能源市场衍生品定价：无限维方法

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英文标题：
《Derivatives pricing in energy markets: an infinite dimensional approach》
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作者：
Fred Espen Benth and Paul Kr\\\"uhner
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Based on forward curves modelled as Hilbert-space valued processes, we analyse the pricing of various options relevant in energy markets. In particular, we connect empirical evidence about energy forward prices known from the literature to propose stochastic models. Forward prices can be represented as linear functions on a Hilbert space, and options can thus be viewed as derivatives on the whole curve. The value of these options are computed under various specifications, in addition to their deltas. In a second part, cross-commodity models are investigated, leading to a study of square integrable random variables with values in a \"two-dimensional\" Hilbert space. We analyse the covariance operator and representations of such variables, as well as presenting applications to pricing of spread and energy quanto options.
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中文摘要：
基于被建模为希尔伯特空间值过程的前向曲线，我们分析了能源市场中各种相关期权的定价。特别是，我们将文献中关于能源远期价格的经验证据与随机模型联系起来。远期价格可以表示为希尔伯特空间上的线性函数，因此期权可以被视为整个曲线上的导数。这些选项的价值是根据各种规格以及它们的增量计算的。在第二部分中，研究了跨商品模型，从而研究了“二维”希尔伯特空间中具有值的平方可积随机变量。我们分析了协方差算子和这类变量的表示，并给出了在价差和能量量子期权定价中的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Derivatives_pricing_in_energy_markets:_an_infinite_dimensional_approach.pdf (324.16 KB)

2022-5-7 07:00:35 上传

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关键词：衍生品定价 衍生品 Applications Quantitative Mathematical

能源市场中的衍生品定价：无限维方法。基于被建模为希尔伯特空间值过程的前向曲线，我们分析了能源市场中各种相关期权的定价。特别是，我们将文献中关于能源价格的经验证据与随机模型联系起来。远期价格可以表示为希尔伯特空间上的线性函数，因此期权可以被视为整个曲线上的导数。这些期权的价值是在各种规格下计算的，以及它们的增量。在第二部分中，研究了交叉商品模型，从而研究了“二维”希尔伯特空间中具有值的平方可积随机变量。我们分析了协方差算子和这类变量的表示，并给出了它们在价差和能量量子期权定价中的应用。1.介绍在纽约商品交易所、芝加哥商品交易所、欧洲经济交易所和NordPool等能源市场，远期和远期合同的交易量很大。比如，电力和天然气的远期和期货在一段时间内交付基础商品，而不是像石油那样在固定的交付时间交付。航运和天气等相关市场也在期货和远期交易，这些交易是根据一段时间内的指数进行结算的。我们参考了托伯格、格雷伯和辛德迈尔[18]、艾德兰和沃利涅克[24]以及杰曼[28]对不同能源市场和交易衍生品合同的陈述和讨论。关于能源价格建模方面的更多技术分析，请参考Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11]。通常，许多能源市场交易的是远期和期货合约上的欧洲看涨期权和看跌期权，例如德国的电力交易所EEX和诺迪克地区的NordPool。

在纽约商品交易所（NYMEX），人们可以根据不同混合燃油的期货价差找到期权。其他跨商品衍生工具包括电力和燃料之间价差的期权（比如深色和浅灰色，见Eydeland和Wolynice[24]），或以电力价格和天气指数之间的乘积结算的quanto期权（见Benth、Lange和Myklebast[9]）。在本文中，我们分析了在希尔伯特空间值随机过程模型的远期曲线框架下的期权定价。实证研究表明，能源远期在不同到期日之间表现出高度的异质性风险。例如，Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11]对NordPool电力期货和期货市场进行的主成分分析显示，需要超过10个因素来解释95%的波动性（这证实了Frestad[26]和Koekebakker和Ollmar[30]对同一市场的早期研究）。利用空间统计的方法（见Frestad[26]、Frestad、Benthand Koekebakker[27]和Andresen、Koekebakker和Westgaard[2]），对NordPool远期和期货价格的研究显示，从到期到到期的时间段，其相关性结构清晰。这些实证研究表明，需要通过希尔伯特空间值过程对正向曲线的时间动力学进行建模。此外，上述研究还强调了价格回报的轻量级行为，促使引入有限维L’evy过程作为正向动力学中的噪声。本文发展了Benth和Kr¨uhner[14]对远期曲线的分析，建立了能源市场期权定价理论。特别是，本论文在两个不同但相关的方向上做出了贡献。首先，我们提供了一个相当详细的研究典型的欧洲期权交易的定价不变性的能源市场。

