资本利得税下股票的最优卖出时间

最优停止问题退化：例如：≤ r、 最好是在时间0出售股票，价格为u≥ r、 有人可能会这样解释，在T.8 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichtthuths时期出售是非常合适的-r（1）-α） TV（0，x）-[(1 -α） x+αP]e（1）-α） 最大（u，r）T作为股东时间选择权的时间0价值，即投资者影响纳税时间的权利价值。根据命题2.4，该值在股票的波动性中增加。这与康斯坦丁尼德斯[7]的结果一致，在一个完整的市场模型中，包括卖空合同市场，时间选择权的价格，当然有不同的定义（见其中的等式（21）），也在增加股票的波动性（见表III）。3解决问题的方法（2.4），我们使用最优停止理论中的标准方法，例如，参见Peskir和Shiryaev[16]，其中终端支付转化为运行支付。也就是说，由于payo-off函数G的光滑性，我们可以应用它的^o公式来获得payo-off过程（G（t+s，Xt，Xt+s））的以下分解≥0:Gt+s，Xt，Xt+s= G（t，x）+ZsFt+u，Xt，Xt+udu+Ms，（3.1），其中Ms=σRsXt，xt+uxG（t+u，Xt，Xt+u）dBuis是平方可积（Ft+s）s∈[0，T-[t]-零期望鞅，F（t，x）由F（t，x）=er（t）给出-t） （1）-α)(1 - α)-rαP+xu - r（1）- α).（3.2）由（3.1）可知，（2.4）中的V可以写成V（t，x）=G（t，x）+supτ∈T[0，T]-t] EZτF（t+u，Xt，Xt+u）du. （3.3）我们在集合{（t，x）上有that>（<）0∈ [0，T]×R+|x>（<）f}，（3.4）带f:=RαPu- r（1）- α).

（3.5）这意味着F（t，x）的符号不依赖于t。注释3.1对于x>F的（t，x），停止时间τ：=infs∈ [0，T-t] |Xt，Xt+s≤ F∧ （T）- t） 严格来说是正的，我们从（3.3）得出结论，v（t，x）≥ G（t，x）+ERτF（t+u，Xt，Xt+u）du> G（t，x），因此（t，x）∈ C.资本利得税下股票的最佳卖出时间9F≥ 0和u>（1）- α） r==> xF（t，x）=er（t-t） （1）-α)(1 - α)u - r（1）- α)> 0（3.6）表示所有（t，x）∈ [0，T]×R+。此外tF（t，x）=-r（1）- α） 呃(T)-t） （1）-α)-rαP+xu - r（1）- α)> x<f时为0（3.7），且tF（t，x）<0表示x>f（3.8）4个证明。1命题证明2.1适用于所有x≤ y、 一个有0≤ V（t，y）- V（t，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] 东北Gt+τ，Xt，yt+τ- EGt+τ，Xt，Xt+τo≤ (1 - α） e（u+r）TEsup0≤s≤T-特克斯σBs-σs（y）- 十）≤ C（y）- x） （4.1）对于某些常数C∈ 不依赖于t，x，y的R+。因此，为了在（t，x）中建立关节连续性，仍然需要证明t7→ V（t，x）是连续的。让≤ t、 一个hasV（t，x）-V（s，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] EG（t+τ，Xt，Xt+τ）- G（s+τ，Xt，Xt+τ）≤ 0，其中对于第一个不等式，我们使用过程（Xt，Xt+u）u∈[0，T-t] 和（Xs，Xs+u）u∈[0，T-t] 分布一致。要获得另一个方向的估计值，还必须找到支付过程u 7增量的上限→ G（u，Xs，xu）在s+T之间-因为从T开始的问题，剩余的成熟时间更小，由x7的单调性开始→ F（u，x），一个hasV（s，x）-V（t，x）≤ supτ∈T[0，T]-t] E[G（s+τ，Xs，xt+τ）- G（t+τ，Xs，xt+τ）]+E“ZTT-（t）-s） 傅，谢谢∈[s，T]Xs，xv！