能源市场衍生品定价：无限维方法

也就是说，温度未来可以用（2.1）表示，其中（2.4）ew（T；T，T）=1作为权重函数。我们参考Benth和ˇSaltyt˙e Benth[12]讨论天气未来以及各种温度指数的定义。在这里，我们还可以讨论更近期的风能期货，除了对f的不同指数解释外，它可以表示为温度期货。我们的目标是（2.1）中f（t，t，t）的所谓Musiela表示。定义x:=T- t、 截至掉期开始交付的时间，以及l = T- T> 0交换的交付时间。通过旋转g（t，y）：=f（t，t+y），我们很容易得到（2.5）Gwl（t，x）：=F（t，t+x，t+x+l) =Zx+lxwl（t，x，y）g（t，y）dy，对于权函数wl（t，x，y）由（2.6）w定义l（t，x，y）：=ew（t+y；t+x，t+x+l) ,y在哪里∈ [x，x+l], 十、≥ 0和t≥ 0.参考权重函数ew的不同情况，我们发现：l（t，x，y）=1表示温度（风）合同（ew如（2.4）所示），wl（t，x，y）=1/l 对于正向式电力（天然气）交换（使用（2.2）中的ew）。更有趣的是未来风格的powerswaps，产量为（2.7）wl（t，x，y）=r1- E-RlE-r（y）-x） 。在这里，我们使用了（2.3）。注意，所有这些情况都会导致权重函数wl这和时间无关。此外，在（2.7）中给出了唯一依赖于x和y的情况，在wl取决于你- x、 为了简单起见，我们将仅限于以下情况：l是时间独立且静止的。通过稍微滥用符号，我们考虑重量函数swl: R+→ R+，因此（2.8）Gwl（t，x）=Zx+lxwl（y）- x） g（t，y）dy。基于上述不同情况，我们假设权重函数u7→ Wl（u） 是积极的、有边界的和可测量的。遵循Benth和Kr–uhner[14，第。

4] ，我们可以代表Gwl作为g上的线性算子，在执行简单的分段积分后，即Gwl（t） =Dwl（g（t））其中，对于一般函数g∈ Hα，（2.9）Dwl（g） =Wl(l)Id（g）+Iwl（g） 。这里，Id是身份操作符和函数u7→ Wl（u） ，u≥ 0定义为（2.10）Wl（u） =Zuwl（v） dv。HDD是加热度天数的缩写，CDD是冷却度天数，CAT是累积平均温度的缩写。6 BENTH和KR–UHNERAs wl是一个可测且有界的函数，Wl对于每一个美国≥ 0.请注意l（u） 当你→ ∞. 例如，Wl倾向于以u表示wl= 1/l或者wl（u） =1。然而，当wl是（2.7）中W的极限l存在。自从wl是积极的，功能→ Wl（u） 越来越多。因此，Wl(l) > 0和Dw的第一项l在（2.9）中，是Hα上的指示符，由正数W标度l(l). 此外，Iwl在（2.9）中是积分算子（2.11）Iwl（g） =Z∞qwl（·，y）g′（y）dy，带核（2.12）qwl（x，y）=（W）l(l) - Wl（y）- x） ）1[0，l]（y）- x） 。在我们展示Iw之前l是Hα上的一个有界算子，我们来看一个特殊情况：考虑一个简单的前向式幂交换，即wl（u） =1/l. 我们得到了Wl（u） =u/l, 因此l(l) = 1（2.9）中的第一项只是Hα上的恒等式算子。积分算子Iwl内核有问题吗l（x，y）=l（x+l - y） 1[x，x+l]（y） 。Benth和Kr–uhner[14，第4节]对这个例子进行了分析。它们表明积分算子Iwl在这种情况下，是Hα上的一个有界线性算子，这意味着t7→ 吉瓦l（t） is是一个随机过程，Hα中的值与t7一样长→ g（t）是一个Hα值过程。结果表明，积分算子Iw的有界性l对于我们这类更一般的权函数也是如此。这体现在下一个命题：命题2.1中。

