无差异价格和隐含波动

即使在对扭曲熵风险度量的驱动因素进行限制时，BSDE方法也比我们在本文中采用的HJB方法更通用，因为扭曲熵风险度量依赖于两个参数，而我们考虑的指数效用仅依赖于ris k-厌恶参数γ。然而，从计算的角度来看，求解两个非线性偏微分方程的难度在两种情况下保持不变。回到手头的问题，我们的目标是找到一个期权的差异价格u，带有payoff~n（XT，YT）。这需要（i）求出PDE（2.7）的解ηo，然后求出u的PDE（2.10），或者（ii）求出PDE（2.7）的解η和（2.8）的解ψ，然后从（2.9）中求出u。当φ仅为x的函数时，确定差异价格的偏微分方程不能线性化；在这种情况下，最好遵循方法（i）。当φ仅为y的函数时，确定差异价格的偏微分方程可以线性化；在这种情况下，最好遵循方法（ii）。由于对DES（2.7）、（2.8）和（2.10）的分析在很大程度上取决于支付函数φ是x的函数还是y的函数，因此我们将分别处理这些情况。我们从第3节开始讲，在这种情况下，φ仅是x的函数。第4节将分析仅为y的函数的情况。我们将不考虑以下情况，即φ是（x，y）的函数。3交易资产的期权在本节中，我们考虑一种欧式索赔，其支付函数仅取决于交易资产的最终价值。因此，我们做出以下假设。假设3.1。在第3节中，我们假设支付函数仅为x的函数。我们将第三部分分为四个部分。

在第3.1节中，我们将正式推导一系列偏微分方程，如果求解，将产生近似的差异价格。在第3.2节中，我们将给出该序列的显式解。在第3.3节中，我们将讨论差异定价近似值的准确性。在第3.4节中，我们将把我们的差异价格近似转化为隐含波动率的显式近似。3.1 PDE渐近如上所述，当φ仅为x的函数时，获得差异价格的首选方法是找到PDE（2.7）的解ηo，然后求解u的PDE（2.10）。因为对于一般情况（σ，c，β，λ），没有（2.7）o r（2.10）的闭式解，我们将寻求这些PDE的渐近解。我们采用的方法与Lorig et al.（2015 b）中采用的方法类似。Lorig et al.（2015 b）在一般LSV假设中，通过将潜在差异的系数扩展为泰勒级数，获得（风险中性）欧式期权价格和隐含波动率的显式近似值。请注意，由于（2.7）和（2.10）是非线性参数，求解这些方程需要克服与欧式期权风险中性定价相关的线性参数时不存在的困难。为了开始渐近分析，假设χ是算子sea、B（·）或C（·，·）中出现的任何系数函数。这就是χ∈ {（σ），（c）- ρβλ), (β), (ρσβ), (λ)}.固定一个点（\'x，\'y）∈ 兰德定义χε（x，y）=χ（\'x+ε（x- \'x，\'y+ε（y）- y），ε∈ [0, 1].

