能源市场衍生品定价：无限维方法

以Γng作为初始曲线的期权价格变为Vn（t，g）：=V（t，Γng），我们从Prop中得出。3.5支持≤τ| V（t，g）- Vn（t，g）|≤ Ckg- Γngkα。但是，当n→ ∞ 它源于Parseval的identitykg- Γngkα=∞Xk=n+1 | hg，ekiα|→ 0，通过选择足够大的n，我们可以在理想的误差范围内近似V（t，g）。注意，对于bV（t，x，…，xn）：=V（t，nXk=1xkek），我们有Vn（t，g）=bV（t，hg，eiα，…，hg，eniα）。我们可以将bv（t，x，…，xn）视为Hα值随机过程g上的期权价格，该过程在时间t开始于有限维子空间Hnα，其值为HΓng，ekiα=xk，k=1，n、 根据g的动力学，我们不能保证过程g将保持在Hnα中，因此在时间τ时，我们通常有gt，Γng（τ）/∈ Hnα。事实上，它可能真正存在于有限维对象中，因此不存在于任何Hmα，m中∈ N.此外，需要注意的是，这种近似Γng通常不是定价测度Q下的鞅，因此期权价格Vn（t，g）不会是无套利的。在即将发表的论文[16]中，我们研究了无套利的有限维近似。3.2. 算术高斯情况。假设g解简单的线性Musiela方程（3.13）dg（t）=xg（t）dt+σ（t）dB（t），其中B是一个H值Wiener过程，协方差算子Q和H是一个可分离的Hilbert空间。假设波动率σ是一个随机过程σ：R+7→ L（H，Hα），其中σ∈ LB（Hα），关于B的随机积分的被积函数空间（见Peszat和Zabczyk[32]第8.2节）。这是上述一般马尔可夫动力学的一个特例，温和解变成（3.14）g（τ）=Sτ-tg（t）+ZτtSτ-sσ（s）dB（s），对于τ≥ t、 我们现在分析（3.4）和（3.5）中定义的这一特定动力学的V（t）。

首先回顾引理3.3，即f（τ，T，T）=δT-tDwlg（t）+Zτtδt-sDwlσ（s）dB（s）对于任何t∈ [0, τ ].根据Benth和Kr¨uhner[14]中的定理2.1，F（τ，T，T）=δT-tDwlg（t）+Zτteσ（s）dB（s）（3.15）对于任何t∈ [0，τ]式中eσ（s）=（δT-sDwlσ（s）Qσ*（s） （δT）-sDwl)*)（1） B是标准布朗运动。能源市场中的衍生品定价：无限维方法13这意味着v（t，g（t））=e-r（τ）-t） E[p（F（τ，t，t））]在非随机波动的情况下，我们发现V的以下特定结果：命题3.6。设σ为非随机。那么我们有，V（t，g）=e-r（τ）-t） E[p（m（g）+ξX）]。对于任何一个t≤ τ ≤ 这里，X是标准正态分布随机变量，ξ：=Zτteσ（s）ds=ZτT（δT）-sDwlσ（s）Qσ*（s） （δT）-sDwl)*)（1） ds，对于任何t∈ [0，τ]与m（g）：=（δT）-To Dwl)（g） ，g∈ Hα。证据在σ为非随机的情况下，我们发现（3.15）中的随机积分τteσ（s）dB（s）是一个中心正态分布随机变量。方差是ξ，它直接跟随着利润^o等距。根据布朗运动的独立增量性质，结果如下。为了计算上述命题中的已实现方差ξ，我们必须找到δT的对偶算子-so Dwl. 显然，它认为（δT）-so Dwl)*= Dw*lo δ*T-s、 δyis的对偶算子见于Filipovic[25]（也可参见[14]中的引理3.1），是映射δ*y:R7→ Hα定义为（3.16）δ*y（c）：x7→ c+cZy∧xα-1（u）du:=chy（x）表示c∈ R和x≥ 0和（3.17）hy（x）=1+Zy∧xα-1（u）du。因此，δ*T-s（1）是函数（3.18）δ*T-s（1）（x）=hT-s（x）=1+Z（T-（s）∧xα-1（u）du代表x≥ 现在我们来推导函数Dw*l（hT）-s） 。提案3.7。根据前面的符号，我们已经*l（hT）-s） （x）=Wl(l)hT-s（x）+Zxqwl（T）- s、 z）α（z）dzs∈ [0，T]，x≥ 0.证明。让x≥ 0和s∈ [0，T]。