假设u 7→ Wl（u） 为了你∈ R+是正的、有界的和可测量的，它认为Iwl是Hα上的有界线性算子。证据显然，qwl（x，y）在R+上是可测量的。此外，它对于y是有界的∈ [x，x+l]0≤ Wl(l) - Wl（y）- x） =ZlY-xwl（u） 杜≤ Cl ,其中c是常数wl. 因此，0≤ qwl（x，y）≤ Cl. 就这样∞α-1（y）（qw）l（x，y）dy≤ ClZ∞α-1（y）dy<∞Benth and Kr¨uhner[14]中Cor.4.5的第1部分适用。这意味着积分算子Iwl是所有g∈ Hα。我们继续证明，同样推论的第2部分也成立。作为简写符号，对于给定的g∈ Hα，ξ（x）：=Z∞qwl（x，y）g′（y）dy=Zx+lx（W）l(l) - Wl（y）- x） g′（y）dy。特别地，ξ（0）=Zl（W）l(l) - Wl（y） g′（y）dy=ZlZlywl（u） 杜戈（y）dy。因此，我们发现ξ（0）=ZlZlywl（u） 杜格（y）迪！≤ZlZlywl（u） du|g′（y）|dy！≤ZlWl（u） 杜！Zl|g′（y）|dy！=Wl(l)Zlpα（y）| g′（y）|pα（y）-1dy！能源市场中的衍生品定价：无限维方法7≤ Wl(l)Zlα-1（y）dyZlα（y）g′（y）dy≤ Wl(l)Zlα-1（y）dykgkα，其中，在第二个不等式中，我们使用了wl是正的，第三个是柯西-施瓦茨不等式。回想一下，假设∞α-1（y）dy<∞. 此外，它认为ξ′（x）=ddxZx+lx（W）l(l) - Wl（y）- x） g′（y）dy=（W）l(l) - Wl(l))g′（x+l) - （W）l(l) - Wl（0）g′（x）+Zx+lx(-W′l（y）- x） )(-1） g′（y）dy=Zx+lxwl（y）- x） g′（y）dy- Wl(l)g′（x），因此ξ有一个（弱）导数。通过三角不等式ξ′（x）≤ 2Wl(l)g′（x）+2Zx+lxwl（y）- x） g′（y）dy！。我们考虑右边的第二项：柯西-施瓦茨不等式和W的有界性l,Z∞α（x）Zx+lxwl（y）- x） g′（y）dy！dx≤Z∞α（x）Zx+lxwl（y）- x） |g′（y）|dy！dx≤Z∞α（x）Zx+lxwl（y）- x） dyZx+lxg′（y）dy-dx≤ ClZ∞Zx+lxα（y）g′（y）dy-dx≤ Clkgkα，在使用该α是非递减的和Fubini定理之后。

总结这些估计，我们优化了ξkξkα=|ξ（0）|+Z的hα范数∞α（x）ξ′（x）dx≤ Wl(l)Zlα-1（y）dykgkα+2Wl(l)kgkα+2clkgkα≤ Ckgkα，对于正常数C，然后ξ∈ Hα，我们可以从Benth和Kr–uhner[14]的Cor.4.5中得出结论l是Hα上的连续线性算子。这一命题如下。来自道具。2.1紧随其后的是Dwlin（2.9）是Hα上的连续线性算子，因为它是标度恒等式算子和积分算子Iw的和l. 此外，对于g∈ Hα，它（通过检查第2.1项的证明）持有Thak | Dwl（g） kα≤Wl(l) +西南l(l)（2+Z）lα-1（y）dy）+2clkgkα，它为我们提供了Dw算子范数的上界l. 此外，它立即从道具开始。2.1我们可以在Hα中实现互换价格曲线的动态。例如，如果g（t）是一个Hα值随机过程，那么t7→ 吉瓦l（t） 这将是一个随机过程，其值也是Hα。8 BENTH和KR–UHNER3。欧洲能源远期和未来期权在能源交易所，普通的看涨期权和看跌期权用于期货和远期合同的交易。例如，在NordPool，人们可以买卖季度结算的电力期货合约的期权，而在CME，人们可以买卖天气期货的期权，包括HDD/CDD和CATtemperature期货。纽约商品交易所（NYMEX）提供天然气期货的期权交易，以及许多其他能源和商品期货衍生品（包括不同的石油混合物）。考虑在时间T的[T，T]和价格f（T，T，T）期间交付的能源远期合同的欧洲期权，其中期权的行使时间为0≤ τ ≤ 某些函数p:R的Tand支付p（F（τ，T，T））→ R.对于普通的看涨期权和看跌期权，我们有p（x）=max（x- K、 0）orp（x）=最大（K-x、 分别为。，在执行价表示为K的情况下，我们一般假设p是最多线性增长的可测函数。