其次，我们为在有限维框架内建立跨商品远期和期货市场的模型奠定了基础。日期：2018年9月9日。感谢挪威研究理事会资助的“能源市场天气风险管理（MAWREM）”项目提供的资金支持。2在我们的上下文中，远期合约的BENTH和KR–UHNERA欧式期权可以被视为远期曲线上的期权。期权的收益将表示为作用于曲线的线性函数，然后是非线性收益函数。我们详细分析了如何在绝对连续函数onR+的Hilbert空间中，将远期合约和期货合约视为远期曲线上的线性泛函。我们基于电力和天气（温度）市场中交易的各种典型合同给出了显式泛函。利用Benth和Kr¨uhner[14]的一个表示定理，我们可以导出期权下远期合约的区域值随机过程，在某些特殊情况下，可以进一步计算该过程，从而提供期权价格的简单表达式。例如，对于算术（线性）前向曲线模型，我们可以找到期权价格的表达式，在高斯条件下进行分析，或者在更一般的L’evy情况下通过快速傅里叶变换进行计算。价格将取决于有限维远期曲线动力学的已实现波动率，这涉及一些线性函数及其对偶。特别是，我们需要有移位算子和一些积分算子的对偶，这是我们在所选的希尔伯特空间中明确推导出来的。此外，我们还导出了这些选项的增量。期权的增量将被定义为价格相对于初始远期曲线的导数。

有趣的是，delta将提供有关价格对初始远期曲线不准确的敏感程度的信息。由于我们需要从离散观测的数据中构造该曲线，因此，该增量提供了有关期权价格对远期曲线中未达到规格的稳健性的有价值信息。我们还表明，只要支付函数是Lipschitz，期权价格作为初始远期曲线的函数是Lipschitz连续的。在本文的这一部分中，我们还讨论了在同一商品的两个远期合约之间的价差上写下的期权，但交货期不同。这种扩展可以有效地表示为前向曲线上两个线性函数的差，提取该曲线的两个不同部分。有了这些期权，沿远期曲线的卵巢结构成为定价的重要组成部分。在论文的第二部分，我们将重点转向跨商品能源市场的建模和定价。通常，人们感兴趣的是在两个能源市场中建模联合远期动态，例如在两个相连的电力市场或天然气和电力市场中。或者，人们可能对温度收缩和功率之间的联合正向动力学建模感兴趣。我们通过在“二维”希尔伯特空间中具有值的随机过程来表达二元远期价格动态。更具体地说，我们假设该过程是两个Musiela随机偏微分方程的温和解，每个方程取R+上绝对连续函数的Hilbert空间中的值，其中动力学由两个依赖的Hilbert空间值Wiener过程驱动。此外，我们还考虑了两个随机偏微分方程的波动率规格中的函数依赖性。

我们分析的关键点是“二元”Hilbert空值Wiener过程的协方差算子。我们证明协方差算子可以表示为算子的2×2矩阵，其中我们在对角线上找到相应的边际协方差算子，在非对角线上找到描述两个维纳过程之间协方差的算子，类似于R上二元高斯随机变量的情形，我们导出了两个平方可积Hilbert空间值随机变量在公因子和独立随机变量方面的分解。这种“线性回归”分解用类似于相关性的运算符表示。我们的理论考虑适用于差价期权的定价（参见Carmona和Durrleman[20]对能源和大宗商品市场差价期权生态的详细介绍）。另一类有趣的衍生品是所谓的能源全托期权，它根据价格和交易量向持有人提供阿帕约夫期权。体积成分是根据一些适当的温度指数来衡量的，这意味着能源量子期权可以被视为写在能源和温度的远期价格上的期权。我们注意到芝加哥商品交易所有一个天气市场在交易温度期货。我们对能源市场远期价格建模的有限维方法建立在固定收益市场的广泛理论基础上。我们参考Filipovic[25]和Carmona and Tehranchi[21]对被建模为有限维随机过程的远期利率进行分析。在Benth和Kr¨uhner[14]中，菲利波维奇[25]提出的一个特定的希尔伯特空间（Hilbert space）对实现前向曲线起着核心作用。奥德特等。[3] 据我们所知，这是第一个使用有限维过程对电力远期价格建模的公司。