（3.1）现在考虑以下由ε索引的耦合偏微分方程族：0=(t+eAε）ηε+Bε（ηε），ηε（t，x，y）=0，ε∈ [0, 1], (3.2)0 = (t+eAε）uε+Cε（uε，ηε），uε（t，x，y，ν）=ν（x），ε∈ [0,1]，（3.3）其中eaε，Bε（·）和Cε（·，·）通过用ε-对应项ε=（σ）ε替换这些算子中的系数，从ea，B（·）和C（·，·）中获得十、- 十、+ （c）- ρβλ)εy+（β）εy+（ρσβ）ε十、y、 Bε（η）=（1- ρ)(β)ε(yη）- （λ） ε，Cε（u，η）=（1）- ρ)(β)ε2(（于）(yη）- γν (（于）.备注3.2。注意，如果我们取ε=1，则偏微分方程（3.2）和（3.3）分别减少到（2.7）和（2.10）。因此，（ηε，uε）和（η，u）之间的关系就是（ηε，uε）|ε=1=（η，u）。我们将通过将ηε和uε展开为ε：ηε的幂来寻求（3.2）和（3.3）的渐近解=∞Xi=0εiηi，uε=∞Xi=0εiui。（3.4）我们对（2.7）和（2.10）的渐近解感兴趣，然后取ε=1。由于算子中出现的系数{χε}aε，Bε（·）和Cε（·，·）依赖于ε，我们形式上解释了它们以及χε（x，y）：=∞Xn=0εnχn（x，y），ε∈ [0,1]，χn（x，y）：=nXk=0χn-k、 k·（x）- \'x）n-k（y）- 是）k，χn-k、 k:=（n）- k） !！KN-kxkyχ（\'x，\'y）。（3.5）这里，为了简单起见，我们假设系数{χε}是整函数，因此等于它们的幂级数展开式。事实上，我们将看到，我们对差异价格的m阶近似只需要{χε}∈ 厘米（R）。备注3.3。我们扩张背后的理念可以理解如下。参数ε控制系数{χε（x，y）}随（x，y）变化的速度。例如，fr om（3.1）我们看到χε（x，y）|ε=0=χ（\'x，\'y），这是一个常数，因为（\'x，\'y）是固定的。当我们把ε的值从0拨到1时，我们得到一个函数χε（x，y），它的变化大于一个常数，但不大于χε（x，y）|ε=1=χ（x，y）。图1直观地说明了这一点。我们将看到，当ε=0时，可以显式求解偏微分方程（3.2）和（3.3）。

ε=0情况下的精确解为我们在ε>0时构造近似解奠定了基础。只要系数{χε（x，y）}没有太大变化，我们的偏微分方程（3.2）和（3.3）的近似解将变得精确解——即使ε=1。事实上，当我们在第4节中与Payoff sа（y）讨论期权时，我们将严格证明，系数{χ}的更高规范性允许我们构造一个更高阶近似解（建议4.2），这反过来会产生更准确的差异价格近似值（推论4.6）。为了找到ηi和ui（i≥ 0），我们将ηε和uε的展开式分别插入（3.2）和（3.3），并收集ε中的类似幂项。我们得到的最低订单为（1）：0=(t+eA）η+（1）- ρ)(β)(yη）- （λ） η（T，x，y）=0，（3.6）O（1）：0=(t+eA）u+（1）- ρ)(β)2(（于）(yη）- γν (（于）, u（T，x，y，ν）=ν（x），（3.7），其中定义为：=（σ）n十、- 十、+ （c）- ρβλ）ny+（β）ny+（ρσβ）n十、y、 n∈ {0} ∪ N.（3.8）观察到原子吸收系数以及（λ）是常数，因为从（3.5）我们有χ：=χ（\'x，\'y）。此外，η的终端条件不依赖于（x，y），Udoe的终端条件也不依赖于y。这些观察结果表明，我们寻求的是（3.6）的η的解，它仅是t的函数，而uof（3.7）的解仅是（t，x）的函数。如果我们这样做，方程（3.6）和（3.7）变成（1）：0=tη- （λ） η（T）=0，（3.9）O（1）：0=(t+eA）u，u（t，x）=φ（x）。（3.10）正如我们将在第3.2节中看到的，ODE（3.9）和PDE（3.10）可以明确求解。