那我们有*l（hT）-s） （x）=hDw*l（hT）-s） ，hxi=hhT-s、 Dwlhxi=Dwlhx（T- s） =Wl(l)hT-s（x）+Zxqwl（T）- s、 z）α（z）dz。14 BENTH和KR–uhner如果我们定义∑（s）：=eσ（s）Qeσ*（s） 如果我们想应用命题3.6，那么我们需要计算ζ=Zτt（δt-sDwl)∑（s）（δT）-sDwl)*（1） ds。用（δT）表示-sDwl)*（1） =Dw*l（hT）-s） 现在我们还需要计算算符δT-sDwl. 然而，我们只有δT-sDwlg=Wl(l)g（T）- s） +Z∞qwl（T）- s、 y）g′（y）对于任何g∈ Hα。当然，Q和σ取决于建模者的选择。然而，在σ和Q被勾选后，确实需要计算σ*（s） 。下面的命题给出了一个计算给定算子对偶算子的简单公式。作为旁注，下一个命题还表明，任何线性构式T=（T*)*Hα是一个积分算子和一个“仅”作用于插入函数初始值的算子的和。提案3.8。让我们∈ L（Hα）。然后*g（x）=g（0）η（x）+Z∞q（x，y）g′（y）dy，g∈ Hα，式中η（x）：=（T hx）（0）=（T*h） （x），q（x，y）：=（thx）′（y）α（y），对于任何x，y≥ 0和hxis在（3.17）中定义。证据菲利波维奇[25，引理5.3.1]表明，对于任何g，g（x）=hg，hxi∈ Hα，x≥ 0.亨塞特*g（x）=hT*g、 hxi=hg，thxi=g（0）thx（0）+Z∞g′（y）（thx）′（y）α（y）dy=g（0）η（x）+Z∞q（x，y）g′（y）dy，对于任何g∈ Hα，x≥ 这证明了结果。接下来让我们把注意力转移到Prop中期权价格的所谓“delta”上。3.6. 我们将“delta”定义为价格V（t，G（t））沿某个方向h的G^ateaux导数∈ Hα。这将测量价格函数对沿正向曲线g（t）h的扰动的敏感性。我们得到了以下结果：命题3.9。假设σ是非随机的。然后是V（t，G（t））在h方向上的G^ateaux导数∈ HαisDhV（t，g）=ξm（H）E[p（m（g）+ξX）X]，其中m（g）和ξ在Prop中定义。3.6.证据

我们应用了所谓的密度方法（见Glasserman[29]）以及G^ateauxderivative的性质。对于g∈ Hα，在变量变化后保持不变，V（t，g）=ZRp（m（g）+ξx）φ（x）dx=ξZRp（y）φY- m（g）ξdy，其中φ是标准正态概率密度函数。通过p的线性增长和正态密度函数φ的可积性，可以得出dhv（t，g）=ξZRp（y）DhφY- m（g）ξ能源市场中的二元衍生品定价：无限维方法15=ξZRp（y）φ′Y- m（g）ξ-ξDhm（g）dy=ξDhm（g）ZRp（y）Y- m（g）ξφY- m（g）ξdy=ξDhm（g）ZRp（m（g）+ξx）xφ（x）dx=ξDhm（g）E[p（m（g）+ξx）x]。但显而易见的是，Dhm（g）=ddm（g+h）=0=dd（m（g）+m（h））=0=m（h），命题如下。这里值得注意的是，上述命题中计算的delta给出了期权价格对“远期曲线”h方向扰动的敏感性。如前所述，市场仅对一组特定的交货期报价远期价格，而不是对所有交货期报价。因此，我们没有可接近的正向曲线。事实上，我们不知道时间t时的g（t），但只知道掉期价格的一组有限值，这相当于应用于g的积分算子上的一组有限线性泛函。通过使用一些平滑技术来“提取”这样的曲线是市场实践（样条方法见Benth、Koekebakker和Ollmar[13]）。根据对交割期掉期价格的观察，我们可以构建一条连续交割时间的远期曲线。这将在时间t给出“观测曲线”g（t）。请注意，我们需要在时间t处获得该曲线，以便为期权定价，正如我们可以从道具中看到的那样。3.6.