我们回忆起表示F（t，t，t）=Dwl（g（t））（t- t） 。以下命题提供了有限维互换价格的链接：命题3.1。假设p最多是线性增长的。它认为P（F（τ，T，T））=Pl（T）- τ、 g（τ）），对于非线性泛函Pwl: R+×Hα→ 由PW定义的Rl（x，g）=po δxo Dwl（g） 。在这里l = T- 此外，还存在一个常数cl> 0取决于l 这样|Pwl（·，g）|∞≤ Cl（1+kgkα）。证据因为我们有F（τ，T，T）=GwT-T（τ，T）- τ），第一个声明如下。从p的线性增长中，我们发现|Pwl（x，g）|=|p（Dw）l（g） |≤ c（1+| Dw）l（g） （x）|），对于正常数c.SinceR∞α-1（y）dy<∞, 我们通过Benth和Kr¨uhner[14]中的引理3.2发现l（·，g）|∞= 好的∈R+| Pl（x，g）|≤ c（1+kDw）l（g） kα），对于正常数c>0。但是Dwl是Hα上的连续线性算子。2.1，因此isDw也是如此l. 最后一项声明如下，证据完整。考虑大前锋的特殊情况，我们记得wl（u） =1/l. 在这种情况下，weobserveliml↓0Gwl（t，x）=lZx+lxg（t，y）dy|l=0=g（t，x）。因此，我们可以理解PWW的意义l（u） =1/l as（3.1）P（x，g）=Po δx（g）。给，x∈ R+和g∈ Hα，在这种特殊情况下，我们使用简化符号pin代替pw。我们注意到，非线性算子pw将是远期期权的收益，其交付时间为固定的x，而不是持续的交付期l > 0，因为它保持（3.2）p（f（τ，T））=p（T- τ、 g（τ）），对于τ≤ T例如，纽约商品交易所（NYMEX）的石油市场以固定交货时间的远期和期货以及这些合同的期权进行交易。

从Benth和Kr¨uhner[14]中的引理3.2可以直接看出| P（·，g）|∞= 好的∈R+| p（g（x））|≤ c（1+supx）∈R+| g（x）|）≤ 对于α，k+g∈ Hα和一个最大线性增长的支付函数p。假设g（t）是Hα中满足（3.3）E[kg（t）kα]的随机过程∞,能源市场中的衍生品定价：一种适用于所有9t的无限维方法≥ 0.时间0时的价格V（t）≤ T≤ 在时间0<τ时，收益为p（F（τ；T，T）的期权的τ≤ 其表示为（3.4）V（t）=e-r（τ）-t） E[Pwl（T）- τ、 g（τ））|Ft]。Prop很好地定义了这种期望。3.1对于任何给定的l > 0.如果我们选择wl（u） =1/l, 那么（3.4）中的期权价值也包含了固定交割远期合约，即支付P（f（τ，T）），（3.5）V（T）=e的期权-r（τ）-t） E[P（t- τ、 g（τ））| Ft]。这在假设（3.3）下也得到了很好的定义。3.1。马尔科夫向前曲线。我们想分析一类马尔可夫前向曲线动力学的期权价格，其中过程g（t）被指定为（一阶）随机偏微分方程的解。我们将关注由有限维L’evy过程驱动的动力学。在继续之前，让我们首先介绍一些一般概念（参见Peszat和Zabczyk[32]了解以下内容）：在可分Hilbert空间H中具有值的随机变量X是平方可积ifE（kXk）<∞. 如果X是平方可积的，Q∈ 对于任何u，v，L（H）被称为X ifE（hX，uihX，vi）=hQu，vi的协方差算子∈ 这里，H·，·i是H的内积，k·k是相关范数。以下结果可在Peszat和Zabczyk[32，Thm.4.44]中找到，并在此处说明以方便使用。引理3.2。设X为平方可积H值随机变量，其中H为可分hilbert空间。然后有一个唯一的算子Q∈ L（H），使得Q是X的协方差算子。此外，Q是正半限定迹类算子。

