无差异价格和隐含波动

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英文标题：
《Indifference prices and implied volatilities》
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作者：
Matthew Lorig
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a general local-stochastic volatility model and an investor with exponential utility. For a European-style contingent claim, whose payoff may depend on either a traded or non-traded asset, we derive an explicit approximation for both the buyer\'s and seller\'s indifference price. For European calls on a traded asset, we translate indifference prices into an explicit approximation of the buyer\'s and seller\'s implied volatility surface. For European claims on a non-traded asset, we establish rigorous error bounds for the indifference price approximation. Finally, we implement our indifference price and implied volatility approximations in two examples.
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中文摘要：
我们考虑一个一般的局部随机波动模型和一个具有指数效用的投资者。对于欧式未定权益，其收益可能取决于交易或非交易资产，我们推导了买方和卖方无差异价格的显式近似值。对于交易资产的欧洲看涨期权，我们将无差异价格转化为买方和卖方隐含波动率表面的显式近似值。对于非交易资产的欧洲债权，我们为无差异价格近似建立了严格的误差界限。最后，我们在两个例子中实现了无差异价格和隐含波动率近似。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Indifference_prices_and_implied_volatilities.pdf (506.18 KB)

2022-5-7 06:31:48 上传

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关键词：Indifference Mathematical volatilities Quantitative mathematica

不同的价格和隐含的波动性*这个版本：2015年9月4日摘要我们考虑一个一般的局部随机波动模型和一个具有指数效用的投资者。对于欧式未定权益，其支付可能取决于交易或非交易资产，我们推导了买方和卖方差异价格的显式近似值。对于交易资产的欧式看涨期权，我们将差异价格转化为买方和卖方隐含波动率表面的显式近似值。对于非交易资产的欧洲债权，我们为差异价格近似值建立了严格的误差界限。最后，我们在两个例子中实现了我们的差异价格和隐含的可用性近似。关键词：差异定价，隐含波动率，偏微分方程作为符号，局部随机波动率，Heston简介当市场不完全时，存在许多等价鞅测度，在这些测度下，可以对期权进行定价。因此，对于给定的衍生资产，存在一系列可能的无风险价值。差异定价的概念首次在Hodges和Neuberg e r（1989）中引入，为在不完全市场环境下选择独特的无套利价格提供了一种经济合理的方式。此外，差异定价自然会导致买卖价差，这是一种经验观察到的现象，即衍生资产的卖方要求的价格高于买方愿意支付的价格。有关差异定价方法和应用的概述，请参阅Carmona（2009）。尽管有上述可取的特点，但由于该问题的计算复杂性，差异定价方法的广泛使用受到了阻碍。

通常，要计算差异价格，必须为在不完全市场环境下寻求最大化预期效用的投资者的价值函数找到一个明确的表达式。与值函数相关的Hamilton-Jacobi-B e llman偏微分方程（HJB PDE）是非线性的，很少有显式解。使问题复杂化的是，投资者的最终财富既取决于他的交易策略，也取决于要定价的衍生资产的（随机）收益。由于几乎不可能显式求解HJB PDE，因此通常无法获得差异价格的封闭式公式。在某些情况下，明确的差别定价通常仅限于非交易资产上的期权。我们特别提到，*美国华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图。卡莫纳和卢德科夫斯基（2006年）、格拉塞利和赫德（2007年）、亨德森（2002年）、梁和卢德科夫斯基（2012年）、穆西埃拉和扎里波普卢（2004年）。在每一篇论文中，Zariphopoulou（2001）引入的线性化技术将非线性HJB偏微分方程简化为线性抛物型柯西问题，然后可以显式求解。线性化方法在索赔被写入交易数据集（如股票或市场指数）时不起作用，在波动性具有局部成分时也不起作用，正如Hagan等人（2002）的著名SABR模型所述。对于交易资产的期权，Sircar和Z ariphopoulou（2004）确定了不同价格的界限。此外，在快速均值回复波动设置下，他们对差异价格进行了渐近近似。然而，定价近似值仅适用于其订单，因此，不包含差异定价机制的买卖价差特性。