从观测数据中提取这样一条曲线是迄今为止唯一确定的对象（可以选择几种不同的方法来生成这样一条曲线），因此，使用delta的表达式来了解价格对其扰动的敏感性是至关重要的。3.明确的价格敏感度（delta）和10.明确的价格敏感度。行权时间为τ且行使K的看涨期权的价格≤ TisV（t，g（t））=ξφm（g（t））- Kξ+ （m（g（t））- K） Φm（g（t））- ξK,式中，ξ和m（g）在支柱中定义。3.6，Φ（x）是累积标准正态分布函数及其密度，即Φ′（x）=φ（x）。此外，DhV（t，g（t））=m（h）Φm（g（t））- Kξ,不管怎样∈ Hα。证据对于一个具有K点的看涨期权，我们有p（F）=max（F）- K、 0）。因此，从道具。3.6V（t，g（t））=ZRmax（m（g（t））+ξx- K、 0）φ（x）dx。V（t，g（t））的公式来自使用正态分布特性的标准计算。对于V的G^ateaux导数，我们直接从V（t，G（t））计算。请注意，V相对于g的灵敏度表达式是看涨期权的经典“增量”，以m（h）为标度。作为上述期权定价理论的一个小小扩展，我们讨论了一类不同交割期的远期价差期权。为此，考虑在两个远期上书写的期权，交割期分别为[T，T]和[T，T]，其中期权在行权时间τ支付p（F（τ，T，T），F（τ，T，T））≤ min（T，T）。我们假设p:R→ R是至多线性生长的可测函数。例如，p（x，y）=max（x- y、 0）将是不同交货期的两个货代16 BENTH和KR–uhner之间差价的回报，这是一种日历差价选项。遵循Prop的论点。

3.1我们发现（3.19）p（（F（τ，T，T），F（τ，T，T））=pl,l（T）- τ、 T- τ、 g（τ）），对于Pl,l: R+×Hα→ 定义为（3.20）Pl,l（x，y，g）=po （δx）oDwl（g） ，δyo Dwl（g） ）。在这里li=Ti- Ti，i=1，2。通过p的线性增长，我们可以证明pl,l在kgkα中最多是线性增长，在x，y中是一致的。通过遵循上述单变量情况的参数，时间t的期权价格≤ τ的计算公式如下：V（t，g（t））=e-r（τ）-t） EhpδT-τo Dwl（g（τ）），δT-τo Dwl（g（τ））|Fti=e-r（τ）-t） Ep（F（τ，T，T），F（τ，T，T））|g（T）.再次，我们发现（F（τ，T，T），F（τ，T，T））=（δT-τo Dwl（g（τ）），δT-τo Dwl（g（τ））=（δT-To Dwl（g（t）），δt-To Dwl（g（t））+Zτt（δt）-sDwlσ（s）dB（s），δT-tDwlσ（s）dB（s））=（δT-To Dwl（g（t）），δt-To Dwl（g（t））+Zτt∑（s）dB（s），其中B是一些二维标准布朗运动，∑（s）是（δTi）-sDwliσ（s））Q（δTj-sDwljσ（s））*i、 对于任何s，j=1,2≥ 0.矩阵∑（s）可以像以前一样计算，并出现在实现方差的公式中。因此，V（t，g）=EP（δT）-To Dwl（g） ，δT-To Dwl（g） ）+Zτt∑（s）dB（s）无论如何∈ [0，τ]，g∈ Hα。综上所述，我们可以看到，在定义价格V（t，g）的预期中，我们得到了确定性被积的二维随机It^o积分，得到了一个二元高斯随机变量。因此，在计算相关性之后，我们可以将期权价格表示为一个非变量高斯随机变量函数的期望值。相关性将取决于Q、噪声B的空间协方差结构、远期曲线σ的“波动性”σ（s），以及两个远期的交付周期。大致解释一下，我们提取了两条正向曲线（由交付周期定义），并构建了一个二元高斯随机变量。

