购买定期人寿保险以在消费时达到遗赠目标

从（4.9）和（4.14）中，我们推断wb<wsif且仅当α（1）- α)(β- α)α- αyα-1b0+α（α- 1)(β- α)α- αyα-1b0<α（1- α)α- αyα-1b0+α（α- 1)α- αyα-1b0，相当于αyα-1b0<αyα-1b0之所以成立，是因为α<0<1<a。最后，我们使用引理2.1证明（4.6）中的表达式等于达到遗赠目标的最大概率。当w=0时，（4.11）意味着y=y，因此（4.6）中的第一个表达式等于0。显然，当w=ws时，（4.6）中的第二个表达式等于1。为了0≤ w<wb，φw（w）=y>0，（4.15）和φw（w）=ycr（α- 1)(1 - α)α- α\"-αyyα-1+ αyyα-1#!-1< 0. （4.16）使用（4.15）和（4.16），可以证明（4.6）中的第一个表达式等于（2.9）中的微分方程。可以直接看出，（4.6）中的第二个表达式也满足（2.9）中（wb，ws）的微分方程，其中φw>0，φw<0。我们接下来证明（4.6）中给出的φ是Cat w=wb。为此，请注意，当w=wb时，（4.11）的解为y=yb；从φ（wb，w）开始-) = 根据（4.6）中的第二个表达式，φw（wb+）=λhb- wb=yb。接下来，从（4.16）开始，φw（wb）-) = ybcr（α）- 1)(1 - α)α- α-αyα-1b0+αyα-1b0-（4.6）中的第二个表达式给出φw（wb+）=-λhp- 1（b）- wb）（ws）- wb）=-ybp- 1ws- wb。φw（wb）这些表达式的等式-) 取代wbvia（4.14）后，φw（wb+）从（4.9）开始。接下来，根据（2.9）中的微分方程，λφ（wb-) = （rwb）- c） φw（wb）- mφw（wb）φw w（wb），和λφ（wb+）=（rwb- c） φw（wb）- mφw（wb）φw（wb）+（λ）- h（b）- wb）φw（wb））。从φw（wb）=yb到wb=b-λhyb，我们推导出φ（wb-) = φ（wb+）。因此，我们已经证明φ是Cat w=wb。

此外，我们已经证明（4.6）中给出的表达式满足引理2.1的条件，因此等于达到遗赠目标的最大概率。（4.12）和（4.13）中的最优策略分别来自（2.6）和（2.7）。备注4.3。当不购买人寿保险是最优的，即当0<w<wb时，那么（4.13）中风险资产的最优投资金额与遗赠目标b和保险费率h无关，这是一个令人惊讶的结果。的确，（4.11）的解yy与b和d h无关；因此，（4.13）中的第一个表达式独立于b和h。此外，请注意，当c=0时，这种独立性保持不变；参见定理3.1中的（3.8）。此外，我们将在命题6.4中看到，当0<w<wb，π*（w） 与市场上没有人寿保险时投资于风险资产的金额相同。因此，有人可能会这样解释：当0<w<wb时，个人正在投资以获得比当前财富更高的任何财富水平。当你的生活不受限制时，也就是说，当≤ W≤ （4.13）中的最优投资策略与定理4.2中（4.4）给出的最优投资策略一致。此外，请注意，（2.10）到（2.12）之间的关系适用于定理4.3中的解，正如预期的那样。备注4.4。从π的表达式*（w） 在（4.13）中，当wb≤ W≤ 在推论3.2中，当W*t> 当0<c时，WB也保持不变≤ rb。因此，财富永远不会达到安全水平。我们希望WB从1单调减少-qp-因为如果h≤rr+mλ，然后wbc=c=0。然而，以下推论表明，随着c的增加，wb先增加后减少，这是一个令人惊讶的结果。推论4.4。假设h≤rr+mλ，这意味着C≤ rb。