∨ 0 du#10 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichth第一项可以通过E-r（1）-α） s- E-r（1）-α） t呃(1)-α） \"(一)- α） e |u| Tsupv∈[0，T]x expσBv-σv+ αP#和第二项- （s）C+CEsup0≤五、≤Tx expσBv-σv对于某些常数C，C∈ R+。

总之，t 7→ V（t，x）对于任何固定的x都是连续的∈ R+。然后，根据[16]中的定理2.4，（2.7）使（2.4）最大化。2.2我们区分定理的三种证明。前两种情况是无关紧要的，而第三种情况是有趣的，我们展示了一个连续的、不断增加的正边界的存在，使得股票在第一时间出售，其价格小于或等于该边界。案例1：u≤ (1 - α） 从（3.2）中，我们可以看到F≤ 0.然后，从（3.3）可以得出τt，x=0表示所有（t，x）×0，t]×R+，即投资者立即出售股票，并将股票投资到银行账户。案例2：u>（1）- α） 当r和α=0时，所有（t，x）的F（t，x）>0∈ [0，T]×R+\\{0}。然后，再次从（3.3）得出，τt，x=t- t代表所有人（t，x）∈ [0，T]×R+\\{0}，即投资者从不过早出售股票，因此S=[0，T）×0}。案例3：u>（1）- α） r和α>0步骤1：让我们展示每一个t∈ [0，T]，x，y∈ R+和x≤ y、 含义v（t，y）=G（t，y）==> V（t，x）=G（t，x）（4.2）保持不变。加上停止区域的封闭性，（4.2）意味着S是（2.8）中给出的形式，边界b（t）：=inf{x∈ R+|V（t，x）>G（t，x）}。通过（3.3），对于任何t∈ [0，T）和x≤ y、 有一个V（t，y）- G（t，y）-V（t，x）-G（t，x）≥EZτt，xF（t+u，Xt，yt+u）du- EZτt，xF（t+u，Xt，Xt+u）du（4.3）资本利得税下股票的最佳卖出时间11=EZτt，xFt+u，yxXt，xt+u- Ft+u，Xt，Xt+u杜≥0，其中最后一个不等式为（3.6）。由V≥ G、 这意味着（4.2）。第2步：现在让我们展示T7→ b（t）在增加。

为了x∈ R+和s≤ t、 一个hasV（t，x）-G（t，x）=e-r（1）-α） （t）-s） supτ∈T[0，T]-t] EZτF（s+u，Xt，Xt+u）du=E-r（1）-α） （t）-s） supτEu，τs+xsu(4.4)≤E-r（1）-α） （t）-s） supτ∈T[0，T]-s] EZτF（s+u，Xs，Xs+u）du,=E-r（1）-α） （t）-s） （V（s，x）-G（s，x）），其中第二个上确界接管了所有（Fs+u）u∈[0，T-t] –停止[0，t]中的计时值- t] 。自从V- G≥ 0，（4.4）产生关联v（s，x）-G（s，x）=0=> V（t，x）- G（t，x）=0，（4.5），这导致t7→ b（t）在增加。第3步：让我们证明所有t的b（t）>0∈ [0，T）。首先，假设存在T*∈ （0，T）使得b（T）*) = 0（即t*6= 0). As t 7→ b（t）在增加，对于所有的u，b（u）=0∈ [0，t*]. 当X0，xcannot达到0时，我们有τ0，x≥ T*对于所有x>0，哪个屈服Zτ0，xF（u，X0，xu）du≤ EZt*Fu、 徐{X0，徐≤f/2}du+ EZT0∨ Fu、 徐{X0，xu>f/2}du≤ T*Psup0≤U≤X0，xu≤ f/2F（T，F/2）+T erT[u- r（1）- α） ]Esup0≤U≤X0，xu.