f（rs）ds（f（0）=0）编码批量RSD购买订单的微小影响。f函数对应于瞬时冲击函数和g+和g-是对内核函数的影响。正如在[Potters and Bouchaud，2003]中发现的经验，以及我们之前的其他作者所使用的（[Gathereal，2010，Bouchaud et al.，2004]），我们假设市场影响可以以因子形式分离：一个取决于量（或量/时间），另一个只取决于时间。冲动的HIM模型：内核的特殊选择。继[Bacry and Muzy，2013]之后，我们有理由认为，单笔采购订单的唯一“向上”影响是瞬时的，即相应订单吃掉了整个第一个限额（在这种情况下，价格会瞬时上涨），或者没有（在这种情况下，限价订单会填补缺失的数量）。这种情况对应于考虑g+是“纯”脉冲的，即g+（t）=g+i（t）=δ（t），（12），其中δ（t）代表狄拉克分布。至于“向下”部分，我们将认为市场对新到订单的反应就像它触发了向上的跳跃。这样做会导致选择-（t） =g-i（t）=C|（t）||||，（13）其中C>0是一个非常直观的参数，可以量化反向反应（即冲击衰减）和“羊群”反应（即冲击放大）的比率。事实上，羊群对动物性购买订单的反应形式是f（rt）| | g+i | | |=f（rt）| |δ| | |=f（rt）（表示不稳定的交易率），而对同一订单的逆向反应是f（rt）| |g-i | |=f（rt）| | | | | | | | | | | |=cf（rt）。

因此，一个坦率的回答是3个利益案例（参见命题1的（18）中的分析表达式）：oC=0：无反向反应；我们预计元指令会对价格产生永久性影响，oC=1：逆向反应与羊群反应一样“强烈”（就规范而言）。因此，我们期望这两种情况会逐渐得到补偿，也就是说，我们期望元序对价格的永久影响为0（见命题1的等式（18），以获得确认），oC∈]0，1[：反向反应不是零，但严格小于羊群反应。因此，脉冲HIM模型对应于方程λ+t=u+ν？dJ-t+f（rt）和λ-t=u+ν？dJ+t+CZttf（rs）~n（s）- t） ds，（14），其中C是一个正常数，控制市场的反向和羊群反应。6.3 HIM内的市场影响曲线根据我们对市场影响的定义：观察到的价格变动与没有这种特定顺序的情况之间的差异，在HIM内，元顺序（从时间t开始）的市场影响写道：ηt=E[Pt]，T≥ t、 （15）然后，我们可以证明（见附录A）命题1。（瞬态、衰减曲线和永久效应）在HIM模型（11）的框架内≥ t（是元序的开始时间），有：ηt=Z∞tf（rs）G（t）- （s）- （κ？G）（t）- （s）ds，（16）式中oG（t）=Rt（G+（u）- G-（u） ）duoκ=P∞n=1(-1） n-1а（？n），其中а（？1）=а和а（？n）=а（？n-1)? φ.在脉冲HIM模型（14）的情况下，该公式给出ηt=Zttf（rs）HC~n（t- s） ds，t≥ t、 （17）式中，HCД（t）=1- （1+C/| | | | | |）RtκD。此外，在恒定速率策略的情况下（即rt=r，T∈[t，t+t]和rt=0），元序对价格的永久影响为η∞= 极限→+∞ηt=f（r）T1- C1+|||||（18）让我们指出一些最近的实证结果（[Bacry and Muzy，2012]和[S.J。

Hardiman和Bouchaud，2013]）似乎表明霍克斯核作为幂律衰减。这两项研究都发现了时间间隔内的指数[-1.5, -1]. 以下推论表明，在脉冲HIM模型的框架内，以及在恒定利率策略的情况下，如果魟是幂律，那么市场影响曲线将以幂律的形式逐渐衰减（达到永久影响的极限），指数与魟的指数相关。更准确地说：推论1。在脉冲HIM模型的框架内，让我们考虑一个恒定速率策略，即rt=r，T∈ [t，t+t]和rt=0，否则。假设ψ是这样的≥ ~n（？2）和K>0，极限→∞~n（t）t-b=K，带b∈] - 2.-1[.然后，市场影响曲线衰减为永久市场影响η∞渐近为指数为b+1的幂律，即inf（γ，：Z）∞（ηt）- η∞)T-γ-1dt<∞)= b+1。（19） 附录A.6.4脉冲HIM模型的定性理解中可以找到这一推论的证据。人们可以定性地理解脉冲HIM模型，尤其是C的含义。假设一个理想化的市场，其中元指令只针对一个做市商和潜在的噪声做市商进行交易（即没有其他元指令），该脉冲HIM模型可以被视为建模做市商库存i=λ+- λ-. 该做市商接受在自己的风险限额下向元指令提供流动性。考虑到他的风险预算，他使用回溯测试或经验来调整他接受的元订单交互水平（简而言之：他的报价到中间价的距离，以及他用来释放风险、停止与市场论坛的任何交互的库存阈值）。