随着c从0增加到c，购买水平B首先从（3.6）中给出的表达式增加，然后下降到0。此外，如果h>rr+mλ，则购买水平WBC在c=0+时增加。证据通过区别（4.14）关于c，并通过替换yb0c、 通过对c的微分（4.9），我们得到wbc=r1.-α(1 - α)α- αyα-1b0-α(α- 1)α- αyα-1b0- (β- 1） hbc（r+h）αyα-1b0- αyα-1b0α（β）- α） yα-1b0- α(β- α） yα-10。取代（β）后- 1） hbc（r+h）由（4.9）和简化得到wbC∝ αrr+hβ- α+hr+hy1-αb0- αrr+hβ- α+hr+hy1-αb0+α（α- α).（4.17）定义y的函数k∈ （0,1）位于（4.17）的右侧。作为c→ 0+，yb0→ 0+和石灰→0+k（y）=+∞. 作为c→ C-, wb→ 0+，yb0→ 1.-, 安德利米→1.-k（y）∝ mβ- （r+h+m）<0。k的导数与tok′（y）成正比∝ α(1 - α)rr+hβ- α+hr+hyα-α+ α(α- 1)rr+hβ- α+hr+h,这对所有人来说都是负面的∈ （0，1）如果k′（1）≤ 0，或相当于ifrβ+hr+h≤r+mm。（4.18）很容易证明不平等的左侧（4.18）随着h和limh的增加而增加→∞rβ+hr+h=r+mm。因此，（4.18）严格适用于所有h≤rr+mλ，我们推导出wbc从0增加到c时，c从正变为负。此外，wbCc=0+为正，与H的大小无关。备注4.5。我们对WBC缺乏单调性感到惊讶，我们最初认为这可能是因为ws也随着c的增加而增加- wb随着c的增加而增加。然而，在与推论4.4的证明平行的工作中，我们可以证明ws- wb随着c的增加先降低后升高。具体来说，当c从0+开始增加时，WBE的增加速度比wsdo es快。5.在c>RB的情况下，当s af e水平ws=cr>b时，当w≥ B

当消费率足够大或人寿保险的保费率足够低时，购买具有死亡利益的人寿保险是最佳选择- w代表所有0<w<b；我们在第5节中介绍了这个案例。1.否则，最好只为wb>0和b之间的财富购买人寿保险；我们在第5.2.5.1节中介绍了这种情况，即在低于遗赠目标的所有财富水平购买人寿保险。当消费率足够大或当回报率足够低时，在低于遗赠目标的所有财富水平购买人寿保险是最佳的。与第4.1节中的问题不同，我们没有φ的显式解，因为不为b和CR之间的财富购买人寿保险是最优的。因此，我们依赖于φ的凸勒让德变换，如第4.2节中所述，来获得φ的ansatz。同样，我们省略了细节，因为它们与Bayraktar and Young（2007年、2015年）中的相似。在下面的第5.2节中，我们给出了φ的候选者，并直接验证它满足引理2.1的条件。首先，我们证明了一个有用的引理。引理5.1。定义函数g byg（β）=r- （r+h）βα+hβ，（5.1），其中α在（4.7）中给出。然后，g（β）>0和g（β）>0，其中β在（4.7）中给出，β=2mh（r+h）- λ+m）-p（r+h）- λ+m）+4mλi<0。（5.2）证据。首先，g（β）>0当且仅当rα+（（α）- 1） h- r） β>0。当h=0时，后一个等式成立，因为βh=0=a。因此，如果我们证明rα+（（α- 1） h- r） β随H增加，我们就完成了。h（rα+（（α- 1） h- r） β）=（α- 1)β+((α- 1） h- r） βp（r+h）- λ+m）+4mλ∝ (α- 1） （h+p（r+h）- λ+m）+4m（λ）- r、 如果它在h=0时是非负的，那么它是正的，因为h+p（r+h- λ+m）+4mλ随h增加。

