最大因子个人风险模型及其在信贷组合中的应用

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英文标题：
《Max-factor individual risk models with application to credit portfolios》
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作者：
Michel Denuit and Anna Kiriliouk and Johan Segers
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Individual risk models need to capture possible correlations as failing to do so typically results in an underestimation of extreme quantiles of the aggregate loss. Such dependence modelling is particularly important for managing credit risk, for instance, where joint defaults are a major cause of concern. Often, the dependence between the individual loss occurrence indicators is driven by a small number of unobservable factors. Conditional loss probabilities are then expressed as monotone functions of linear combinations of these hidden factors. However, combining the factors in a linear way allows for some compensation between them. Such diversification effects are not always desirable and this is why the present work proposes a new model replacing linear combinations with maxima. These max-factor models give more insight into which of the factors is dominant.
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中文摘要：
个别风险模型需要捕捉可能的相关性，因为不这样做通常会导致低估总损失的极端分位数。例如，在联合违约是一个主要问题的情况下，这种依赖性建模对于管理信用风险尤其重要。通常，个别损失发生指标之间的相关性是由少数不可观察的因素驱动的。然后将条件损失概率表示为这些隐藏因子的线性组合的单调函数。然而，以线性方式组合这些因素可以在它们之间进行一些补偿。这种多元化效应并不总是可取的，这就是为什么本研究提出了一种新的模型，用极大值代替线性组合。这些最大因子模型可以更深入地了解哪些因素占主导地位。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Max-factor_individual_risk_models_with_application_to_credit_portfolios.pdf (390.11 KB)

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关键词：风险模型 Combinations Applications Quantitative Multivariate

最大因子个人风险模型及其在信贷组合中的应用Michel DENUIT，ANNA KIRILIOUK？，比利时卢瓦因诺瓦天主教大学生物统计与科学统计研究所？通讯作者：安娜。kiriliouk@uclouvain.beDecember2011年11月4日摘要个人风险模型需要捕捉可能的相关性，因为如果不这样做，通常会导致低估总损失的极端分位数。这种依赖模型对于管理信用风险尤其重要，例如，联合违约是一个主要问题。通常，个别损失发生指标之间的相关性是由少数不可观察的因素驱动的。然后将条件损失概率表示为这些隐藏因子的线性组合的单调函数。然而，以线性方式组合这些因素可以在它们之间进行一些补偿。这种差异效应并不总是可取的，这就是为什么本研究提出了一种新模型，用极大值代替线性组合。这些最大因子模型可以更深入地了解哪些因素占主导地位。关键词和短语：校准、默认指标、依赖性建模、潜在因素、损失发生。1介绍和激励个人风险通常暴露在相同的环境中，这会导致一些依赖性，从而导致止损保费和其他风险度量的计算出现偏差。在实践中，依赖性会影响损失的发生。典型案例适用于涵盖自然灾害（飓风、龙卷风、洪水等）的政策。我们请读者参阅Denuit等人的书。

（2005）介绍了受抚养人的建模，以及Anastasiadis和Chukova（2012）的综述文件，概述了文献中提出的各种多元保险模型。在本文中，我们对个人层面的损失发生进行了建模。回想一下，风险组合通常是通过自下而上或自上而下的方法来描述的。在保险业中，这两种方法被称为风险理论的个人模型和集体模型。在信用风险文献中，自下而上的方法也被称为人名法。它从对单个风险的描述开始，从中得出总损失的分布。与自上而下的方法相比，自下而上的方法有一些明显的优势，例如可以轻松解释异质性。在信用风险模型中，违约指标通常不能被认为是相互依赖的。不同公司违约之间的依赖性可能是由它们之间的直接联系（例如，一家公司是另一家公司的最大客户）或更多间接联系造成的。在后一类中，我们发现工业企业使用相同的资源，因此受到相同的价格冲击，或在相同的市场上销售，因此是相同需求的支流，受相同的监管。许多宏观经济因素可能同时影响许多违约指标；例子包括商业周期、失业水平或货币政策的变化。为了说明这些情况，向量默认指标通常通过公共混合模型建模。

其想法是，存在数量有限的系统性因素，例如，当这些因素受到控制时，默认指标是有条件独立的。然而，无条件地，默认指标是依赖的，因为它们受制于同样的不可观察的宏观经济因素。这些因子模型是为数不多的能够复制现实相关违约行为，同时在计算总投资组合损失分布时显著降低数值复杂性的模型之一。一般来说，条件违约概率是隐藏因素线性组合的函数，权重反映了对风险因素的相对敏感性。大多数行业模型都是如此，包括CreditRisk+和KMV模型。我们请读者参阅Bluhm等人（2002）的一般介绍。隐藏因素通常与经济的不同层次以分层的方式关联，考虑到全球影响和特定行业的影响。用极大值代替隐藏因子的线性组合在某些应用中很有吸引力。最大分解更好地解释了特定于给定风险类别的冲击，而因素的线性组合往往会在每个因素对总和的贡献范围内减少冲击。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了建议的最大系数规格，以诱导损失指标之间的相关性。第3节专门讨论校准技术。首先，我们描述了一般设置，并介绍了一些参数因子模型。其次，我们提出了有效的数值方法来获得最大因子模型的最大似然估计。在第4节中，提出了新的非参数估计器，可作为评估参数风险模型优度的基准。