最近，Sircar和Sturm（2012）使用差异定价方法，在随机波动率（SV）设置下得出隐含波动率的小时间特征。Kumar（2015）推导了快速均值回复SV设置下的差异价格和隐含波动率的渐近性。本手稿的主要贡献有两个方面。（1） 在一般的局部随机波动率（LSV）设置下，我们推导出了欧式资产差异价格的显式近似值，其差异价格可能取决于交易或非交易资产。对于非交易资产的期权，我们能够为我们的独立定价近似值建立严格的误差界限。（2） 对于交易资产上的看涨期权，我们将差异定价近似值转化为隐含波动率的显式近似值。在s o中，我们得到了买方和卖方的隐含波动率曲线。我们用于完成上述任务的主要数学工具是泰勒级数展开法，该方法最初是在Pagliarani和Pascucci（2012）中开发的，用于在比例效应设置下求解线性定价偏微分方程。该方法后来在Lorig等人（2015b）和Lorig等人（2015a）中进行了扩展，以包含更多的一般多项式展开式，并对多维差异的期权定价。然而，请注意，这三篇论文并不像我们在这里所做的那样，试图解决非线性偏微分方程。本文的其余部分如下：在第2节中，我们介绍了一类LSV模型，定义了欧式索赔的差异价格，并展示了差异价格与一对耦合非线性偏微分方程解的关系。在第3节中，我们为交易资产上的欧式看涨期权建立了一个显式渐近近似。然后，我们将调用的差异价格近似值转换为隐含波动率的显式近似值。

在第4节中，我们考虑了非交易资产的期权。我们推导了差异价格和隐含持股比例的显式近似，并为前者建立了严格的误差界。最后，在第5节中，我们在两个例子中实现了我们的近似方法。2模型和问题公式(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）是一个完全过滤的概率空间。概率测度P代表物理（即可观测）概率测度和过滤（Ft）t≥0代表市场的历史。为了简单起见，在本文中，我们假设一个无摩擦的市场，零利率，没有股息。我们考虑一个单一的风险资产，其在P下的动力学由以下二维随机微分方程（SDE）描述：St=expXt,dXt=u（Xt，Yt）-σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dBXt，dYt=c（Xt，Yt）dt+β（Xt，Yt）ρdBXt+p1- ρdBYt,（2.1）其中bx和byx是P和ρ下的独立布朗运动∈ [-1, 1]. 我们认为，在局部随机波动（LSV）环境中，Yi是波动的驱动因素。然而，更一般地说，Y可以代表任何可观察到的非交易数量。我们假设系数（u，σ，c，β）是SDE（2.1）允许的唯一强解。设W表示投资者在t时将πt货币投资于S并投资（Wt）的财富过程-πt）债券中的货币单位。假设投资策略是自我融资的，财富过程满足Wt=πtStdSt=πtu（Xt，Yt）dt+πtσ（Xt，Yt）dBXt，其中我们使用了无风险利率为zer o的事实。现在假设投资者在时间t时拥有初始财富Wt=w，并且还拥有ν欧式未定权益，每个未定权益都有收益（Xt，Yt）。这里的ν可能是负数，表明投资者已经放弃了|ν|主张。

然后，投资者交易标的股票和债券，以最大化其预期的终端效用EU（WT+νа（XT，YT）），其中U是投资者的效用函数。请注意，U的参数包括投资者从交易中获得的财富和他从欧洲期权中获得的回报。定义2.1。我们定义了投资者的价值函数V asV（t，x，y，w，ν）：=supπ∈πEt，x，y，wU（WT+ν~n（XT，YT）），（2.2），其中∏是容许策略集，由∏：=nπ：E0，x，y，wZTπtσ（XT，YT）dt<∞o、 定义2.2。我们将每项索赔的差异价格定义为唯一的解决方案≡ 方程V（t，x，y，w，ν）的u（t，x，y，w，0）=V（t，x，y，w- νu，ν）。当ν为正值时，我们将以u作为买方的差异价格。当ν为负值时，我们将tou称为卖方或作者的差异价格。定义中应明确每件索赔的差异价格的含义。如果有两种选择：（i）以每次索赔的价格u购买νc laims，并将剩余财富动态投资于股票和债券；（ii）将所有财富动态投资于股票和债券，那么投资者将是不同的，因为他可以在两种情况下实现相同的预期效用。为了找到差异价格u（这是我们的主要目标），我们必须首先找到价值函数V。