虽然所涉及的表达式更具技术性，但我们可以获得相当明确的期权价格，该价格尊重远期曲线的空间依赖结构。3.3. 几何高斯情形。首先，我们证明了Hilbert空间Hα在指数化下是封闭的：引理3.11。如果g∈ Hα，然后exp（g）∈ Hα，其中exp（g）=P∞n=0gn/n！。证据首先，如果g∈ Hα然后x7→ exp（g（x））是从R+到R+的绝对连续函数。道具。4.18在Benth和Kr¨uhner[14]中，Hα是关于范数k·k:=kk·kα的Banach代数，其中k=√5+4K和k=R∞α-1（x）dx。也就是说，如果f，g∈ Hα，然后是kfgk≤ kfkkgk。根据三角线性质，我们得到了kexp（g）k≤ exp（kgk）<∞ 对于任何g∈ Hα，或者换句话说，kexp（g）kα≤kexp（kkgkα）<∞.因此，exp（g）∈ Hα，引理如下。能源市场中的衍生品定价：无限维方法17假设远期价格以Hα中随机过程的指数形式给出，即（3.21）g（t）=exp（eg（t）），其中（3.22）deg（t）=(xeg（t）+u（t））dt+σ（t）dB（t），其中σ和B与（3.13）中的随机偏微分方程相同，u是一个可预测的Hα值随机过程，在任何有限时间间隔上都是Bochner可积的。为了获得无套利动态，我们必须施加漂移条件（见Barth和Benth[8]）（3.23）x 7→ u（t，x）：=-kδxσ（t）Q1/2kLHS（H，R）。我们假设这个漂移条件从现在起成立。下面对漂移条件的简化是正确的：引理3.12。uin（3.23）的漂移条件可以表示为u（t，x）=-δxσ（t）Qσ*（t） δ*x（1）。证据根据希尔伯特-施密特范数的定义，u（t，x）=-∞Xk=1（δxσ（t）Q1/2ek），其中{ek}kis是H的基。

但是，（δxσ（t）Q1/2）（ek）·1=hek，（δxσ（t）Q1/2）*（1） iH=hek，Q1/2σ*（t） δ*x（1）iH。因此，通过算符的线性，u（t，x）=-∞Xk=1（δxσ（t）Q1/2ek）hek，Q1/2σ*（t） δ*x（1）iH=δxσ（t）Q1/2(∞Xk=1hek，Q1/2σ*（t） δ*x（1）iHek）=δxσ（t）Q1/2（Q1/2σ*（t） δ*x（1））。结果如下。我们记得△*x（1）=hx，函数为y7→ hx（y）在（3.17）中定义。因此，我们可以写出u（t，x）=-δxσ（t）Qσ*（t） hx（·）/2。对于上面小节中的（3.13），我们得到了满足τ的随机偏微分方程（3.22）的温和解≥ teg（τ）=Sτ-teg（t）+ZτtSτ-su（s）ds+ZτtSτ-sσ（s）dB（s）。下面的引理说明了曲线值过程g（t）的动力学：=exp（eg（t）），t≥ 0，表明g是马尔可夫的，如第3.1节所示。引理3.13。在漂移条件（3.23）下，我们有g（τ）=Sτ-tg（t）+ZτtSτ-任何0的sbσ（s，g（s））dB（s）≤ T≤ τ其中bσ（s，g）h（x）：=g（x）σ（s）h（x）对于任何x≥ 0，g，h∈ Hα。因此，正向动力学由f（τ，T，T）=δT给出-tDwlg（t）+Zτtδt-sDwlbσ（s，g（s））dB（s）。18抗弯和抗KR。回想一下，G（τ，T）=G（τ）（T- τ）和定义（τ，T）：=eg（τ）（T）-τ). 那么我们有g（τ，T）=g（τ）（T- τ）=exp（eg（τ）（T）- τ） ）=exp（例如（τ，T））对于任何0≤ τ ≤ T此外，我们还有eg（τ，T）=δT-teg（t）+Zτtδt-s（u（s）ds+σ（s）dB（s）），因此它是^o的公式以及漂移条件（3.23）yieldsG（τ，T）=exp（eG（τ，T））=δT-tg（t）+Zτtg（s，t）δt-sσ（s）dB（s）=δT-tg（t）+Zτtδt-任何0的sbσ（s，g（s））dB（s）≤ τ ≤ T由于g（τ）（x）=g（τ，τ+x），我们得出结论g（τ）=Sτ-tg（t）+ZτtSτ-任何0的sbσ（s，g（s））dB（s）≤ T≤ τ. 具有行使时间τ的欧式期权的价格≥ 当σ为非随机时，可以像在算术情况下一样容易地推导出在时间t上向前传递的t。事实上，它认为（3.24）V（t，eg）=e-r（τ）-t） E[p（exp（bm（eg）+ξX））]其中X是标准正态分布随机变量，ξ与Prop中的一样。