为了证明（α- 1） p（r）- λ+m）+4mλ- R≥ 0，使用α- 1=p-1，其中p=ph=0，p在（3.4）中给出，以获得等效不等式（r+λ+m）- 4rλ- r（p- 1) ≥ 0，orp（r+λ+m）- 4rλ≥ （r+λ+m）- 2r。后一种不平等很容易证明；因此，我们已经证明g（β）>0。接下来，为了证明g（β）>0，证明g（β）随h和thatlimh减小就足够了→∞g（β）≥ 0HR- （r+h）βα+hβ∝ (α- 1） （h）-p（r+h）- λ+m）+4m（λ）- r、 如果它和h一样是非正的，那么它是负的→ ∞, 因为-p（r+h）- λ+m）+4mλ随h增加。h的极限-p（r+h）- λ+m）+4mλ作为h→ ∞ 等于-（r）- λ+m）；因此，林→∞(α- 1） （h）-p（r+h）- λ+m）+4m（λ）- r=-(α- 1） （r）- λ+m）- r、 哪一个是非正面的。因此，我们已经证明g（β）随着h的增加而减少。为了证明g（β）>0，我们观察到，因为limh→∞β=0和limh→∞hβ=-λ、 林→∞R- （r+h）βα+hβ= r+α- 1α(-λ) ∝ rp- λ、 其中p=p | h=0。很容易证明rp- λ > 0; 因此，我们证明了g（β）>0。定理5.2。假设c>rb，并假设以下两个条件之一成立：（1）h≤rr+mλ，或（2）h>rr+mλ和c≥ C、 其中C>rb唯一解算sc- rbr（r+h）“c- rbr（r+h）g（β）hbλβ+c+hbr+h（1）- β)#1-ββ-1=hbλβ-c+hbr+h（β- 1） g（β）。（5.3）那么，达到遗赠目标的最大概率等于φ（w）=1.-C-rbr（r+h）β-1β-βg（β）yygβ+1-ββ-βg（β）yygβyg，如果0≤ w<b，1-铬- B加斯佩铬-西铁-Bp、 如果b≤ W≤ ws=cr，（5.4），其中β、α和α在（4.7）中给出；β、 in（5.2）；和，g，in（5.1）。参数y>0由y=c+hbr+hβ给出- 1β+c- rbr（r+h）g（β）βy1-βg0，（5.5）其中yg0∈ （0,1）唯一解算- rbr（r+h）ββ- βg（β）y1-βg0-ββ- βg（β）y1-βg0=c+hbr+h，（5.6）和yg=yyg0。同样，p=ph=0=α-1，其中p在（3.4）中给出。在（5.4）的第一个表达式中，对于给定的w∈ [0，b），y∈ （yg，y]sc- rbr（r+h）“ββ- βg（β）yygβ-1.-ββ- βg（β）yygβ-1#=c+hbr+h- W

（5.7）当财富等于w∈ （0，ws]，瞬时定期人寿保险的最佳金额等于*（w） =（b）- w） +，（5.8），投资于风险资产的最佳金额等于π*（w）=u-rσc-rbr（r+h）β(β-1)β-βg（β）yygβ-1+β(1-β)β-βg（β）yygβ-1., 如果0<w<b，则为u-rσcr-可湿性粉剂-1，如果b≤ W≤ ws。（5.9）证据。我们首先证明方程（5.6）有唯一的解yg0∈ (0, 1). 请注意，左边的ap会接近+∞ 作为yg0→ 因为g（β）>0。接下来，当yg0=1时，左侧等于c-rbr+h，小于右侧。最后，左侧随着yg0减小∈ （0,1）当且仅当-β(β- 1） g（β）- β(1 - β） g（β）yβ-βg0<0，对于所有的0<yg0<1，当且仅当yg0=1时，由于g（β）>0，它弱地成立。你可以证明这一点-β(β- 1） g（β）- β(1 - β） g（β）≤ 0相当于rp- λ ≥ 0，这是真的；参见引理5.1证明的最后一行。（回忆p=ph=0。）其次，我们证明（5.4）中的表达式满足（2.9）中的BVP，wbset等于0。在定理4.3的证明中，对于0≤ w<b，φw（w）=y>0，φw（w）=-yc- rbr（r+h）“β（β- 1)β- βg（β）yygβ-1+β(1 - β)β- βg（β）yygβ-1#!-1.方括号内的表达式随y的增加而增加∈ （yg，y）。因此，当y=yg时，如果方括号中的表达式是非负的，则φw<0表示0<w<b，这相当于rp- λ ≥ 0，这很容易理解。证明（5.4）满足（2.9）的其余部分类似于定理4.2的相应证明，包括证明（5.4）中的φ为Cat w=b，因此出于空间考虑，我们省略了这些细节。第三，我们证明了wb=0，其中wb定义在（2.8）中。具体来说，我们证明λ- h（b）- w） φw（w）≥ 0代表所有人0≤ w<b，φw由（5.4）中的第一个表达式确定。因为φw<0，这个不等式适用于所有0≤ w<b当且仅当它在w=0或等价于y时成立≥hbλ，b因为y=φw（0）。

