不确定性决策的复合风险度量框架

（请提供手稿编号！）假设2.1。损失函数H（x，ξ）在x上是（分段）连续可微且凸的。都是Eξ~F[H（x，ξ）]和Eξ~F[xH（x，ξ）]。假设2中的第一项是必要的。否则，即使随机损失的风险度量被放弃，有效解决问题（21）的希望也微乎其微。第二个假设确保可以使用标准优化技术来解决问题（21）。当第二个假设被违反时，如Eξ~F[H（x，ξ）]没有一个封闭的表达式，而且x的维数很高，我们必须求助于基于样本的方法来评估ξ~F[H（x，ξ）]。因此，问题的规模将会很大。对于这些情况，我们将在下一小节中提出一种近似方法。我们将问题（21）改写为一个机会受限的问题：mint，x∈Xt（23）s.t.P（Eξ）~F[H（x，ξ）]>t）6 1-δ.因此，问题（21）x的最优解*表示一个最优决策，其中δ量子化Eξ的分布~F[H（x，ξ）]最小化（注意，此处的ran dom变量是分布参数Θ）。解决塔克勒问题（23）的一种通用方法是样本的阿普罗西马特·伊奥·纳普罗奇（SAA）（例如，见Nemirovski和Shapiro 2006，Luedtke和Ahmed 2008）。使用Mont eCarlo方法生成分布参数Θi，i=1，…，的NI.i.d.样本，从分布P来看，问题（23）可以用下列混合整数非线性规划（MINLP）来近似：mint，x∈X，zi∈{0,1}t（24）s.t。-Mzi+Eξ~Fi[H（x，ξ）]6t，i=1，2。。。，NNXi=1zi=(1 -δ） N,钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；手稿号。

（请提供手稿编号！）19式中，fi是由Θi参数化的分布，M是大于maxx的lar ge常数∈X，i=1，。。。，NEξ~Fi[H（x，ξ）]-貂皮∈X，i=1，。。。，NEξ~Fi[H（x，ξ）]。例如，当X有界时，re存在一个有限值M。这种近似方法的原理非常清楚。通过生成N个Θ的实例，在Θi上的均匀分布，i=1，N而不是在最小化期望的δ分位数时考虑的Pis。当N足够大时，问题（24）可以根据大数定律很好地解决问题（23）。具体而言，我们有以下精度和可行性范围，为给定所需精度水平选择合适的N提供了指南。下一个测试主要遵循Luedtke和Ahmed（2008）的测试结果。定理2。假设X以直径D和Eξ为界~F[H（x，ξ）]是全局Lipschitz连续的，对于所有的F都是Lipschitz常数L∈ F.假设问题（23）和（24）都是可行的，并且它们的最佳值是确定的。用Pδ和PNδ表示（23）和（24），用（x）表示其最优解（仅x部分）和最优值*δ、 t*δ） 和（x）*N、 δ，t*N、 δ），分别。Let0<τ6 1-δ,  ∈（0,1），γ>0，N=τ日志+ n日志2LDγ+ 日志τ. （25）当N>N时，概率至少为1-2，我们有：*δ-τ-γ6t*N、 δ6t*δ+τ. （26）证据。当N>N>2τlog时, （26）中的上界由Luedtke和Ahmed（2008）中的定理3给出。此外，根据Luedtke和Ahmed（2008）中的定理10，问题的可行（x，t）：mint，x，zi∈{0,1}t（27）s.t。-Mzi+Eξ~Fi[H（x，ξ）]+γ6t，i=1，2。。。，NNXi=1zi=(1 -δ） N钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架20提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）对于问题Pδ是可行的-τ至少为1-概率。