Barth和Benth[8]分析了指数和算术能量正演曲线模型，重点是引入数值格式来模拟动力学。另一条路径是takenin Benth和Lempa[10]，在这里研究商品期货市场中的最优投资组合选择。能源市场中的衍生品定价：无限维方法3 Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[6]建议使用边界场（一类时空随机场）作为本文中使用的前向曲线动态规范的替代建模方法。在最近的一篇论文中，Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[7]将其范围扩展到跨商品市场建模和差价期权定价。我们注意到，范围和随机偏微分方程之间存在密切关系（见Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[5]）。我们的结果如下：在第二节中，我们将在一个结算期内交付的能源远期和期货表示为希尔伯特函数空间上的线性算子。第3节分析了能源期货的欧洲期权，而第4.1.1节考虑了跨商品期货价格建模和期权定价。一些符号。作为本导言的最后一点，我们将通篇介绍本文(Ohm, F、 Ft，Q）是一个过滤概率空间，其中Q表示风险中性概率。我们正直接在风险中性下工作，因为我们考虑到了金融衍生品的定价。此外，我们使用符号L（U，V）表示从希尔伯特空间U到希尔伯特空间V的有界线性算子空间。在U=V的情况下，我们用简写符号L（U）表示L（U，U）。在本文中，我们将假定希尔伯特空间是可分的。最后，LHS（U，V）表示Hilbert-Schmidt算子从U到V的空间，LHS（U）=LHS（U，U）。

希尔伯特空间能源远期和期货的实现在本节中，我们旨在将能源市场的远期和期货价格表示为希尔伯特函数空间的一个元素。受Benth和Kr–uhner[14]结果的启发，我们将看到在能源市场上交易的各种相关期货合约，其在一段时间内而不是在未来的固定时间交付标的物，可以被理解为合适希尔伯特空间上的有界算子。让我们首先介绍菲利波维奇空间（见菲利波维奇[25]），这将是适合我们考虑的希尔伯特空间。设Hα定义为所有绝对连续函数的空间g:R+→ 霍奇兹∞α（x）g′（x）dx<∞,对于给定的连续增权函数α：R+→ [1, ∞) α（0）=1。Hα的范数是kgkα=hg，gi，对于内积hf，gi=f（0）g（0）+Z∞α（x）g′（x）f′（x）dx。给，f，g∈ Hα。我们假设∞α-1（x）dx<∞. 注意权重函数的典型选择是指数函数；α（x）=e xp（eαx）对于常数eα>0，在这种情况下，α逆上的可积条件非常满足。从Filipovic[25]中，我们知道Hα是一个可分离的希尔伯特空间。正如我们将看到的，我们可以将能源期货和期货价格理解为Hα上的线性算子，并且实际上将能源期货和期货价格解释为在这个空间中具有值的随机过程。让我们考虑一个简单的例子，来说明选择Hα的恰当性。能源现货价格动态的经典模型是所谓的Schwartz动力学（参见Schwartz[34]和Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11，第3章]对列维案例的扩展）。这里是时间t的现货价格（t）≥ 0由s（t）=exp（X（t））给出，因为X（t）是一个Ornstein-Uhlenbeck过程dx（t）=ρ（θ）- X（t））dt+dL（t），由L′evy过程L驱动。