从（5.5）中的表达式中替换为，以获得等效的不等式- rbr（r+h）y1-βg0≥血红蛋白λβ-c+hbr+h（β- 1） g（β）。（5.10）当c≥ C、 其中Cis在（4.1）中给出。还记得吗≤ rb-if和on-ly-if-h≤rr+mλ。因此，如果h，不等式（5.10）适用于所有c>rb≤rr+mλ。对于不等式证明（5.10）的其余部分，假设h>rr+mλ；然后，C>rb和IneQuality（5.10）会自动适用于所有C≥ 因此，假设∈ （rb，C），所以（5.10）的右边是正的。因为（5.6）d的左边是yg0，所以不等式（5.10）等于toc- rbr（r+h）ββ- βg（β）“hbλβ-c+hbr+h（β- 1） c-rbr（r+h）g（β）#-β-11-β-ββ- β血红蛋白λβ-c+hbr+h（β- 1)≥c+hbr+h，<==>“血红蛋白λβ-c+hbr+h（β- 1） c-rbr（r+h）g（β）#-β-11-β≥hbλβ+c+hbr+h（1- β） c-rbr（r+h）g（β）。通过遵循一个类似于引理5.1的证明的论点，我们可以证明这个不等式右边的分子是正的，而引理5.1暗示分母是正的。因此，这个不等式相当于toc- rbr（r+h）“c- rbr（r+h）g（β）hbλβ+c+hbr+h（1）- β)#1-ββ-1.≥血红蛋白λβ-c+hbr+h（β- 1） g（β）。（5.11）（5.11）的左侧随着c的增加而增加，右侧随着c的减少而减少。因此，存在唯一的解决方案c∈ （rb，C）的第（5.3）款，使第（5.11）款适用于所有C∈ [C，C]回想一下（5.10）对于C是自动保持的≥ C.我们已经证明，当h>rr+mλ时，不等式（5.10）适用于所有C≥ C.因此，wb=0。最后，（5.8）和（5.9）中的最优策略分别来自（2.6）和（2.7）。注意，定理5.2中的解满足（2.10）至（2.12）中的关系。

此外，观察到当遗赠目标ap接近0时，解是连续的，也就是说，当遗赠目标变小时，我们期望（5.4）和d（5.9）分别接近1减去Young（2004）中获得的生命期破产的最小概率和相应的最优投资策略。下面的推论更正式地说明了这个结果。推论5.3。定理5.5给出的解是连续的→ 0+. 特别是对于0≤ W≤cr，肢体→0+φ（w）=1-1.-rwcp、 （5.12）和肢体→0+π（w）=u- rσcr- 可湿性粉剂- 1.（5.13）在下一个推论中，我们证明π*in（5.9）随财富而减少。推论5.4。如果c>rb且定理5.2中的任一条件成立，则风险资产的最优投资额随着财富的增加而减少。证据很明显，π*（w） 当b≤ W≤cr.对于0<w<b，d将（5.9）中关于w的首字母表达区分开来，以了解dπ*（w） dw∝威格。接下来，对w进行差异化（5.7）以获得威伊格∝ -\"β(β- 1)β- βg（β）yygβ-1+β(1 - β)β- βg（β）yygβ-1#∝ -π*（w） <0。备注5.1。在最小化终身破产概率时，资产的最优投资额随财富（线性）减少。对于本文中的问题，如果个人正在购买人寿保险，那么遗赠目标将被覆盖，剩下的问题是避免破产。因此，我们期望π*在（5.9）中，用最优投资策略来共享财产，以使终生破产的概率最小化。

