购买定期人寿保险以在消费时达到遗赠目标

我们在没有证据的情况下陈述验证引理，因为它的证据与文献中的其他证据相似；例如，参见施密德利（2002，定理1）、普罗米斯洛和杨（2005，定理2.1）或王和杨（2012，定理3.1和推论3.1）。首先，对于π∈ 研发≥ 0，通过对测试函数f的作用定义微分算子Lπ，Db，其定义源自（2.1）中的财富动态：Lπ，Df=（rw+（u- r） π- C- hd）fw+σπfw w- λF- 1{w+D≥b}.（2.4）引理2.1。设Φ=Φ（w）为C（[0，ws]）函数，其中Φw>0且Φw<0 in（0，ws）。假设在满足条件下maxπ，D≥0Lπ，DΦ（w）=0，Φ（0）=0，Φ（ws）=1。（2.5）然后，在[0，ws]上，φ=Φ，投资于风险资产的最佳金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσΦw（w）*t） Φw（w）*t） ，（2.6）其中W*这是时间t的最优控制财富，以及瞬时寿险的最优金额d*t=（b）- W*t） 1{wb≤W*T≤min（ws，b）}，（2.7），其中wb=inf{w≥ 0 : λ - h（b）- w） Φw（w）≥ 0} ∧ b、 （2.8）备注2.4。请注意，在任何时刻购买人寿保险的最佳金额为0 orb- w、 如（2.7）所述。如果c>rb，那么安全级别CR>b，并且当b≤ 因此，我们可以将（2.5）改写为λΦ - 1{w≥ wb}=rw- C- h（b）- w） 1{wb≤W≤min（ws，b）}Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦw,Φ（0）=0，Φ（ws）=1。（2.9）备注2.5。最大化实现遗赠目标的概率的问题与财富w、遗赠目标b和消费率c共同衡量。具体来说，如果我们写φ=φ（w；b，c），wb=wb（b，c）和π*= π*（w；b，c）表示φ和最优策略对w，b和c的依赖性，则以下关系成立。对于任何常数k>0，φ（kw；kb，kc）=φ（w；b，c），（2.10）wb（kb，kc）=kwb（b，c），（2.11）和π*（kw；kb，kc）=kπ*（w；b，c）。

（2.12）读者将在第3节至第5节的解决方案中观察这些关系。因为这个比例，我们可以设置，比如，b=1，求φ，wb和π*当b=1时，得到更一般的量，如下所示：φ（w；b，c）=φ（w/b；1，c/b），wb（b，c）=b wb（1，c）和π*（w；b，c）=bπ*（w/b；1，c/b）。或者，我们可以设置c=1，并进行类似的操作。我们选择s et b=1或c=1，因为我们想允许b→ 0，并观察到该解接近于使终生破产概率最小化的解，我们希望保持c的一般性，以便将最优投资策略与c起作用的其他最优投资策略进行比较。此外，设置b=1或c=1不会简化数学分析，只会删除一个参数。备注2.6。Bayraktar和Young（2009）考虑了在市场上没有人寿保险的情况下，将死亡时的短缺最小化的问题；他们发现，风险资产的最佳投资额要大于最大限度地减少寿命短缺时的最佳投资额。如果我们在最大限度地减少Ew时向市场添加人寿保险[（b- Wτd∧τ） +]（同样，在游戏结束时，如果财富达到0，或者相当于，0是财富过程的吸收状态），那么因为人寿保险的价格和短缺目标在死亡福利的大小上是（分段）线性的，如果购买任何金额的人寿保险都是最优的，那么购买b将是最优的- W

此外，我们认为相应的值函数V将是递减的和凸的；如果是这样的话，对于wb=inf{w，最佳人寿保险购买策略将由（2.7）给出≥ 0:λ+h Vw（w）≥ 0} ∧ b、 V将解决以下BVP问题：λ（V）- （b）- w） +）=（rw- c） 最小+πVw(u - r） πVw+σπVw w- （b）- w） （λ+hVw）1{wb≤W≤min（ws，b）}，V（0）=b，V（ws）=0。因此，尽管V衡量的是缺口的大小，而不是是否存在缺口，但最优保险购买策略的形式与本文所解决的b目标问题的形式相同。在接下来的章节中，我们使用引理2.1来计算φ。解决方案取决于c=0，0<c≤ rb，或者c>rb，所以我们在接下来的三节中将问题分为这三种情况。具体地说，在第3节中，我们考虑c=0的情况，并明确确定φ。在第4和第5节中，我们考虑了0<c的情况≤ rb和c>rb，并通过凸Legendre变换（Bayraktar和Young（2007，2015）中使用的一种技术）来表示φ，除了第4.1节中的特殊情况，我们可以显式地写出φ。3.对于c=0的情况，Bayraktar等人（2014年，第3.1节）计算了在c=0的情况下，在市场上没有风险资产的情况下，达到遗赠目标的最大概率；让我们注意一下这种确定性情况下的最大可能性。在这项工作中，我们发现如果≥ λ、 然后，个人在财富达到安全水平ws=hbr+h之前不会购买保险。