对于第一个不等式，我们使用F（u，ex）<0表示ex≤ f/2。对于第二个，我们使用F在x和x中增加≤ f、 随着t的增加，我们得到f（t，f/2）<0。此外，Psup0≤U≤X0，xu≤ f/2→ 1安第斯山脉sup0≤U≤X0，xu→ 0代表x→ 这就产生了Zτ0，xF（u，X0，xu）du< 0表示足够小的x，12 C·K¨uhn，B·A·Surya和B·Ulbrichth，这与τ0，x的最优性相矛盾*) > 0代表所有t*∈ （0，T）。b（0）>0类似地通过将问题（2.4）扩展到区间来实现[-1，T]。因此，除了光滑条件、运动边界及其终端条件的连续性之外，该定理现在已经被证明。这些断言需要以下引理提供更多准备。4.2.1最优停止时间的连续性下列两个引理表明，对于在状态和时间的邻域内开始的股票价格过程，最优停止时间非常接近。引理4.1设τt，xbe定义如（2.7）所示。修正a>0。

然后，对于所有ε>0，存在δ>0，使得supx∈[a，∞)P（{τt，x+δ）- τt，x>ε}）<ε表示所有δ∈ （0，eδ）。所有ε，δ>0，一个hasP（{τt，x+δ）的证明- τt，x>ε}=P（{τt，x+δ）- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε}) .为了比较不同状态变量的最佳停止时间，我们使用thatXt，y=yXt，1表示所有y∈ R+。让（不）你≥成为一个标准的P-布朗运动。一个getsP（{τt，x+δ）- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε})≤P分钟∈[0，ε]Xt，x+δt+τt，x+u>b（t+τt，x）∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P分钟∈[0，ε]（x+δ）Xt，1t+τt，x+u>xXt，1t+τt，x∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P分钟∈[0,ε]经验u -σu+σBu>xx+δ≤Φ-自然对数aa+δ+ (u - σ/2)εσ√ε!- e2（u）-σ/2）ln（aa+δ）σ-2Φlnaa+δ+ (u - σ/2)εσ√ε!十、∈ [a，∞), （4.6）第一个不平等是因为t7→ b（t）在增加，第二个保持xXt，1t+τt，x≤ b（t+τt，x），第三个紧随其后的是Xt，1的强马尔科夫性质。对于ε>0固定，对于δ，（4.6）的右侧收敛为0↓ 0引理4.2设τt，xbe定义如（2.7）所示。固定a、b∈ R+与0<a<b。然后，对于所有ε>0，存在δ>0，使得supx∈[a，b]P（{τt，x- τt，x |>ε}）<≤ t<t≤ T和T- t<δ。资本利得税下股票的最优卖出时间13Proof类似于引理4.1的证明，对于所有t∈ （0，T]，ε>0，andu∈ （0，ε），一个搭扣（{τt-u、 x- τt，x>ε}）=P（{τt-u、 x- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-t+u- ε}) .为了比较最佳停止时间，我们写下进程的Xt，xin项，即通过构造，一个hasXt，Xt+u=xXt，Xt+uXt，Xt，u≥ 0，（4.7）其中t≥ t、 另外，下面的论点使用了一个事实≈ xfor t- tsmall。因此，在第一次Xt，xH是边界，过程Xt，xis并不遥远，人们可以像引理4.1那样进行论证。让（不）你≥成为一个标准的P-布朗运动。