因此，存在正交基（en）n∈IofH与序列（λn）n∈我∈ l（I，R+）使得qu=Xn∈Nλnhen，u等于任何u∈ H.对于可分Hilbert空间H，L:={L（t）}t≥如果L具有独立且平稳的增量、随机连续的路径，且L（0）=0，则0是H值L’evy过程。这种定义见于Peszatand Zabczyk[32，第4章]，事实上可以在一般的Banach空间上表述。我们顺便说一下。4.44在Peszat和Zabczyk[32]中，是为列维工艺制定的。现在让我们把注意力移回到对远期利率动力学的建模上，假设L是一个平方可积的H值L'evy过程，均值为零，并用Q表示其协方差算子。此外，让σ：R+×Hα→ L（H，Hα）是一个可测映射，并假设存在一个递增函数K:R+→ R+使得以下Lipschitz连续性和线性增长成立：对于anyf，h∈ Hα和t∈ R+，kσ（t，f）- σ（t，h）kop≤ K（t）kf- hkα，（3.6）kσ（t，f）kop≤ K（t）（1+kfkα）。（3.7）考虑Hα值随机过程{g（t）}t的动力学≥0由随机偏微分方程（3.8）dg（t）定义xg（t）dt+σ（t，g（t））dL（t）。让Sx，x≥ 0表示Hα上的右移运算符，即Sxf=f（x+·）。然后sx是由算子生成的C-半群x（见菲利波维奇[25，Thm.5.1.1]）。从Benth和Kr¨uhner[14]中的引理3.5来看，Sx是准收缩的，即存在一个正常数c，使得kSxkop≤ t>0时的经验（ct）。因此，指Thm。4.5在Tappe[35]中，有一种独特的温和溶液（3.8）用于s≥ t、 也就是说，一个c\'adl\'AGG过程∈ Hα满足（3.9）g（s）=Ss-tg（t）+ZstSs-uσ（u，g（u））dL（u）。F（t，t，t）通勤的班次和定价运算符，允许查找（·t，t，t）的动态。此外，这种动力学表明t 7→ F（t，t，t）在我们的设置中是一个鞅。10 BENTH和KR–UHNERLemma 3.3。

我们有SxDwl= Dwl对于任何x≥ 因此，我们有（3.10）F（s，T，T）=δT-tDwlg（t）+Zstδt-uDwl任意0的σ（u，g（u））dL（u≤ T≤ s、 证据。第一个等式来自一个简单的计算。将方程（3.9）中的温和解应用于F（s，T，T）=δT-sDwlg（s），则在使用了减刑属性后，索赔随之发生。下面我们可以方便地知道Sx在算子范数中是一致有界的：引理3.4。它认为kSxkop≤ 最大2（1，R）∞α-1（y）dy）代表x≥ 0.证明。接下来是一个直接的计算：根据微积分的基本定理，初等不等式2ab≤ a+带α是非递减的，我们发现f∈ HαkSxfkα=f（x）+Z∞α（y）| f′（x+y）| dy=f（0）+Zxf′（y）dy+Z∞xα（y）- x） |f′（y）|dy≤ 2f（0）+2Zxα-1/2（y）α1/2（y）f′（y）dy+Z∞xα（y）| f′（y）| dy。利用我们发现的柯西-施瓦茨不等式，kSxfkα≤ 2f（0）+2Zxα-1（y）dyZxα（y）| f′（y）| dy+Z∞xα（y）| f′（y）| dy。因此，kSxfkα≤ 最大值（2，2R）∞α-1（y）dy）kfkα，引理如下。从（3.9）开始，g的动力学变成了马尔可夫动力学。这尤其意味着（3.4）中定义的V（t）可以表示为（3.11）V（t，g）=e的V（t）=V（t，g（t））（稍微滥用符号）-r（τ）-t） EPl（gt，g（τ））.在这里，我们使用了符号gt，g（s）s≥ t表示过程g（s），s≥ t、 从时间t的g开始，例如gt，g（t）=g，g∈ Hα。我们将用平移算子的连续性作为Hα上的线性算子来证明泛函g7的lipschitz连续性→ V（t，g），在t中是一致的≤ τ. 回想一下，τ是相关选项的练习时间。提案3.5。假设支付函数p是Lipschitz连续的，波动率函数g7→σ（s，g）满足（3.6,3.7）中的Lipschitz和线性增长条件。然后，存在一个正常数（取决于τ），比如≤τ| V（t，g）- V（t，eg）|≤ Ckg- egkα，代表g，eg∈ Hα。证据