在另一个极端，如果r+h≤ λ、 然后，对于所有级别的财富，个人购买b的定期人寿保险-直到死亡或毁灭，因为保险足够便宜，无风险回报相对于风险率足够低。否则，如果r<λ<r+h，那么对于小于某个值的财富（w*在那篇论文中），个人购买了长期的生命保险- 直到死亡或毁灭，而财富大于*, 直到她的财富达到安全水平，她才买保险。我们证明了φdequalsφd（w）=1.-1.-wwsλr+h，如果0≤ w<w*,wwsλr，如果w*≤ W≤ ws=hbr+h，（3.1），其中w*= 0如果r≥ λ; 否则，如果r<λ，0<w*< Ws是使φd连续的唯一值。在（3.1）中，1-1.-wwsλr+his如果个人购买b的定期人寿保险，则达到遗赠目标的概率- 直到她死去或毁灭wwsλris如果个人在财富达到安全水平之前不购买保险，则达到B目标的概率。当没有风险资产时，个人在λ>r时以较低的财富水平购买人寿保险，因为她的财富通过储蓄达到安全水平的概率相对于她的死亡概率太小。当金融市场包含风险资产时，购买定期人寿保险的相应策略就会颠倒过来。具体而言，对于低于购买级别wb的财富（“b”代表购买），个人不购买人寿保险，而对于高于购买级别wb的财富，她购买b保险- W

由于风险资产的存在，当财富较低时，个人希望尽可能不受限制地保持财富，以投资于风险资产，从而达到购买水平。在无风险资产的情况下，只有一个不确定性，即死亡时间，因此个体本质上比较了存活足够长时间以达到安全水平的概率（不购买保险）和在达到0之前死亡的概率（购买保险）。当市场上有arisky资产时，就会有额外的不确定性，即投资回报的不确定性，个人会在这种不确定性上赌博，以帮助实现自己的遗赠目标。回想一下，我们观察到一个类似的现象，即最大化终生消费的预期效用加上死亡时财富的效用。Pliska和Ye（2007）在其金融市场中没有风险资产，购买保险的最佳策略随着财富的增加而减少。遗产目标设定中的类似情况是，当没有风险资产且r<λ<r+h时，个人仅在财富足够小时购买保险。相比之下，Richard（1975）在h is金融市场中包含了风险集合，购买保险的最佳策略随着财富的增加而增加。遗产目标设定中的类似情况是，当存在风险资产时，当财富足够大时，个人会购买保险。在下面的建议中，我们提出φ和相应的购买人寿保险和投资风险资产的最优策略。我们省略了这个证明，因为它是引理2.1的直接应用。定理3.1。

如果c=0，达到遗赠目标的最大概率等于φ（w）=p（1）-q）p-Qwwbq、 如果0≤ w<wb，1-q（p-1） p-Qws-wws-wbp、 如果wb≤ W≤ ws=hbr+h，（3.2），其中q=2rh（r+λ+m）-p（r+λ+m）- 4rλi∈ （0,1），（3.3）p=2（r+h）h（r+h+λ+m）+p（r+h+λ+m）- 4（r+h）λi>1，（3.4）m=u - rσ, （3.5）和wb=1- qp- qws∈ （0，ws）。（3.6）当财富等于w时，瞬时定期人寿保险的最佳金额等于D*（w） =（b）- w） 1{wb≤W≤ws}，（3.7）且投资于风险资产的最佳金额等于π*（w）=u-rσw1-q、 如果0<w<wb，u-rσws-可湿性粉剂-1，如果wb≤ W≤ ws。（3.8）我们给出了定理3.1的以下推论，其中我们给出了对大于WB的财富进行最优控制的过程，并观察到财富永远不会达到安全水平，也不会发生WSD。推论3.2。如果c=0，则最优控制财富过程遵循动态CSDW*t=W*thr+2m1-Qdt+u-rσ1-qdBti，如果W*t<wb（ws）- W*t） h2mp-1.- （r+h）dt+u-rσp-1dBti，如果W*t> wb。因此，0<W*几乎可以肯定，尽管如此≥ 0，如果W=W∈ （0，ws）。备注3.1。最优控制的财富永远不会达到安全水平，因为- W*财富在ws附近的几何布朗运动。Young（2004）观察到，在消费率不变的情况下，当最小化终生破产的概率时，最优控制财富也有类似的行为。事实上，当财富介于WB和WSB之间时，投资策略与最小化终身破产概率时的投资策略非常相似，因为随着财富增加到安全水平，这两种策略都会线性地向零递减。此外，请注意，在最佳投资和购买人寿保险时不会发生破产，因为W*b在0附近像几何布朗运动一样运动。备注3.2。