请注意，问题（27）的最佳t等于t*N、 δ+γ。因此，当问题（27）的可行解（x，t）对于问题pδ是可行的-τ、 我们没有*N、 δ+γ>t*δ-τ. 这就完成了证明。请注意，在上述条件下，对数hms会接管和γ，因此我们可以选择它们的较小值，而无需大量增加必要的样本数量。同时，实验表明定理2中的界是非常保守的（Luedtke和Ahmed2008），人们可以在实践中选择一个更小的N。在数值上，可以使用CPLEX（混合整数线性问题）和d MOSEK（某些MINLP问题）等软件包来解算中等规模的问题。当假设2成立时，问题（24）可能由这些解算器解决。备注1。值得指出的是，模式l（24）也可用于解决一系列VaR-VaRproblems和VaR-CVaR问题。对于投资组合优化问题，其中H（x，ξ）=ξTx，ξ的分布是均值为u且协方差为Γ的正态分布，VaRδ（H（x，ξ））和CVaRδ（H（x，ξ））都有闭式表达式（Sarykalin et al.2008）：VaRδ（ξTx）=Φ-1（δ）√xTΓx+uTx，（28）CVaRδ（ξTx）=√2π(1 -δ）exp(-(Φ-1(δ))/2)√xTΓx+uTx，（29）式中Φ-1（·）是标准正态分布的累积分布函数的倒数。在这种情况下，我们可以通过解决以下问题来最小化VaRδ-VaR和VaRδ-CVaR：∈XVaRδΦ-1()√xTΓx+uTx, （30）貂皮∈XVaRδ√2π(1 -）经验(-(Φ-1())/2)√xTΓx+uTx, （31）这两个问题都可以通过使用SAA方法的混合整数二阶锥程序（MISOCP）近似求解。备注2。同样值得注意的是，当目标函数H（x，ξ）在ξ中是线性的（例如在投资组合选择问题中），VaR预期模型类似于公式中的VaR模型。

更精确地说，假设H（x，ξ）=ξTf（x），那么VaRδ（Eξ[H（x，ξ）]）=VaRδ（（Eξ）Tf（x））。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）后者可视为以Eξ为随机变量的VaR模型。最近，Cui等人（2013年）和Wen e t等人（201 3年）在港口选择问题的上下文中研究了这种配方。特别是，Wen等人（2013）表明，在这种情况下，交替方向增强拉格朗日方法（ADM）可以有效地解决pr问题。然而，如果目标在ξ中不是线性的，则VaR预期模型不同于VaR模型，因为预期不再被考虑到ξ中。此外，即使在线性情况下，VaR预期模型h与VaR模式l的解释也非常不同：在VaR模型中，不确定性直接存在于ξ中，并且必须假设ξ的特定分布（通常根据经验分布估计）；而在VaR期望模型中，不确定性存在于ξ的分布中。即使在同一组观测中，不同的解释通常也会产生不同的确定性集。4.2. 最小化CVaR CVaR和CVaR期望利用上述相同的思想，我们通过选择u（·）作为δ-VaR，选择gF（·）作为-CVaR，即minx，建立了一个稳健的CVaR优化模型∈X，t∈Rts。t、 P（CVaR（H（x，ξF））>t）6 1-δ、 其中P（·）是F的概率测度，ξF表示ξ的分布是F。该模型可被视为最小化VaR单边δ置信区间的上限。对于大多数情况，不可能推导出CVaR的闭合形式表达式。

在实践中，基于样本的方法，如样本平均近似（SAA）被广泛用于计算CVa R。为了确保评估的准确性，样本数量通常很大（必要样本的确切数量将在后面讨论）。因此，如果我们直接用CVaRin模型（24）代替预期，由此产生的问题将是一个大型混合整数程序，这是钱、王和文提出的：不确定性下决策的复合风险度量框架22提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）有待解决。同样的情况也发生在VaR预期模型中，该模型不能直接评估预期，必须用样本平均值来近似。为了解决上述问题，我们将外部VaR放宽为C VaR，从而产生了一个CVaRCVaR（嵌套CVaR）模型：minx∈Rn，α∈Rα+1-δE[（CVaR（H（x，ξF））-α)+]. （32）同样，我们可以考虑以下CVa R预期模型，而不是VaR预期模型：minx∈XCVaRδ（Eξ）~F[H（x，ξ）]）。（33）进行上述放松的原因是双重的。首先，Delbaen（2002）表明，CVARδ（Z）是所有依赖于Z分布的一致风险度量中VaRδ（Z）的最小上限。通过将原始问题放宽到凸规划，可以使用多种凸优化算法来解决这些问题。第二，文献中研究了与模型（32）相似的操作优化问题，并将其与风险规避的多消化道程序联系起来（参见Guigues and R¨omisch 2012，Philpott and de Mat os 2012），因此可以采用类似的算法和技术。此外，由于模型（32）和（33）考虑了最不利情景下的损失程度，它们本身也有意义。