因此，我们可以将（3.9）的解η和（3.10）的解uof分别识别为（3.6）和（3.7）的解。接下来，收集ε中的高阶项，很容易证明O（εm）方程的形式为O（εm）：0=(t+eA）ηm+Hm，ηm（t，x，y）=0，（3.11）O（εm）：0=(t+eA）um+um，um（t，x，y，ν）=0，（3.12），其中源ter ms Hmand Umare由o（εm）给出：Hm=mXk=1eAkηm-K- （λ） m+（1）- ρ） Xk，i，j∈Km（β）k(yηi）(yηj，（3.13）O（εm）：Um=mXk=1eAkηm-k+（1）- ρ） Xk，i，j∈Km（β）k2(yui）(yηj）- γν(yui）(是的）, （3.14）公里={（i，k，j）∈ N:i+j+k=m和i，j，k6=m}。因为集合Km不包含O（εm）项，因为如果出现这样的项，那么它将在（3.13）和（3.14）中乘以(或者(yη），两者都是ze-ro（因为η和uareindependent of y）。明确地说，O（ε）源项由O（ε）：H=eAη给出- （λ） ，（3.15）O（ε）：U=eAu。（3.16）和O（ε）源项表示eO（ε）：H=eAη+eAη- (λ)+ (1 - ρ)(β)(yη，（3.17）O（ε）：U=eAu+eAu+（1）- ρ)(β)2(（于）(yη）- γν(（于）, （3.18）备注3.4。注意，要获得差异价格展开式中的二阶项uin，不需要η。然而，为了完整性，我们用H表示源项Halong。这是我们将采用的PDE（3.2）和（3.3）的渐近分析。达到目的后，wesetε=1并做出以下定义：定义3.5。设η和u分别为（2.7）和（2.10）的解。假设φ是xonly（假设3.1）a和系数（λ）、（σ）、（c）的函数-ρβλ），（β）和（ρσβ）a re-Cm（R）。

然后将η和u的四阶近似定义为ηm:=mXi=0ηi，\'um:=mXi=0ui，其中η和usolve（3.9）和（3.10）分别定义为ηi和ui（i≥ 1） 恭敬地解决（3.11）和（3.12）。在第3.2节中，我们将推导ηi和ui（i）的表达式≤ 2） ηi和ui（i）的表达式≥ 0). 首先，我们做如下观察：备注3.6。（2.10）中非线性项C（u，η）的影响在零阶和一阶时没有影响，在二阶时第一次感受到。为了说明这一点，让我们定义q（t，x，y）：=eEt，x，y~n（XT），（3.19），其中ee表示EP下的预期，定义见（2.12）。请注意，假设（X，Y）具有（2.11）给出的风险中性动态，q可以解释为欧洲式期权的价格。函数q满足线性定价PDE0=(t+eA）q，q（t，x，y）=φ（x）。（3.20）一步一步地重复上述渐近分析，可以用eaε替换（3.20）中的eeA，并寻求解决方案qε=P∞k=0εkqk。在收集ε的类似顺序的项时，我们会发现（1）：0=(t+eA）q，q（t，x）=φ（x），（3.21）O（εm）：0=(t+eA）qm+qm，qm（t，x，y）=0，m≥ 1，（3.22）其中，mth-o顺序的源项Qm由o（εm）给出：Qm=mXk=1eAkqm-k、 （3.23）将u（3.10）的偏微分方程与q（3.21）的偏微分方程、um（3.12）的偏微分方程与qm（3.22）的偏微分方程、源项u（3.16）和u（3.18）与源项qm（3.23）的偏微分方程进行比较，我们发现u=q，u=q，u=q+uNonlin，其中非线性项C（u，η）在（2.10）中的uNonlinresults=(t+eA）uNonlin+uNonlin，uNonlin=（1）- ρ)(β)2(（于）(yη）- γν(（于）. （3.24）和终端条件uNonlin（T，x，y）=0。