那么，对于t- T∈ （0，ε/2）和δ>0，onegetsP（{τt，x- τt，x>ε}∩ {τt，x≤ T-T- ε})≤P分钟∈[0,ε-（t）-t） ]Xt，Xt+τt，x+u>b（t+τt，x）∩ {τt，x≤ T-T- ε}≤P（分钟）∈[0,ε-（t）-t） ]Xt，Xt+τt，x+uXt，Xt+τt，x>xXt，Xt）∩ {τt，x≤ T-T- ε}!≤P（分钟）∈[0，ε/2]Xt，Xt+τt，x+uXt，Xt+τt，x>xx+δ）∩ {τt，x≤ T-T- ε}!+ PXt，Xt>x+δ≤P分钟∈[0,ε/2]经验u -σu+σBu>aa+δ+ P经验u -σ（t）- t） +σBt-T>b+δb十、∈ [a，b]，（4.8）其中，第一个不平等是因为t7→ b（t）在增加，第二个保持（4.7）和Xt，Xt+τt，x≤ b（t+τt，x），对于第四个，我们使用了Xt，x的强马尔可夫性质。在引理4.1中，我们可以选择δ>0足够小，使得p分钟∈[0,ε/2]经验u -σu+σBu>aa+δ<ε. （4.9）因为英国电信-t随机收敛到t的0- T↓ 存在δ>0这样的p经验u -σ（t）- t） +σBt-T>b+δb<ε（4.10）14 C·K¨uhn，B·A·Surya和B·Ulbrichtfor all t，twith t- t<δ。所以，它仍然是showP（τt，x- τt，x>ε）<ε，对于t≥ 坦特- 太小了。（4.11）为了估计这个概率，我们在t+τt，X处更新X，在这里可以考虑集合{t+τt，X≥ t} 。然后，我们从下面估算Xt，Xt，而不是从上面估算，如（4.8）所示。但是，计算完全类似于P（τt，x）的估计- τt，x>ε），我们完成了。4.2.2平滑条件下一步，我们展示（2.9），即价值函数V在边界处平滑连接支付函数G。对于t∈ [0，T）和x=b（T），一个hasV（T，x+ε）-V（t，x）ε≥G（t，x+ε）- G（t，x）ε=xG（t，x）（4.12）=（1）- α） 呃(1)-α） （T）-t） 对于所有ε>0。另一方面，一个hasV（t，x+ε）-V（t，x）≤ EGt+τt，x+ε，Xt，x+εt+τt，x+ε- EGt+τt，x+ε，Xt，Xt+τt，x+ε= εEXt，1t+τt，x+εxG（t+τt，x+ε，x）≤ εxG（t，x）EXt，1t+τt，x+ε, （4.13）其中等式由G在x中的线性保持，第二个等式为t7→ xG（t，x）在下降。通过引理4.1和一致可积性，EXt，1t+τt，x+εε收敛到1↓ 0

因此，（4.12）和（4.13）建立了光滑条件（2.9）。4.2.3边界的连续性命题4.3边界t7→ b（t）在[0，t]上是右连续的∈ [0，T）并考虑序列tn↓ t代表n→ ∞. As t 7→ b（t）正在增加，b（t+）：=lims↓存在结核病。自（tn，b（tn））∈ 这是给所有人的≥ 1，并且Vand G是连续的（命题2.1），我们得到V（t，b（t+））=G（t，b（t+），即（t，b（t+）∈ 这会导致b（t+）≤ b（t）。As t 7→ 当b（t）在[0，t]上增加时，证明了这一结论。命题4.4边界t7→ b（t）在（0，t）上是连续的。首先，注意，通过单调性，极限b（t-) := 林斯↑存在tb（s）和B（t-) ≤ b（t）。命题的证明分为三个步骤。在假设边界在某个时间t发生跳跃的情况下，在资本利得税下股票的首个最佳卖出时间内，我们通过两个步骤找到t左邻域时间点V的t导数和x导数的上界，以及b（t）和b（t）之间的价格-) 和b（t）。然后，我们用这些上界与C中V满足的偏微分方程进行论证，以确定Vxx>0的界远离0。粗略地说，VxX对PDE的贡献是以减去Payoff函数的漂移率F为界的（参见证明的第3步）。在浇灌区附近，这个漂移率是严格负的。自{t}×[b（t）]-), b（t）]是停止区域的一部分，其中V=G，如果b（t）>b（t），这与G在x中的线性相矛盾-).这一观点已经应用于各种各样的支付函数，见[16]。证明假设停止边界b在t处有跳跃，即b（t）>b（t）-).步骤1（t的上限）-导数）：让δ∈ （0，t），ε∈ （0，t- δ） ，和∈ （b（t）- δ） ，b（t）]。