随着危险率λ增加到∞, 可以看出购买水平下降到0。这种单调性是有道理的，因为随着患者死亡的可能性增加，她会更愿意购买固定保费率的保险。此外，作为λ→ ∞, 个人很可能在“下一秒”死亡，因此实现遗赠目标的唯一途径是购买由wb支持的人寿保险→ 0.4. 0<c的情况≤ RB当消费率足够大，人寿保险的保费率足够低时，最好购买b的人寿保险- w代表所有0≤ W≤ ws（即wb=0），我们有φ的显式表达式，如定理3.1所示。我们在第4.1节中介绍了这种情况。否则，如果wb>0，我们就不能显式地写φ。然而，我们可以通过使用勒让德变换来半明确地写出它，从而获得φ的ansatz；有关这项技术的更多细节，请参见Bayraktar和Young（2007年、2015年）。4.1在所有财富水平购买人寿保险当消费率足够大且保费率足够低时，个人购买所有财富水平的人寿保险是最佳选择。因此，我们可以明确地解决最大化问题；见下文第4.2节。首先，我们给出了定理4.2中使用的下列引理。引理的证明很简单，所以我们省略了它。引理4.1。如果h≤rr+mλ，然后是C≤ rb，其中由C定义的顺式=hb（r+h）pλ- 1.. （4.1）定理4.2。如果h≤rr+mλ和如果C≤ C≤ rb，其中C≤ rb在（4.1）中给出，那么达到遗赠目标的最大概率φ等于φ（w）=1-1.-wwsp、 0≤ W≤ ws=c+hbr+h，（4.2），其中p在（3.4）中给出。当财富等于w∈ （0，ws]，即期人寿保险的最佳金额等于*（w） =b- w、 （4.3）风险资产的最佳投资金额等于π*（w） =u- rσws- 可湿性粉剂- 1.

（4.4）证据。我们用引理2.1来证明这个命题。因为p>1，所以（4.2）中的函数φw>0，φw<0。它清楚地满足了（2.5）的边界条件，可以证明它满足（2.5）中的微分方程，D=b- w、 如（2.8）所示，to=b- w是最优的，我们必须证明λ- h（b）- w） φw（w）≥ 0，为所有人0≤ W≤ ws，或相当于λ- h（b）- w） pws1.-wwsP-1.≥ 0.（4.5）当且仅当ifc时，不等式（4.5）在w=0时成立≥ C.此外，不平等的左侧（4.5）相对于w增加；因此，如果C≤ C≤ rb，然后（4.5）保持[0，ws]。最后，根据（2.6）和（4.2）得出（4.4）中的最优投资策略。备注4.1。乍一看，似乎在消费量较大且财富接近于零时购买人寿保险比在财富接近于零时不购买人寿保险更有可能导致破产。然而，关键是相对于死亡的时间来说，保险是便宜的≤rr+mλ。回想一下，只有当个人死亡时的财富至少等于b，那么如果消费率足够高（C），才能赢得游戏≤ C≤ rb），对财富的负面拖累-c意味着她最好在所有财富水平上购买人寿保险，而不是等到财富达到更高水平后再购买人寿保险。备注4.2。从（4.4）中，我们推断出滚动3.2中最优控制财富的第二个表达式也适用于所有W*t> 0，当C≤ C≤ rb。因此，ws- W*财富在ws附近会像几何布朗运动一样波动，所以财富永远不会达到ws的安全水平。4.2只有当财富足够大时才购买人寿保险≤ rb和c<c，在（4.1）中，只有当健康水平大于某个正水平，即wb>0时，才购买人寿保险是最佳的，就像c=0的情况一样。

