无差异价格和隐含波动

假设（λ）isC（R）和（σ），（c- ρβλ、（β）和（ρσβ）是C（R）。然后，为了清楚起见，省略（x，y）的参数，我们有u（t）=uBS（t，·σ），（3.40）u（t）=ZTtdtG（t，t）瑞银（t，·；σ），（3.41）u（t）=u（t）+uNonlin（t），（3.42）u（t）=ZTtdtG（t，t）+zttdtdttzttdtg（t，t）G（t，t）瑞银（t，·；σ），（3.43）乌诺林（t）=（1）- ρ)(β)ZTTTZTTDT(yη（t））·yG（t，t）瑞银（t，·；σ）- γν（σ）0,12πσzttdtdt（T- t） 3/2e2k√T- t+t- 特克斯-（k）- x） +σ（T）- （t）σ（T）- t+t- t） !！. （3.44）其中运算符Gi（t，t）和函数η和ubs分别在（3.33）、（3.38）和（3.39）证明中定义。见附录B备注3。12.在方程（3.41），（3.43）和（3.44）中，作用于uBS（t，·；σ）而不是作用于函数uBS（t，·；σ）的算符所执行的关于和重的积分。这些积分可以显式计算。因此，只需将微分算子应用于uBS（t，·，σ），即可获得UAN和UAR。备注3.13。注意，我们已经分离出术语uNonlin，它源自源术语uNonlin和satis PDE（3.24）。还要注意（3.44）中的第二项带有(-ν). 因此，希望购买|ν|看涨期权的投资者将比希望出售|ν|看涨期权的投资者具有更低的差异价格，从而产生买卖价差。备注3.14。注意，如果我们将X限制为局部波动动态（即σ仅为X的函数），那么我们将处于完整的市场环境中，uNonlin=0。要看到这一点，当作用于一个独立于y的函数时，我们有yG（t，t）=（σ）0,1(十、- x） 。（3.45）从m（3.5）开始，我们还有（σ）0,1=y（σ（`x））=0。

因此，（3.44）中出现的两个术语都是零。3.3差异价格近似的精度建立非线性偏微分方程解的渐近精度是一个众所周知的困难问题。严格确定二阶微分近似u的精度远远超出了本文的范围。然而，为了确定适当使用近似的条件，有必要对近似的精度进行一些讨论。在本节中，我们确定了零阶差异价格近似值“u”的准确性，并概述了确定高阶近似值“um（m）”准确性所需的步骤和条件≥ 1).对于接下来的精度结果，最简单的方法是直接使用η的PDE（2.7）和ψ的PDE（2.8），它们与u通过（2.9）相关，而不是使用u的PDE（2.10）。由于我们尚未对ψ的PDE（2.8）进行渐近分析，我们引入0=t+eAεψε+Bε（ψε），ψε（T，x，y，ν）=-γν~n（x），ε∈ [0，1]。（3.46）根据第3.1节中的渐近分析，我们寻求形式为ψε的解ψε=∞Xn=0εnψn.（3.47）我们将ψε的展开式（3.47）插入到偏微分方程（3.46）中，并收集ε中类似幂的项。在最低阶weobtainO（1）：0=(t+eA）ψ+（1）- ρ)(β)(yψ）- （λ） ，ψ（T，x，y，ν）=-假设ψ仅是（t，x，ν）的函数。然后（3.48）变成（1）：0=(t+eA）ψ- （λ） ，ψ（T，x，ν）=-γν~n（x）。（3.49）我们可以很容易地验证（3.49）的解ψ是ψ=η- 因此，我们将（3.50）中的表达式确定为（3.48）的解ψ。