确定停车时间σ：=infnu≥ 0 | Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+u≤ b（t）- δ+u）o∧ （T）- （t）- δ)) ∈ T[0，T]-（t）-δ） ，（4.14），它对从t开始的问题应用了最佳停止规则- 这个问题始于t-δ -ε. 通过建设，σ、 Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+σ拥有与τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x. 因为对于t中开始的问题，σ通常是次优的-δ - ε、 一个getsV（t-δ、 十）- V（t）- δ - ε、 x）ε≤εEhG（t- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x）我-εEhG（t- δ - ε+σ，Xt-δ-ε、 xt-δ-ε+σ）i=Eh(1 - α） Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x+αP呃(1)-α） （T）-t+δ-τt-δ、 x）我1.- 呃(1)-α)εε. （4.15）根据抛物型方程的经典理论，如Friedman[12]（第3章）或Shiryaev[19]（第3章定理15），我们知道∈ C1,2在持续区。因此电视（t）-δ、 x）存在于所有x>b（t- δ） 和（V（t）-δ、 十）- V（t）- δ - ε、 x））/ε→ 电视（t）-δ、 x），ε↓ 0.加上（4.15），这意味着电视（t）-δ、 十）≤ -r（1）- α） 嗯(1 - α） Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x+αP呃(1)-α） （T）-（t）-δ)-τt-δ、 另一方面，（t，x）位于所有x的停止区域≤ 因此τt，x=0。自b（t）-) > 0，可以应用引理4.2和τt-δ、 x→ 概率为0 16 C.K–uhn、B.A.Surya和B.Ulbrichtforδ↓ 0，其中收敛在x中保持一致∈ [b（t-)/2，b（t）]。通过一致可积性，得到一个超薄的supδ↓0supx∈（b（t）-δ） ，b（t）][电视（t）-δ、 十）- tG（t，x）]≤ 好的∈（b（t）-),b（t）]-((1 - α） x+αP）er（1）-α） （T）-t） r（1）- α) - tG（t，x）= 0（4.16）步骤2（x的上限）-导数）：让δ∈ （0，t），x∈ （b（t）-δ） ，b（t）]，和ε∈ （0，x）-b（t）-δ)). 参数与步骤1相似，但更方便记录，因为τt-δ、 xis已经是（t）中开始的问题的容许停止时间-δ、 x- ε） 不需要像（4.14）中那样进行转换。

一个getsV（t-δ、 十）- V（t）- δ、 x- ε)ε≤εhEhGT- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 xt-δ+τt-δ、 x我- EhGT- δ+τt-δ、 x，Xt-δ、 x-εt-δ+τt-δ、 xii=（1）- α） EhXt-δ、 1t-δ+τt-δ、 xer（1）-α） （T）-（t）-δ)-τt-δ、 x）i，（4.17）再次，由V∈ C1，2在延拓区域中，我们得到xV（t）-δ、 x）存在所有x>b（t-δ） 和（V（t）-δ、 十）-V（t）-δ -ε、 x））/ε→ xV（t）-δ、 x）对于ε↓ 0.加上（4.17），一个人得到xV（t）-δ、 十）≤ (1 - α） EhXt-δ、 1t-δ+τt-δ、 xer（1）-α） （T）-（t）-δ)-τt-δ、 x）i.