附录B中给出了评估估计器性能的模拟研究，而附录A中给出了第3节和第4节中提出的结果的正式证明。在第5节中，我们对标准普尔（2001）提供的经典信用风险数据集进行了详细的数值说明。最后，第6节简要讨论了本文的结果并得出结论。2最大因子风险模型考虑在给定参考期内观察到的m类风险组合，分为k类。每个类别r都包含单个风险，r=1，k、 如果r类风险i带来一些财务损失，则指标Yr、iis等于1，否则为0。例如，随机变量可能与借款人在信用风险方面的违约、投保人在人寿保险中的死亡或普通保险中索赔的发生有关。从今往后，我们将以Yr为损失（发生）指标。由于个别合同受制于一个共同的环境，损失指标受到许多相同风险因素的影响。最大因子分解通过影响所有m合同和类别特定因子ψ，…，的全球风险因子ψ来解释这种正相关性，ψK影响仅限于同一类合同。随机变量ψ，ψ，假设ψkare与公共分布函数Fψ无关。同一风险等级r的所有合同共享共同的随机效应ψrb，但也受到影响整个业务区块的竞争性全球效应ψrb的影响。在房主保险中，这种全球影响可能与风暴或地震有关。在人寿保险中，它通常是由于流行病的发生而导致死亡概率突然增加的原因。写入ψ=（ψ，ψ，…，ψk）。

虽然大多数因素模型都是基于隐藏风险因素的线性组合，但我们在这里指定了潜在冲击或竞争风险机制。具体而言，条件损失概率P[Yr，i=1 |ψ]表示为潜在因子max{νr+σrψr，ur+σrψ}（2.1）的递增函数，其中类特定参数满足νr，ur∈ R和σR≥ 然后，借助分布函数Fψ，将（2.1）中的效应映射到单位间隔，即P[Yr，i=1 |ψ]=Fψmax{νr+σrψr，ur+σrψ}. （2.2）因此，在类别特定效应νr+σrψr和整体效应ur+σrψr之间存在竞争。只有两者中的较大者对损失的发生有影响。参数νrandur分别表示条件损失概率对类别特定因子ψrand和全球风险因子ψ的敏感性：ur越小，r类损失指标对ψ的敏感性越低。在最大稳定分布中可以找到Fψ的自然候选。Maxstability确保（2.1）中最大值的分布保持在同一个族中。在本文中，我们考虑了Gumbel分布，但类似的分析也可以用任何其他最大稳定分布族进行。回想一下，甘贝尔（或Fisher-Tippett极值类型1）分布的分布函数是x7→ 经验- 经验(-十、-ms）对我来说∈ R和s>0。我们在这里以标准形式（m=0和s=1）来考虑它- 经验(-十）, 十、∈ R.甘贝尔分布的选择解释了为什么我们选择潜伏期为（2.1）形式：由于乘法系数σris等于ψ的每个元素，所以（2.1）中的最大值再次是甘贝尔分布的随机变量。

常数νrandur越小，合同对相应因子的敏感性越低。我们提出的模型与文献中提出的类似结构有关，但适用于不同的层次。例如，在Denuit等人（2002年，例2.7）中，继Cossette等人（2002年）之后，建议用独立伯努利随机变量J，J，…，表示损失指标Yr，iin，JkasYr，i=min{Jr+J，1}=max{J，Jr}，i=1，N另见Valdez（2013）。在信用风险建模中，违约时间有时被假定为受竞争风险机制的影响（Giesecke，2003）。默认指标则为前一年的i=imin{Er，E}≤ 1.= 最大值我[呃]≤ 1] ，我≤ 1],其中E，E，它们是独立的正随机变量。将所有债务人打包的因素导致了威胁整个投资组合偿付能力的系统性冲击。在我们提出的模型中，最大因子分解影响条件损失概率，而不是直接影响损失指标。与上述两种模型相反，普通电击（Jin）的发生是第一种情况，或{E≤ 1} 在第二种情况下）导致同时发生损失，因素ψ，ψkonly影响（2.2）中的条件允许概率。只要这一条件概率保持在统一以下，就仍然有明显的个人违约体验的空间。在这个意义上，马克斯似乎更灵活。最大因子模型也可以被视为一种状态转换结构，其中最大值驱动从标准状态转换到恶劣状态。比如说人寿保险。如果风险等级为r的个人i在一年内死亡，那么指标Yr、iis现在等于1。现代精算计算承认围绕一年死亡概率的不确定性。