现在，我们从（2.8）中减去（3.49），得到0=(t+eA）（ψ）-ψ) - （eA）-eA）ψ+（1）- ρ)(β)(yψ）-(λ) - (λ), 0 = (ψ - ψ） （T，x，y，ν）。根据杜哈默尔原理，我们可以表示（ψ）- ψ） 如下（ψ）-ψ） （t，x，y）=-ZTtdsZRdξdηΓ（t，x，y；s，ξ，η）（eA）-eA）ψ（s，ξ，η）o=：A+（1）- ρ） ZTtdsZRdξdηΓ（t，x，y；s，ξ，η）（β）（s，ξ，η）(yψ（s，ξ，η））o=：B-ZTtdsZRdξdηΓ（t，x，y；s，ξ，η）(λ)(ξ, η) - (λ).o=：cw这里Γ是抛物算子的基本解(t+eA）。我们希望约束A、B和C。要做到这一点，我们必须对A和终端数据φ的系数施加一些条件。假设3.15。用Cm表示一类有界函数，其导数高达m阶areLipschitz连续。定义以下标准：1b=mXk=0kf∞, 与kfkC合作-1,1b=kf k∞.我们假设存在一个常数M>0，使得下列条件成立：（i）非形椭圆率：（1/M）|ξ|≤Xi，j=1Ai，j（x，y）ξiξj≤ M |ξ|，ξ、 （x，y）∈ R、 A=（σ）（ρσβ）（ρσβ）（β）！。（ii）正则性和有界性：系数（λ）、（β）、（σ）、（ρσβ）和（c）-ρβλ）是Cm，1b（R），其nor ms k·kCm，1b以M为界。（iii）终端数据协议∈ Ck-1,1b，大约0≤ K≤ 2.在第3.3节的其余部分（仅第3.3节）中，假设3.15有效。让我们引入τ=T-t、 利用Γ的经典性质，（Lorig等人，2015a，定理3.10）确定A=O（τ1+k）和c=O（τ）为τ→ 0.为了约束B，我们注意到(yψ）在[0，T]×Rby中一致有界（Ladyzhenskaia等人，1988年，定理V.8.1）。因此，根据假设3.15（ii），我们将C=O（τ）作为τ→ 0.自（ψ）- ψ） =A+B+C，由此得出（ψ）- ψ） =O（τ）∨ O（τ1+k）。η的类似分析表明（η- η） =O（τ）。

因此，我们有- \'u=u- u=γν(η -ψ) - (η- ψ)=γν(η -η) - （ψ）-ψ)=γνO（τ）∨ O（τ1+k）- O（τ）= O（τ）∨ O（τ1+k）。因此，我们确定零阶差异近似值“usatis FIES”u- \'u |=O（τ）∨ O（τ1+k）为τ→ 0.确定第m阶近似值准确性所需的步骤类似。首先，找到满足（ψ）的模型-ψm）和（η）- ηm）。接下来，用杜哈默尔原理来表示（ψ）-ψm）和（η）- ηm）作为涉及Γ的积分。然后，使用Γ的经典性质来约束结果。最后，乌苏- \'um=γν(η - ηm）- (ψ -ψm）,绑定（u）- 嗯）。由于必须分析的项数增加，高阶近似精度证明的细节显然涉及更多。3.4隐含波动性渐近在本节中，我们将对看涨期权差异价格的扩展转化为对隐含波动性的扩展。假设3.16。在本节中，我们定义了一个LSV模型（x，Y）、一个时间t、一个到期日t>t、初始值（Xt，Yt）=（x，Y）、一个看涨期权（Xt）=（eXT- ek）+和许多合同。假设3.16将差异价格u作为（2.10）的解。我们的目标是找出与这种特殊差异买入价对应的隐含波动率。为了简化符号，在下面的内容中，我们将抑制对（t，t，x，y，k，ν）的大部分依赖。然而，读者应该记住，所考虑的选项的隐含效用确实取决于（t，t，x，y，k，ν），即使没有明确指出这一点。首先，我们提供了隐含波动率的定义，这将贯穿本节。定义3.17。