与控制问题（2.2）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程（HJB PDE）为(t+A）V+maxπ∈RAπV=0，V（T，x，y，w，ν）=U（w+Vü（x，y）），（2.3），其中（A+Aπ）是（x，y，w）的生成元，假设马尔可夫投资策略πT=π（T，Xt，Yt，Wt）。具体来说，算符A和π由A给出=u（x，y）-σ（x，y）x+σ（x，y）x+c（x，y）y+β（x，y）y+ρσ（x，y）β（x，y）十、y、 Aπ=π（t，x，y，w）u（x，y）w+π（t，x，y，w）σ（x，y）w+π（t，x，y，w）ρσ（x，y）β（x，y）Yw+π（t，x，y，w）σ（x，y）十、w、 在这里，以及在整个手稿中，我们使用了符号nx:=Nxnand同样适用于其他偏导数。我们假设HJB-PDE（2.3）允许一个唯一的经典解，该解与价值函数（2.2）一致。一般来说，唯一性只适用于满足特定增长条件的一类函数，这不可避免地取决于效用函数U和期权支付。最优性策略π*通过最大化AπV给出。我们有π*= argmaxπ∈RAπV=-u (wV）+ρβσ(YwV）+σ(十、wV）σwV.其中，为了简单起见（从现在开始），我们省略了参数（t，x，y，w）。插入最优策略π*进入HJB-PDE（2.3）产量0=(其中V（V，V）是非线性的-λ(wV）wV- ρβλ(wV）(YwV）wV-ρβ(YwV）wV- u(wV）(十、wV）wV- ρσβ(十、wV）(YwV）wV-σ(十、wV）wV，λ=μσ。注意，我们引入了λ，夏普比。备注2。3（记谱法）。而在随机控制文献中，使用下标表示偏导数是标准的（例如Vx:=xV），它是微扰理论的标准，使用s ubsc ripts来表示给定项在某些小参数幂中的顺序。例如，如果ε是一个有趣的小参数，那么O（εn）级的项带有一个下标n。

在本文中，我们遵循标准的微扰文献，使用下标来跟踪以小参数ε的幂为单位的terms的阶数，我们将在下一节中介绍。这种方法的优点是，通过对阿吉文项的下标求和，并检查总数是否等于给定方程的阶数，可以很容易地检查c之后的渐近分析中的每个方程的一致性。例如，O（ε）级方程式可能包含以下术语：xVand(十五）(yV），但不包含Vor等术语(yV）(十五）。为了进一步进行，我们必须为投资者的效用函数U假设一个sp e c i fic表格。假设2.4。在本手稿中，我们将假设投资者的效用函数U为指数tialu（w）=-γe-γw，γ>0，其中γ被称为风险规避参数。回到PDE（2.4），我们现在考虑两种情况：ν=0和ν6=0。我们做了如下安萨兹：V（t，x，y，w，0）=-γexp- γw+η（t，x，y）, （2.5）V（t，x，y，w，ν）=-γexp- γw+ψ（t，x，y，ν）. （2.6）显然，η总是可以通过设置ν=0从ψ中获得。然而，单独考虑特殊情况ν=0是有用的。在（2.4）中插入（2.5）和（2.6），我们发现函数η和ψ满足0=t+eAη+B（η），η（T，x，y）=0，（2.7）0=t+eAψ+B（ψ），ψ（T，x，y，ν）=-其中线性算子a和非线性算子B由ea=σ给出十、- 十、+ （c）- ρβλ) y+βy+ρσβ十、y、 B（ψ）=（1）- ρ)(β)(yψ）-λ.根据定义2.2和方程式（2.5）和（2.6），我们观察到差异价格将由u（t，x，y，ν）=γν给出η（t，x，y）- ψ（t，x，y，ν）, （2.9）我们已经从函数u中删除了参数w，因为现在很清楚这个变量不起作用。