同样，通过τt，x=0和b（t-) > 0，引理4.2的一个应用↓0supx∈（b（t）-δ） ，b（t）]xV（t）-δ、 十）≤ (1 - α） 呃(1)-α） （T）-t） 。（4.18）RHS是不依赖于x的xG（t，x）。第3步（左连续性的结论）：现在，我们要引导假设b（t）>b（t）-) 矛盾。让x*:= （b（t）-) + b（t））/2。根据备注3.1，一个人有b（t）≤ 因此，由（3.4）可知，f（t，x*) < 0.在第1步和第2步中，存在δ>0，这是所有s的结果∈ [t]-δ、 t）和x∈ (二),十*], 其中一个有ux十五（s，x）＋电视（s，x）≤ uxxG（s，x）+tG（s，x）-F（t，x）*)= F（s，x）-F（t，x）*)≤F（t，x）*) -F（t，x）*)=F（t，x）*),资本利得税下股票的最优卖出时间，其中第二个不等式由F的连续性及其单调性inx决定。同样，根据[19]第3章中的定理15，我们知道值函数V求解了偏微分方程tV+uxxV+σx在延拓区域C中，xxV=0。因此，我们有二十五（s，x）≥ -2F（t，x）*)3σx≥ -2F（t，x）*)3σx*=: C>0，s∈ [t]- δ、 t），x∈ (二),十*].由V（s，b（s））=G（s，b（s）），十五（s，b（s））=xG（s，b（s））（平滑条件），xxG=0，牛顿-莱布尼兹公式，它遵循v（s，x*) - G（s，x）*) =Zxb（s）Zub（s）二十五（s，v）- xxG（s，v）dvdu≥C（x）*- b（s））（4.19），因为这适用于所有∈ [t]- δ、 t）和V- G是连续的，我们得出结论v（t，x*) - G（t，x）*) ≥C（x）*- b（t）-))> 这与（t，x）相矛盾*) 位于停车区域。

因此，可以得出结论，b（t-) = 建立了边界的连续性。根据备注3.1，b（T）确定边界的终端条件-) = 极限↑Tb（t）不能超过边界f，超过该边界，支付过程的漂移率为正。仍需排除b（T-) <f、 但是，这是用与证明边界的左连续性相同的参数来完成的，使用的是V（T，x）=G（T，x）表示所有x的事实∈ [b（T-), f] .4.3命题2.4（i）的证明≤ σ≤ σ和w.l.o.g.t=0。对于两个独立的标准布朗运动B和B，processXs=x expus+σBs-σs+qσ- σeBs-σ- σs, s≥ 0，与（2.1）中的股票价格具有相同的规律，σ=σ。此外，X是马尔可夫w.r.t.过滤（FB、eBs）s∈[0，T]由B和B生成。这意味着，具有标准偏差σ的（2.3）中的V与问题supτE[G（τ，Xτ）]，（4.20）18 C.K–uhn，B.A.Surya和B.ulbricht的值一致，其中上确界接管了所有（FB，eBs）s∈[0，T]——停止时间τ。现在考虑艺术最优停止问题，其中进入股价的第二个布朗运动b对于最大化者是不可观测的。这与（FBs）的限制相对应∈[0，T]——停止时间。当然，后一个上限至少和前一个一样高。另一方面，对于任何FBs∈[0，T]–停止时间τ，我们有[G（τ，Xτ）]=Eh(1 - α） x经验μτ+σBτ-στ+qσ- σeBτ-(σ- σ)τ+ αP×er（1）-α） （T）-τ） i=（1）- α） 埃赫（1）-α） （T）-τ） x经验μτ+σBτ-στ×E经验qσ- σeBτ-σ- στ| FBTi+αPE呃(1)-α） （T）-τ)= E(1 - α） 呃(1)-α） （T）-τ） x经验μτ+σBτ-στ+ αPer（1）-α） （T）-τ),其中，条件期望值为1，因为τ是FBT–可测量的，且与FBT无关。因此，问题（4.20）的值仅限于所有（FBs）s∈[0，T]——停车时间与（2.3）中的V一致，标准偏差σ较小。因此，我们有Vσ≤ Vσ。