因此，差异价格的二阶近似值由“u=”q+Unonlin给出，其中“q:=q+q+Qa来自（标准）线性定价规则（3.19），Unonlini是由差异定价的非线性方面产生的校正。3.2显式表达式在本节中，我们推导出η和ui（i）的一般积分表达式≥ 0）和函数η、η和η以及u、ua和u的显式（非整数）表达式。为了说明这一点，我们观察到线性属性是漂移向量和协方差矩阵为常数（即，带漂移的相关B罗文运动）的rW中的一个微分的最小生成元。由ea生成的半群P（t，t）给定为yp（t，t）η（x，y）：=ZRdxdyΓ（t，x，y；t，x，y）η（x，y），t≥ t、 （3.25）其中函数Γ是对应于线性算子的基本解(t+eA）。很容易证明Γ是高斯核Γ（t，x，y；t，x，y）=p（2π）| C | exp-mTC-1米,其中协方差矩阵C和向量m由C=（t）给出- t） （σ）（ρσβ）（ρσβ）（β）！，m=x- 十、- （t）- （t）(-σ） y- Y- （t）- t） （c）- ρβλ)!.注意，P（t，t）具有半群性质：P（t，t）P（t，t）=P（t，t），t≤ T≤ t、 （3.26）根据Duhamel原理，形式为0的任何偏微分方程的唯一经典解（如果存在的话）=(t+eA）v+F，v（t，x，y）=G（x，y），（3.27）由，v（t）=P（t，t）G+ZTtdtP（t，t）F（t），（3.28）给出，为了简单起见，我们省略了参数（x，y）。

由于PDE（3.9），（3.10），（3.11）和（3.12）都是（3.27）的形式，原则上可以使用（3.28）来计算每个η和ui（i）的显式表达式≥ 0).然而，请注意，计算（3.28）的右边需要计算空间变量中的二重积分（因为（3.25）给出的半累积算子P（t，s）是一个积分算子）以及时间变量中的积分。这将有助于为函数η、η和η以及SU、uandu找到更明确的表达式。为此，我们引入以下运算符rsX（t，t）=x+（t- （t）- (σ)+ 2(σ)x+（ρσβ）Y, T≥ t、 （3.29）Y（t，t）=Y+（t- （t）（c）- ρβλ)+ 2(β)y+（ρσβ）十、, T≥ t、 （3.30）通过直接计算很容易检查算子X（t，t）和Y（t，t）的通勤性，并具有以下性质（X（t，t））n（Y（t，t））mΓ（t，X，Y，t，X，Y）=（X）n（Y）mΓ（t，X，Y，t，X，Y），n，m∈ N.（3.31）因此，如果f是（x，y）的多项式函数，我们有p（t，t）f（x，y）=ZRdxdyf（x，y）Γ（t，x，y；t，x，y）=f（x（t，t），y（t，t））ZRdxdyΓ（t，x，y；t，x，y）=f（x（t，t），y（t，t））1。（3.32）引入以下运算符n（t，t）：=eAn（X（t，t），Y（t，t）），t≥ t、 n≥ 1，（3.33）其中，符号（X（t，t），Y（t，t））表示一个函数的（X，Y）-依赖性≡eAn（x，y）已被（x，y）取代→ （X（t，t），Y（t，t））。例如，术语（σ）(十、- x） :=（σ） 1,0（x）- \'x）+（σ）0,1（y）- （y）(十、- x） ，出现在我面前（σ） 1,0（X（t，t）- \'x）+（σ）0,1（Y（t，t）- （y）(十、- x） ，in G（t，t）：=eA（x（t，t），Y（t，t））。下面的引理对于Emma 3.7之后的计算至关重要。让算符sean，P（t，t），X（t，t），Y（t，t）和Gn（t，t）分别由（3.8），（3.25），（3.29），（3.30）和（3.33）给出。