对于固定（t，x，t，k），对应于买入价格p的隐含波动率≥ （例如- ek）定义为方程uBS（I）=p的唯一严格正实解I。其中，在（3.39）中定义的uBS仅被视为波动率的函数。我们的目标是找到与看涨期权的差异价格u对应的隐含波动率I c。为此，我们引入修正的隐含波动率Iε，解touBS（Iε）=uε，ε∈ [0,1]，（3.51），其中uε求解（3.3）。通过将Iε展开为ε：Iε的幂，我们将寻求Iε到（3.51）的渐近解=∞Xi=0εiIi.（3.52）我们对uBS（I）=u的渐近解（我们感兴趣的情况）将通过设置ε=1获得。我们将rt表达式（3.4）和（3.52）嵌入到（3.51）中，用ε的幂展开两边，并收集类似顺序的项。我们得到O（1）：u=uBS（I），O（εk）：um=ImσuBS（I）+mXk=2k！XIm，kkYj=1ijkσuBS（I），m≥ 1，Im，k:=ni=（i，i，·ik）∈ Nk:kXj=1ij=mo.（3.53）从定理3.11中注意到，u=uBS（σ），我们可以递归地求解上述方程y（1）：I=σ，（3.54）O（εm）：Im=σuBS（I）嗯-mXk=2k！XIm，kkYj=1ijkσuBS（I）, M≥ 1.（3.55）明确地说，O（ε）和O（ε）项的阶数由O（ε）：I给出=σuBS（I）u，O（ε）：I=σuBS（I）U-我σuBS（I）, （3.56）达到目的后，我们现在将ε设为1，并进行以下定义3.18。与看涨期权的不同价格u相对应的隐含波动率的mth阶近似值定义为“Im=mXi=0Ii，其中Iand Ii（i≥ 1） 分别由（3.54）和（3.55）给出。备注3.19。一般来说，我们对差异价格u的展开是渐进的，而不是收敛的。此外，我们的隐含波动率展开也是渐近的。

然而，值得注意的是，如果一个ha的集合扩展为一个集合价格uε的形式uε=瑞银（σ）+∞Xn=0εnun，则得到的隐含波动率扩展Iε=P∞只要uε在[uBS]幂级数展开的收敛半径范围内，n=0εninine xact-1关于瑞银（σ）。对于感兴趣的读者，收敛性在（Lorig，2013，定理4.3和备注9）中得到了证明。注意Ii（i）的表达式≥ 1） 包含uj（j≤ 我-1). 自从我≥ 1） 作为作用于u=uBS（σ）的微分方程计算，很难识别隐含波动率面作为波动时间函数的行为-t和对数走向k。以下命题提供了对数走向k和成熟时间τ=t的明确表示- t、 提案3.20。让假设3.16保持不变。用τ表示到期时间：=T- t和log moneynessby L=k- x、 固定泰勒级数展开式的展开点（\'x，\'y）=（x，y）。定义=σ，b=β，f=c- ρβλ，g=ρσβ。假设（λ）是C（R），a，b，f和g是C（R）。然后，（3.56）中定义的Iand I由I=I1,0+I0,1，I=I2,0+I1,1+I0,2+INonlin给出，其中I1,0=a1,02σ五十、 I0,1=τa0,1（g0,0+2f0,0）4σ+a0,1g0,02σ五十、 andI2,0=τσa2,0-a1,08σ+ τ-σa1,0+2σa2,0- 3a1012σ五十、 I1,1=τ12σσa1,1g0,0+a0,1a1,0g0,0- 2σg1,0+τ48σ- a0,1a1,0g0,0+τ24σ2σa1,1（g0,0+2f0,0）+a0,12σ（g1,0+2f1,0）- 5a1,0（g0,0+2f0,0）L+6σσa1,1g0,0+a0,1σg1,0- 5a1,0g0,0五十、 I0,2=τ24σ4σa0,23σb0,0- g0,0+ a0,1a0,19g0,0- 8σb0,0- σg0,0,1+τ24σa0,1-2σa0,1b0,0+g0,0σ（g0,1+2f0,1）- 3a0,1f0,0+ a0,1f0,02σ（g0,1+2f0,1）- 3a0,1f0,0+ σa0,2（g0,0+2f0,0）+τ24σa0,1g0,04σ（g0,1+f0,1）- 18a0,1f0,0- 9a0,1g0,0+4σg0,1f0,0+ 4σa0,2g0,0（g0,0+2f0,0）L+12σa0,1a0,14σb0,0- 9g0,0+ 2σg0,0g0,1+ 2σa0,2g0,0五十、 INonlin=（1）- ρ)(β)-2(λ)0,1(σ)0,1τ3σ- γν(σ)0,1σ√2πek√τexpL+στ2στ!ZTtdt（T- t） 3/2√τ+t- 特克斯-L+στσ（τ+t）- t） !！.