我们假设L（1）有指数矩，ρ>0，θ是常数，ln S（0）=X（0）=X∈ R.从Benth、ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11，第4.6号提案]中，我们发现t时的正向价格f（t，t）≥ 0，对于在时间T交付的合同≥ t、 isf（t，t）=费用-ρ（T）-t） X（t）+θ（1）- E-ρ（T）-t） ）+ZT-tφ（e）-ρs）ds！，4 BENTH和KR–UHNERwithφ是L（1）矩母函数的对数。回想一下，我们直接在定价度量Q下对现货价格进行建模。假设x=T- T≥ 0，我们发现（通过稍微滥用符号）f（t，x）=expE-ρxX（t）+θ（1）- E-ρx）+Zxφ（e）-ρs）ds.很容易看出x7→ f（t，x）对于每个t是连续可微的，并且Fx（t，x）=f（t，x）ρe-ρx（θ）-X（t））+φ（e-ρx）.假设权函数α为α（x）e-2ρx∈ L（R+），α（x）φ（e）-2ρx）∈ L（R+）。接下来就是R∞|φ（exp(-ρs）|ds<∞ 来自柯西-施瓦茨不等式和假设∞α-1（x）dx<∞. 因此，f在x上是一致有界的，因为| f（t，x）|≤ 经验X（t）+θ+Z∞|φ（e）-αs）|ds.但是，kf（t，·）kα=|exp（X（t））|+Z∞α（x）f（t，x）（ρe）-ρx（θ）-X（t））+φ（e-ρx）dx≤ ce2X（t）1+Z∞α（x）e-2ρxdx+Z∞α（x）φ（e）-ρx）dx,这表明f（t，·）∈ Hα。如果L是一个无漂移的L′evy过程，则L（1）上的指数矩条件得出φ（x）具有φ（x）=σx+ZR{exz的表示形式- 1.- xz}l（dz），对于常数σ≥ 0和L’evy度量l（dz）。但根据单调收敛定理和L\'Hopital\'srule，我们发现limx0xZR{exz- 1.- xz}l（dz）=ZRzl（dz），因此φ（x）~ x小的时候。因此，f（t，·）的充分条件∈ Hα是α（x）exp(-2ρx）∈L（R+，R）。我们现在将注意力转移到本节的主题上，即在Hα中实现具有交付期的通用能源远期和期货合同。假设F（t，t，t）是在时间间隔[t，t]内的能源交付合同在时间t的交换价格，其中0≤ T≤ T<T。

然后一个canexpress（见Benth，ˇSaltyt˙e Benth和Koekebakker[11]，第4.1款）将该价格表示为（2.1）F（t，t，t）=ZTTew（t；t，t）F（t，t）dt，其中F（t，t），t≤ T是在固定时间T“交付能源”合同的远期价格，W（T；T，T）是一个确定的权重函数。稍后我们将对ew做出精确的假设，但现在我们隐式地假设（2.1）中的积分是有意义的。例如，在NordPool和EEX电力交易所，掉期合同在特定的周、月、季度甚至年内交付电力，并且是远期或期货形式。交割是财务性的，这意味着合同的卖方在指定的交割期（远期风格）或利率贴现的累计现货价格（期货风格）内收到电力的累计现货价格。也就是说，对于这些电力交换合同，我们有权函数（2.2）ew（T；T，T）=T- T对于远期合约和（2.3）ew（T；T，T）=e-rTRTTe-能源市场中的RSD衍生品定价：期货风格的无限维方法。这里，r>0是无风险利率，我们假设它是常数。采用平均值的原因是市场惯例，即以百万瓦时（百万瓦时）为远期和期货（掉期）价格计价。比如说，在纽约商品交易所的天然气市场上，天然气在一个指定的交付期内（如纽约商品交易所，则为Henry Hub）在一个地点进行实际交付，如一个月或一个季度。因此，天然气交换价格的表达式（2.1）与电力交换价格的表达式相同。HDD、CDD和CATD等温度指数期货在特定时期内交付的货币相当于累计指数价值。因此，期货价格可以表示为f（t，t，t）=ZTTf（t，t）dT，其中f（t，t）是在固定交付时间t“交付”相应温度指数的合同的期货价格≥ T