为了得到φ的anansatz，我们（1）假设φ用wb>0、φw>0和φw<0求解（2.9），（2）形式确定φ的凸Legendre变换并确定其自由边界问题，（3）求解这个双重自由边界问题，以及（4）计算该解的凹Legendre变换。Bayraktarand-Young（2007年，第4.1节）遵循这些步骤，以最小化黑市中最小财富的非递增、非负函数的预期。此外，Bayraktar和Young（2015）在最大限度地提高在市场上没有人寿保险的情况下实现遗赠目标的概率时，执行了步骤（3）和（4）。它们包括这些步骤，因为当0<c<rb时，凸Legendretransform是最优停止问题的值函数。我们省略了步骤（1）-（4）的细节，因为它们与Bayraktar and Young（2007年，第4.1节）中的步骤类似。相反，在下面的定理中，我们给出了φthusobtained的候选者，并直接验证它满足引理2.1的条件。定理4.3。如果0<c≤ rb，如果c<c，则达到遗赠目标的最大概率为φ（w）=cr（α）-1)(1-α)α-αh-yyα+yyαiy，如果0≤ w<wb=b-λhyb，1-λhpws-wbb-wbws-wws-wbp、 如果wb≤ W≤ ws=c+hbr+h，（4.6），其中β=2mh（r+h- λ+m）+p（r+h）- λ+m）+4mλi>α，α=2mh（r- λ+m）+p（r- λ+m）+4mλi>1，α=2mh（r- λ+m）-p（r）- λ+m）+4mλi<0，（4.7），p=ββ-1和m分别在（3.4）和（3.5）中给出。参数yb>0由λhyb=b+cr给出α(1 - α)α- αyα-1b0+α（α- 1)α- αyα-1b0- 1., （4.8）其中yb0∈ （0,1）唯一地α(1 - α)(β- α)α- αyα-1b0+α（α- 1)(β- α)α- αyα-1b0= (β- 1)铬- ws, （4.9）参数y>yb由y=yb0给出。（4.10）在（4.6）的第一个表达式中，对于给定的w∈ [0，wb），y∈ （yb，y]α（1）- α)α- αyyα-1+α(α- 1)α- αyyα-1#=cr- W

（4.11）当财富等于w∈ （0，ws]，瞬时定期人寿保险的最佳金额等于*（w） =（b）- w） 1{wb≤W≤ws}，（4.12）且投资于风险资产的最佳金额等于π*（w）=u-rσcr（α）-1)(1-α)α-ααyyα-1.- αyyα-1., 如果0<w<wb，u-rσws-可湿性粉剂-1，如果wb≤ W≤ ws。（4.13）证据。首先，请注意存在唯一的解决方案yb0∈ （4.9）中的（0,1）。实际上，（4.9）的左侧相对于yb0增加，当yb0接近0+时，（4.9）的左侧接近-∞. 当nyb0=1时，左侧变为β-r+mm,当且仅当c小于hbm（r+h）p时，它大于右侧- （r+h+m），等于C。因此，由于C<C，在（4.9）的（0,1）中存在唯一解。其次，我们证明了yb>0。很容易证明Yb0随着c的增加而增加，而（4.8）的右边随着c的增加而增加。所以，证明（4.8）的右边和c一样是正的就足够了→ 0+. 从（4.9）中，我们推断出→0+crα（α- 1)(β- α)α- αyα-1b0=-(β- 1） hbr+h。因此，（4.8）右侧的极限为c→ 0+，等于b-β- 1β- αhbr+h>0。第三，我们证明了wb定义为wb=b-λhybis阳性。根据yb0，我们写ewb=cr1.-α(1 - α)α- αyα-1b0-α(α- 1)α- αyα-1b0, （4.14）方括号中的数量随着c的增加而减少。我们有两种情况需要考虑h≤rr+mλ和h>rr+mλ。如果h≤rr+mλ，然后是C≤ rb，这就足以证明wb≥ 从上面的讨论中，我们知道如果c=c，那么yb0=1；因此，（4.14）给予SWBc=c=0。如果h>rr+mλ，那么C>rb，所以当C=rb时，wb>0就足够了。如果c=rb，则为Yb0=-α(α- 1)(β- α)α(1 - α)(β- α)α-α、 和（4.14）giveswbc=rb=cr1.-α(1 - α)β- α1.-αα-α-α(α- 1)β- αα-1α-α,随着h的增加而增加，因为β随着h的增加而增加。因此，这足以表明wbc=rb≥ 当nh=rr+mλ时为0。如果h=rr+mλ，那么rb=C，wbc=rb=0。第四，我们证明了wb<ws。