3.6（用T代替T）和（3.25）bm（g）=eg（T- （t）-Zτtu（s）（t- s） 如果我们让p作为看涨期权的支付函数，那么一个简单的计算表明我们恢复了Black76公式（参见Black[17]，或者Benth，ˋSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11]更一般的版本）。最后，我们注意到，如果我们对远期期权的定价感兴趣，在一段时间内交付，收益函数将变成p（（δT）-τo Dwl)（g（τ））=p（F（τ，T，T））。积分算子Dwl映射exp（例如（τ））∈ 然而，我们并没有很好的表现形式。当然，问题是一般函数的指数积分不是解析的。因此，似乎很难获得任何可产生简单定价公式的易处理表达式。3.4. 列维模特。我们简要讨论了远期曲线由L’evy过程L驱动时的期权定价。我们将我们的分析归结为算术模型（3.26）dg（t）=xg（t）dt+σ（t）dL（t），其中L是一个L′evy过程，其值位于可分Hilbert空间H中，具有零均值且可平方积。随机过程σ：R+→ L（H，Hα）相对于L是可积的，即σ∈ LL（Hα）（关于这种符号，参见Peszat和Zabczyk[32]中的第8.2节。）（3.4）中给出的期权价格需要计算（δT）-τo Dwl)（g（τ））。对于高斯模型，存在一个（3.26）的温和解，对于τ≥ T≥ 0由（3.27）g（τ）=Sτ给出-tg（t）+ZτtSτ-sσ（s）dL（s）。能源市场中的衍生品定价：无限维方法19从算子的线性度来看，它成立（δT）-τo Dwl)g（τ）=（δT）-To Dwl)g（t）+Zτt（δt）-so Dwl)σ（s）dL（s））。右手边的第一个术语是m（g（t）），用Prop定义。3.6.

对于高斯模型，我们使用了Benth和Kr¨uhner[14]中的一个结果，该结果为我们提供了一个线性泛函的显式表示，该线性泛函应用于关于H值Wiener过程的Hα值随机积分。我们可以把这个函数写成实值随机被积函数关于区域值布朗运动的随机积分。此外，被积函数是明确已知的。类似的是，L’evy过程的特殊类别是从属于维纳过程的。继Benth和Kr¨uhner[15]之后，我们引入了H值从属布朗运动：表示为byU（t）}t≥0一个值在正实线上的L’evy过程，即非递减L’evy过程。这些过程通常被称为从属过程（见Sato[33]）。设L（t）：=B（U（t）），然后变成以H为单位的aL’evy过程。在Benth和Kr¨uhner[15]中，我们找到了关于U的条件，这意味着L是azero均方可积的L’evy过程。来自Thm。2.5在Benth和Kr–uhner[14]中，我们发现zτt（δt-so Dwl)σ（s）dL（s））=Zτteσ（s）dL（s），其中L是实值从属布朗运动L（t）：=B（U（t）），B是标准布朗运动。此外，过程eσ（s）由σ（s）=（δT）给出-so Dwl)σ（s）Qσ*（s） （δT）-so Dwl)*（1） ，这与上面研究的高斯情况相同。对于期权定价问题，我们看到我们回到了计算一元随机积分函数的期望。如果σ是非随机的，我们可以使用傅里叶技术来计算这个期望，因为我们从U和布朗运动的累积量中知道L的累积量函数（参见卡尔和马丹[22]关于衍生品定价中傅里叶方法的说明，以及Benth、G Saltyt˙eBenth和Koekebakker[11]关于能源市场的应用）。