（3.57）证据。证据见附录C备注3.21。注意，我们已经分离出术语INonlin=uNonlin/σuBS。这一术语源于差异定价的非线性方面，并在隐含波动率面上产生买入-卖出价差。具体而言，近似的买卖价差是（3.57）中第二项绝对值的两倍。备注3.22。Asτ→ 我们有INonlin→ 0因为对于t∈ 我们有经验2τ-τ+t- T≤ 经验2τ-2τ= 1和（T）- t） 3/2√τ√τ+t- T≤τ3/2τ=√τ.备注3.2.3。正如我们在uNonlin中发现的，Inonlin中的第二个术语是(-ν). 因此，欧洲看涨买方的隐含波动率面近似值将严格低于欧洲看涨买方的隐含波动率面近似值。4非交易资产的期权在第3节中，我们推导出了一个欧洲式索赔的近似独立价格表达式，该索赔的有效函数仅取决于交易资产的终值。我们现在考虑一种欧洲风格的索赔，其支付函数仅取决于非交易基础YT的终值。非交易标的期权包括（i）员工股票期权（见亨德森（2005）；Leung and Sircar（2009）），其中一名高管被授予其雇主股票的期权，但由于监管规则（ii）黄金、白银或大豆等实物商品价格的期权（Geman（2009）），以及（iii）天气衍生品，其报酬取决于实现的天气统计数据，例如平均或最低温度和累积降雨量（Alato n等人（2002））。假设4.1。

在第4节中，我们考虑formdXt的动力学=u（Yt）-σ（Yt）dt+σ（Yt）dBXt，dYt=c（Yt）dt+β（Yt）ρdBXt+p1- ρdBYt.（4.1）我们进一步假设欧洲索赔的支付函数仅为y的函数。4.1 PDE渐近性我们的目标是确定欧式未定权益的差异价格u，带支付金额（YT）。由于在形式（4.1）的一般动力学下没有明确的差异价格公式，我们将寻求u的近似值。由于Y不可交易，因此在任何风险中性度量下，它不受鞅的限制。因此，没有必要将隐含波动率作为支付（YT）索赔的符号。在第3节中，我们通过两个步骤获得了差异价格u的近似值：首先，我们获得了η的近似值，即偏微分方程（2.7）的解。然后，我们找到了u的近似值，即pDE（2.10）的解。在本节中，我们将采用另一种方法。我们将寻求ψ的近似值，即偏微分方程（2.8）的解。然后，使用η=ψ|ν=0，我们将通过（2.9）获得u的近似值。如第3节所述，为了找到ψ的近似值，我们引入ψε，即0的解=t+eAεψε+Bε（ψε），ψε（T，y，ν）=-γν~n（y），ε∈ [0,1]，（4.2），其中ψε仅取决于（t，y，n），因为系数（u，σ，c，β）和支付函数中的系数都不依赖于x。一如既往，我们将通过扩展ε的幂来寻求（4.2）的渐近解。我们感兴趣的PDE（2.8）的近似解将通过设置ε=1获得。将PDE（4.2）与（3.2）进行比较，这两种PDE的相似性可能表明，我们可以获得（4.2）的近似解，只需对我们之前获得的PDE（3.2）的近似解进行少量修改。然而，事实并非如此。