实际上，π*对于b和C之间的财富，当最小化终身破产概率时，与风险资产的投资金额相同（Young，2004）。此外，正如扬（2004）以及第3节和第4节所述，财富永远不会达到安全水平。5.2仅当财富足够大且小于遗赠目标时才购买人寿保险。根据定理5.2，我们知道我们要解决的剩余情况是h>rr+mλ和rb<c<c。回想一下，h>rr+mλ是（5.3）的解c>rb存在的必要条件。对于这种情况，基于定理3.1和定理4.3，我们假设购买水平为正。在这个假设下，在本文未展示的工作中，我们解决了φ的凸Legendretransform的自由边界问题。在下面的定理5.7b中，我们证明了自由边界问题的这个（未说明）解的凹勒让德变换等于达到遗赠目标的最大概率。首先，我们证明了两个有用的引理。引理5.5。定义功能l 通过l(α, β) = β -hλβ+1α. （5.14）然后，l(α, β) < 0, l(α, β) < 0, l（α，β）>0，和l（α，β）<0，其中α，α和β在（4.7）中给出，β在（5.2）中给出。证据我们依次证明这四个不等式。首先，当h=0时，l(α, β) = α- α= 0. 因此，为了证明l（α，β）<0，足以证明l（α，β）随h减小。为此，Hl(α, β) ∝ λ - αh+p（r+h）- λ+m）+4mλ,当h=0时，这个表达式对于所有的h>0都是负值，这很简单。第二，林→∞l(α, β) = 0 -λ(-λ) + 1α= 0. 因此，为了证明l（α，β）<0，这是无法证明的l （α，β）随着h的增加而增加，Hl(α, β) ∝ λ - αH-p（r+h）- λ+m）+4mλ,而且，因为这个表达式随着h的减小而减小，所以当h接近极限时，所有h>0的表达式都是正的∞, 这是积极的。

现在，林→∞λ - αH-p（r+h）- λ+m）+4mλ= λ+α（r）- λ+m），可以表示为正。第三，因为α<0和β>1，很明显l(α, β) > 0.第四，当h=0时，l(α, β) = α- α=0，和limh→∞l(α, β) = 0 -λ(-λ) + 1α= 0.下一个Hl(α, β) ∝ λ - αH-p（r+h）- λ+m）+4mλ,当h=0时为负值，当h接近时，d单调增加为正数∞.因此l（α，β）<0表示所有h>0。引理5.6。如果c>rb，那么下面的方程有一个唯一的解x>1:1=C- 红细胞（r+h）α-αα- 1.α-1.1.- α1.-α×H(α- 1) -rλα-l（α，β）g（β）β- βxβ-1+l（α，β）g（β）β- βxβ-1.α-1×H(1 - α） +rλα+l（α，β）g（β）β- βxβ-1.-l（α，β）g（β）β- βxβ-1.1.-α、 （5.15），其中α、α和β在（4.7）中给出，β在（5.2）中给出。证据当x=1时，（5.15）的右边等于0，而→ ∞, 右侧接近∞.因此，如果我们证明右边随着x增加，那么我们就完成了。因为l（α，β）g（β）<0，l（α，β）g（β）<0，β>1，β<0，第二行（5.15）上的因子随x增加l（α，β）g（β）xβ-1.- l（α，β）g（β）xβ-1.∝ l（α，β）g（β）（β）- 1） xβ-β+ l（α，β）g（β）（1）- β） ，如果x=1时为正，则对所有x>1为正。可以证明这一点l（α，β）g（β）（β）- 1) + l（α，β）g（β）（1）- β) ∝1.-hλα（r p）- λ) - αm，右侧为正值，因为α<0和rp- λ>0，其中p=p | h=0。定理5.7。如果h>rr+mλ且rb<c<c，则达到遗赠目标的最大概率等于φ（w）=cr（α）-1)(1-α)α-αh-yyα+yyαiy，如果0≤ w<wb=b-λhyb，1-C-rbr（r+h）β-1β-βg（β）yygβ+1-ββ-βg（β）yygβyg，如果wb≤ w<b，1-铬- B加斯佩铬-西铁-Bp、 如果b≤ W≤ ws=cr，（5.16），其中α、α和β在（4.7）中给出；β-in（5.2）；g in（5.1）；p=ph=0=α-1.