因为p是Lipschitz连续的，所以g 7→ Pl（x，g）从P开始Lipschitz是连续的吗l（x，·）=po δxo Dwl, 和δx，Dwl是有界线性算子。此外，Lipschitz连续性在x中是一致的，正如Benth和Kr¨uhner[14]中引理3.1所示，δxsatieskδxkop的算子范数=1+Zxα-1（y）dy≤ 1+Z∞α-1（y）dy<∞.因此，存在一个常数CP>0，使得| Pl（x，g）- Pl（x，例如）|≤ CPkg- egkα。因此| V（t，g）- V（t，eg）|≤ CPEhkgt，g（τ）- gt，eg（τ）kαi.能源市场中的衍生品定价：一种无限维方法11因为gt，g（τ）=Sτ-tg+ZτtSτ-sσ（s，gt，g（s））L（s）由三角形不等式和引理3.4kgt，g（τ）得到- gt，eg（τ）kα≤ kSτ-t（g）- eg）kα+kZτtSτ-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））dL（s）kα≤ ckg- egkα+kZτtSτ-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））dL（s）kα，其中常数c为正，实际上在引理3.4中明确给出。通过It^o等距，它如下，EkZτtSτ-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））dL（s）kα=ZτtEhkSτ-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））Q1/2kLHS（H，Hα）ids。现在让我们来看看∈ L（H，Hα）。然后，我们得到了ksxt Q1/2kLHS（H，Hα）≤ kSxkopkT kopkQ1/2kLHS（高）≤ ckT kopkQ1/2kLHS（高）。设T=σ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））和x=τ- s、 我们从（3.6）kSτ中σ的Lipschitz连续性中发现-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））Q1/2kLHS（H，Hα）≤ ckQ1/2kLHS（H）kσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））kop≤ cK（s）kQ1/2kLHS（H）kgt，g（s）- gt，eg（s）kα。但在σ的Lipschitz连续性中，K是一个增函数，所以K（s）≤ K（τ）。

因此，EkZτtSτ-sσ（s，gt，g（s））- σ（s，gt，eg（s））dL（s）kα≤ cK（τ）kQ1/2kLHS（H）ZτtEhkgt，g（s）- gt，eg（s）kαids。如果我们现在应用初等不等式（a+b）≤ 2a+2b，我们导出了hkgt，g（τ）- gt，eg（τ）kαi≤ 2公斤- egkα+2ckQ1/2kLHS（H）K（τ）ZτtEhkgt，g（s）- gt，eg（s）kαids。Gr–onwall不等式则产生，Ehkgt，g（τ）- gt，eg（τ）kαi≤ 2ce2ckQ1/2kLHS（H）K（τ）（τ）-t） 千克- egkα。因此，我们从詹森不等式中导出|V（t，g）- V（t，eg）|≤ 人物配对关系√2ce（2cK（τ）kQ1/2kLHS（H）τkg- egkα，结果如下。该命题表明，只要考虑Lipschitz连续支付函数和波动率算子σ，期权价格在初始正向曲线上是一致Lipschitz连续的。我们注意到看跌期权和看涨期权具有Lipschitz连续支付函数。泛函G7一致Lipschitz性质的一种直接解释→ V（t，g）表示期权价格相对于初始曲线g中的小扰动是稳定的。这意味着在实际情况下，期权价格对于初始曲线规格中的小误差是稳健的。重要的是要注意，在实践中，我们只有12个BENTH和KR–Ugenerable一组离散的远期价格，因此初始曲线g的规格可能会出现误差，因为它不是完全可观测的。道具的另一个有趣应用。3.5是在我们希望计算有限维曲线g的有限维投影的价格时，期权定价误差的主要部分。回想一下，从实际市场的角度来看，我们只知道整个曲线g的有限子集。这是我们现在讨论的情况：让{ek}k∈Nbe是Hα的正交基，并定义投影算子Γn:Hα→ Hnαby（3.12）Γng=nXk=1hg，ekiαek，其中Hnα是Hα的n维子空间，由基{e，…，en}跨越。