最大因子模型可以解释增加人口死亡率的大流行的发生：ψ与大流行的严重程度有关，参数u和σ调节其对不同风险类别的后果（通常，流感大流行可能根据年龄类别产生不同的后果）。因此，从标准到高死亡率之间存在一个切换。与经典线性规范相比，（2.1）中的最大值禁止在全局因子ψ和类别规范因子ψ…之间进行任何补偿，ψk.实际上，线性组合ur+τrψr+σrψ，其中ur∈ R、 τR≥ 0，σr≥ 0，允许在ψ和ψr之间进行转换：ψ的大实现可以通过ψr的小实现进行补偿，保持相应的线性组合不变。例如，假设全球经济正在蓬勃发展，因此ψ很小（在风险因素的线性组合中，违约概率正在增加）。然而，由于新法规、禁运、新兴新技术等原因，一些r类企业可能会遇到严重问题，因此规模可能会很大。线性组合在一定程度上弥补了r类在良好的全球条件下的困难。相比之下，最大因子规范（2.1）侧重于最差因子，即我们示例中的ψ，并认识到r类企业面临的特殊问题。根据应用类型，线性或最大因子分解可被视为代表单个损失指标的相关结构。3最大因子模型的校准3。1一般设置假设一个风险组合已经观察了n个日历年。定义指标Yr、j、i、r∈ {1，…，k}，j∈ {1，…，n}，我∈ {1, . . .

，mr，j}，其中Yr，j，i=1对应于日历年j期间r类中个人i的损失发生，而mr，j表示r类和日历年j中的风险数量。在我们将在第5节研究的信用风险数据中，类别将对应于评级等级。对于固定r和j，产生损失的风险数量为Mr，j=Pmr，ji=1年，j，i。我们假设，在r类中，个别风险是可交换的。更具体地说，letQj=（Q1，j，…，Qk，j）是日历年j的条件损失概率，qnar是独立的、同分布的。给定Qj，随机变量syr，j，是具有各自均值Qr，j的独立伯努利随机变量，因此Mr，jis的条件分布由p[Mr，j=`Qj]给出=j先生`Q`r，j（1）- Qr，j）mr，j-`, ` ∈ {0，…，先生，j}。有条件地，在Qj上，数字M1，j，Mk，jof产生损失的风险是独立且二元分布的。3.2利益数量我们对以下数量的估计感兴趣：边际损失概率。r类风险i在j年内产生损失的概率由πr=P[Yr，j，i=1]=E[Yr，j，i]=E[Qr，j]给出。（3.1）共同损失概率。相同或不同类别r和s中的两种不同风险在同一年j产生损失的概率由πrs=P[Yr，j，i=1，Ys，j，i=1]=E[Yr，j，iYs，j，i]=E[Qr，jQs，j]给出。（3.2）类内高阶损失概率。有可能≥ 1同一类别的风险在同一年产生的损失j等于π（`r=P[Yr，j，1=…=Yr，j，`=1]=E[Q`r，j]。显然，π（1）r=π兰德π（2）r=πrr。类间高阶联合损失概率。可能性`≥ 1.分类风险和`≥ 1 s类风险，其中R6=s，在同一年内产生损失j由π（`，`）rs=P[Yr，j，1=。

=Yr，j，`=1，Ys，j，1=…=Ys，j，`=1]=E[Q`r，jQ`s，j]。显然，π（1,1）rs=πrs。高阶（联合）损失概率不是主要关注的；它们将出现在第4节中，我们将定义πrandπrs的非参数估计量。依赖性度量很容易用上面定义的概率表示。例如，Valdez（2013）在汽车保险中使用的相对风险度量或风险比率可以写成asP[Yr，j，i=1 | Ys，j，i=1]P[Yr，j，i=1 | Ys，j，i=0]=πrs（1- πs）（πr）- πrs）πs。从医学研究中借用，这个量测量一种风险导致另一种风险产生损失的趋势。正如Valdez（2013）所指出的，线性相关系数不太适合作为二元随机变量之间关联的度量。有关更多详细信息，请参见Denuit和Lambert（2005）。3.3因子模型我们假设条件违约概率的参数模型Qjby设置Qr，j=Qr（ψj；θ），其中ψj=（ψ1，j，…，ψp，j），p<mr，j代表j∈ {1，…，n}是具有已知分布的独立且相同分布的潜在因子，θ是参数向量，Qr（·；θ）是来自Rpto[0，1]的函数。为了简化符号，我们通常会限制对θ的依赖。形式上，对于固定的r和j，给定p维向量ψjp<mr，j，Yr，jfollowsa-Bernoulli混合模型和因子向量ψjif，存在函数Qr:Rp→ [0,1]，r∈ {1，…，k}，使得给定ψj=ψj，Yr，jis，一个独立伯努利变量的向量，对于i，P[Yr，j，i=1 |ψj=ψj]=Qr（ψj）∈ {1，…，mr，j}，其中ψj=（ψj，1，…，ψj，p）。损失指标之间的依赖性本质上是条件损失概率对一组因素的依赖性。如第2节所述，我们的重点是Gumbel max因子模型。