然后我们有如下类似于交换的关系P（t，t）eAnf=Gn（t，t）P（t，t）f，（3.34），它适用于任何可测函数f∈ Cn+2（R），其所有阶次小于或等于n+2的偏导数都是可测的，且最多呈指数增长。证据证明formeAn=xkym的声明是足够的九jy，k，m，i，j∈ N、 （3.35）因为每一项都是本表格中的条款的固定总和。设f是可测的，且至多呈指数增长。然后p（t，t）eAnf（x，y）=ZRdxdyΓ（t，x，y；t，x，y）xkym九jyf（x，y）=（x（t，t））k（y（t，t））mZRdxdyΓ（t，x，y；t，x，y）九jyf（x，y）=（x（t，t））k（y（t，t））m(-1） i+jZRdxdyf（x，y）九jyΓ（t，x，y；t，x，y）=（x（t，t））k（y（t，t））m九jyZRdxdyΓ（t，x，y；t，x，y）f（x，y）=Gn（t，t）P（t，t）f（x，y）。在第一个等式中，我们简单地定义了P（t，t）（3.25）和an（3.35）的形式。在第二个等式中，我们使用（3.31）并拉取积分的算子（X（t，t））k（Y（t，t））mout。在第三种质量中，我们通过零件进行集成。在第四个等式中，我们使用了这样一个事实，即GaussiankernelΓ可以写成（x）的函数- x） 和（y）- y） 。因此九jyΓ（t，x，y；t，x，y）=(-1） i+j九jyΓ（t，x，y；t，x，y）。在上一个等式中，我们使用了P（t，t）（3.25）和Gn（3.33）的定义。使用算子sx（t，t）、Y（t，t）和Gi（t，t），现在可以直接建立以下命题，它为η、η和η提供了明确的表达式。提案3.8。设η为（3.9）的唯一经典解，η和η分别为（3.11）的唯一经典解，源项为H（3.15）和H（3.17）。假设系数（λ），（σ），（c- ρβλ、（β）和（ρσβ）是C（R）。

为了清楚起见，省略（x，y）-依赖关系，我们得到η（t）=-（T）- t） （λ），η（t）=-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1，（3.36）η（t）=-ZTtdtZTtdtG（t，t）（λ）（X（t，t），Y（t，t））1-ZTtdt（λ）（X（t，t），Y（t，t））1+（t- t） （1）- ρ） （β）（λ）0,1，（3.37），其中X（t，t）、Y（t，t）和Gi（t，t）分别由（3.29）、（3.30）和（3.33）给出，且（λ）0,1=y（λ（\'x，\'y）），如（3.5）所述。证据见附录A备注3.9。注：tη是通过计算（λ）（X（t，t），Y（t，t））1=（λ）1,0（X（t，t）得到的- \'x）1+（λ）0,1（Y（t，t）- y）1，然后对t进行积分。显式计算得出η由η（t，x，y）=-(λ)1,0（T）- t） （十）- \'\'x）-（T）- t） （σ）- (λ)0,1（T）- t） （y）- y）+（T- t） （c）- ρβλ). （3.38）函数η是三项之和，其中两项通过计算g（t，t）（λ）（X（t，t），Y（t，t））1=eA（X（t，t），Y（t，t））（λ）（X（t，t），Y（t，t））1，（λ）（X（t，t），Y（t，t））1=Xk=0（λ）k，2得到-k（X（t，t）- \'x）k（Y（t，t）- “y）2-k1，然后就t积分。为了简洁起见，我们省略了η的显式表达式。为了计算差异价格u的近似值，我们必须指定一个支付函数。由于我们有兴趣描述买方和卖方隐含波动率表面的特征，因此我们在这里重点讨论ca llpayoffа（x）=（ex- ek）+。在呈现u、u和u的表达离子之前，定义Black-Scholes call pr ic e将有所帮助。定义3.10。对于固定到期日T>T和对数敲打k，Black-Scholes看涨价格为瑞银定义的华硕（T，x；σ）：=exΦ（d+（T，x；σ））- ekΦ（d）-（t，x；σ）），（3.39），其中Φ是标准的非标准CDF，d±（t，x；σ）=σ√T- T十、- k±σ（T）- （t）.提案3.11。确定一个成熟日期T，一个对数敲打k，并假设是欧洲看涨期权的支付（x）=（ex- ek）+。分别用源项U（3.16）和U（3.18）求（3.10）的唯一经典解和（3.12）的唯一经典解。