确定差异价格u的一种方法是求解（2.7）和（2.8），然后将解插入（2.9）。或者，可以直接为u寻求PDE；这两种方法都将被证明是有用的。从（2.7）中减去方程（2.8）并除以γν，很容易证明函数u满足0=t+eAu+C（u，η），u（T，x，y，ν）=ν（x，y），（2.10）C（u，η）：=（1）- ρ)(β)2(（于）(yη）- γν(（于）.注意，u的偏微分方程取决于η，即（2.7）的解。因此，为了找到u的表达式，我们必须求解一个耦合非线性偏微分方程组。还要注意的是，在找到u和η的表达式后，我们可以从（2.9）中得到ψ。让我们花点时间讨论一下上述P DE s.备注2.5（关于最小martinga-le测度）的一些概率解释。观察ea是一个过程（X，Y）的生成器，其在概率度量下的动力学由以下SDEdXt=-σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）deBXt，dYt=c（Xt，Yt）- ρβ（Xt，Yt）λ（Xt，Yt）dt+β（Xt，Yt）ρdeBXt+p1- ρdeBYt,（2.11）其中Ebxandeby是EP下的独立布朗运动。动力学（2.11）可以从（2.1）中得到，在被测PDP的Girsanov变化下Ft=exp-Ztλ（Xs，Ys）ds-Ztλ（Xs，Ys）dBXs=:eZt，（2.12）其中我们假设eZtλ（Xs，Ys）eZsds<∞.因此，eP是最小鞅测度，如Foller和Schweizer（1991）所定义。备注2.6。注：PDE（2.10）可替换为0=(t+bA）u，u（t，x，y，n）=ψ（x），（2.13），其中我们引入了线性算子bA bybA:=eA+p1- ρβOhmYOhm :=p1- ρ(β)(yη+yψ）。观察BA是一个过程（X，Y）的生成器，其在概率测量P下的动力学由以下SDEdXt描述：-σ（Xt，Yt）dt+σ（Xt，Yt）dbBXt，dYt=c（Xt，Yt）- ρβ（Xt，Yt）λ（Xt，Yt）+p1- ρβ（Xt，Yt）Ohm（t，Xt，Yt）dt+β（Xt，Yt）ρdbBXt+p1- ρdbBYt,（2.14）其中BbxandBbyare是独立的布朗运动。

动力学（2.14）可以从（2.1）中获得，在测量的BPDP的Girsanov变化下Ft=exp-Ztλ（Xs，Ys）+Ohm（s、Xs、Ys）ds-Ztλ（Xs，Ys）dBXs+ZtOhm（Xs，Ys）dBYs=:cZt，我们假设λ（Xs，Ys）+Ohm（s、Xs、Ys）bZsds<∞.如果我们还有u（·，·，·，·，ν）∈ C1,2（[0，T）×R）和beztσ（Xs，Ys）(xu（s，Xs，Ys，ν））+β（Xs，Ys）(yu（s，Xs，Ys，ν））ds<∞,然后，使用Feynman-Kac表示法，可以将PDE（2.13）c的解u写成asu（t，x，y，ν）=bEt，x，y~n（XT），其中be表示概率度量ebp下的期望。请记住，虽然PDE（2.13）是u的线性PDE，但我们还没有成功地将非线性从差异定价问题中转移出来，因为Ceba依赖于η和ψ，这分别是非线性PDE（2.7）和（2.8）的解。备注2.7。最近，inSircar和Sturm（2012）引入了SV环境下差异定价的替代方法（另见Kumar（2015））。具体而言，作者计算了两个倒向随机微分方程（BSDE）解的差分价格u（ν）。在我们的设置中，这是comesu（ν）t=γνRt- R（ν）t,dRt=-f（Z（X，0）t，Z（Y，0）t）- Z（X，0）tdBXt- Z（Y，0）tdBYt，RT=0，dR（ν）t=-f（Z（X，ν）t，Z（Y，ν）t）- Z（X，ν）tdBXt- Z（Y，ν）tdBYt，R（ν）T=-γν~n（XT，YT），其中f是严格的二次驱动。然后，作者证明了一个广义的费曼-卡克公式，使他们能够写出eη（t，Xt，Yt），R（ν）t=eψ（t，Xt，Yt，ν），其中eη和eψ求解拟线性抛物偏微分方程。当驱动因子f属于已知扭曲熵风险度量的一类函数时，eη和eψ满足的偏微分方程的形式分别与（2.7）和（2.8）完全相同（唯一的非线性来自(yeη）和(（ψ）项）。