难以找到（4.2）的近似解源于终端条件ψε（T，y，ν）=- γν~n（y）。因为终端条件依赖于y，零阶近似ψ也必须依赖于y。在PDE（3.2）中，情况并非如此，终端条件ηε（T，x，y）=0导致了与y无关的z e roth阶近似η（T）。由于（4.2）的零阶解必须依赖于y，非线性项(yψε）在bε（ψε）中出现，保持在零阶偏微分方程中。然而，可以消除PDE（4.2）中的非线性。在Zariphopoulou（2001）之后，我们设置ψε=（1）- ρ） logξε，（4.3）在（4.2）中插入（4.3），我们看到ξε满足度0=(t+（eA′）εξε，ξε（t，y，ν）=θ（y，ν），（4.4）（eA′）ε：=eAε- (1 - ρ） （λ）ε，θ（y，ν）：=exp-γν(1 - ρ） ~n（y）.注意（4.4）是一个线性抛物线柯西问题。我们可以使用第3节中描述的泰勒级数展开法获得ξε的近似值。注意到（eA′）ε可以写成幂级数inε，我们假设解ξε也可以写成这种形式（eA′）ε=∞Xi=0εieA′i，eA′i=eAi- (1 - ρ） （λ）i，ξε=∞Xi=0εiξi.（4.5）在（4.4）中插入（4.5）并收集ε的类似幂项，我们发现（1）：0=(t+eA′）ξ，ξ（t，y，ν）=θ（y，ν），（4.6）O（εm）：0=(t+eA′）ξm+mXk=1eA′kξm-k、 ξm（T，y，ν）=0。（4.7）上述嵌套柯西问题序列已在Lorig等人（2015b）中明确解决。我们将在下一节简要回顾结果。4.2显式表达式设P′（t，t）是由ea′生成的算子半群，在（3.33）中的Gi（t，t）由ea′ii构造的同一个等式中，由ea′ii构造G′i（t，t）。具体而言，我们定义了（t，t）：=exp- （T）- t） （1）- ρ)(λ)P（t，t），G′i（t，t）：=eA′i（Y（t，t））。我们现在可以提供ξi（i）的精确表达式≥ 0).提议4.2。

假设系数（λ），（c- ρβλ）和（β）是Cm（R），θ（·ν）是最显著的增长。然后（4.6）和（4.7）的唯一经典解通过（为了清楚起见省略（y，ν）参数）ξ（t）=P′（t，t）θ，ξm（t）=L′m（t，t）ξ（t）给出，其中算子L′（t，t）由L′m（t，t）给出：=mXk=1zttdtdtdtdtdtdtdtt··ZTtk-1dtkXIm，kG′i（t，t）G′i（t，t）·G′ik（t，tk），其中Im，kis定义于（3.53）。证据参见（Lorig等人，2015b，定理7）。现在我们想把ξε的展开式转化为ψε的展开式。用εweobtainO（1）的幂展开（4.3）：ψ：=（1）- ρ） logξ，（4.8）O（εm）：ψm:=（1）- ρ） mXk=1(-1） k-1kξ-Kxi∈Im，kkYj=1ξij, （4.9）在（3.53）中定义了Im和kis。注意，对于每一个i，ηi（t，y）=ψi（t，y，0）≥ 0.考虑到（2.9），我们现在确定差异价格的第m阶近似值。定义4.3。让假设4.1保持不变。假设系数（λ），（c- ρβλ）和（β）是Cm（R），θ（·，ν）是一个指数增长最快的t。然后，差异价格的第m阶近似值由“um=γν”给出ηm-ψm,ψm:=mXi=0ψi，\'ηm（t，y）：=\'ψm（t，y，0），（4.10），其中ψ由（4.8）和ψi（i）给出≥ 1） 由（4.9）给出。4.3差异价格近似值的准确性在本节中，我们将建立差异价格u的误差估计值。要建立这些估计值，我们需要以下假设：假设4.4。我们认为存在一个常数M>0，如下所示：（i）非形椭圆度：1/M≤ (β) ≤ M（ii）正则性和有界性：系数（λ）、（β）和（c）- ρβλ）是Cm，1b（R），它们的范数为k·kCm，1b以M为界，其中Cm，1b（R）和k·kCm，1在假设3.15中定义。（iii）终端数据θ满足θ（·，ν）∈ Ck-1,1b，大约0≤ K≤ 2.定理4.5。让假设4.4保持不变。设ξ为ε=1的柯西问题（4.4）的解。