在下文中，我们提出了一个使用SAA方法解决问题（32）的一般机制。由于模型（33）的讨论类似于模型（32）的讨论，而且更简单，我们将只讨论模型（32）。SAA是随机规划中的一种常用方法，已被用于处理CVA优化问题，参见Shapiro（2006）和Wang及Ahmed（2008）。SAA的概念是通过Monte Car-lo方法或其他方案生成的多个样本的平均值来近似预期。在问题m（32）中，我们有[（CVaR（H（x，ξ））-α)+] ≈NNXi=1（CVaR（H（x，ξFi））-α） +、钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）23其中，NI.i.d.样本Θ：Θ，Θnar由Θ的分布和ξFiisΘi分布的参数生成。然后，原始优化问题可以用以下问题近似：minα∈R、 x∈Rn，u∈RNα+（1）-δ） NeTu（34）s.t.ui>CVaR（H（x，ξFi））-α、 i=1，2。。。，Nui>0，i=1，2。。。，N、 其中e表示所有1的向量。请注意，问题（34）是一个CVaR约束问题，约束中的CVaR也可以使用SAA近似，从而导致以下问题：minα，x，u，vα+（1-δ） NeTu（35）s.t.用户界面>vi+（1）-）MMXj=1[H（x，ξjFi）-vi]+-α、 i=1，2。。。，Nui>0，i=1，2。。。，N、 其中v=（v，…，vN），i=1，N是辅助变量，且（ξFi，…，ξMFi），i=1，N是由Fi生成的i.i.d.样本g。当H（x，ξ）在x上是凸的时，问题（35）是一个具有线性目标函数的凸规划，可以有效地求解大型p问题。现在我们来看看samp-les的数量，N和M。

对于M，Wang和Ahmed（20 08）表明，在一定的正则性条件下，至少有1- 当nm>C（H，F）γ时，CVaR的SAA位于C VaR的γ邻域内的概率C（H，F）n+C（H，F）对数, （36）其中C（H，F）、C（H，F）和C（H，F）是给定目标函数H（x，ξ）的常数F，分布F，n是x的维数。由于这些常数通常很难计算，所以（36）中的界限可以作为估计M阶数的基准。对于n，Shapiro（20 06）证明，在温和条件下，样本大小大于D（H，P）γn日志D（H，P）γ+ 日志D（H，P）（37）钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架24提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）确保问题（34）的解位于问题（32）解的γ邻域内，概率为1- . 这里D（H，P）、D（H，P）和D（H，P）是给定目标函数H（x，ξ）的常数，分布P（F）是x的维数。利用（36）和（37）中的估计，我们可以看出问题（35）的规模相当大。在实际应用中，有许多方法可以加速计算。例如，Alexander et al.（20 06）和Xu and Zhang（2009）表明，smoo thing C VaR可以将计算效率提高数倍。备注3。当C VaR中的表达式可以很容易地进行评估和区分时，我们只需要从分布中取样，由此产生的问题就更容易解决。例如，考虑以下模型：minx∈XCVaRδ（VaR（ξTx）），（38）minx∈XCVaRδ（CVaR（ξTx）），（39），其中ξ的d分布为正态分布。由于VaR（ξTx）和CVaR（ξTx）对m个表达式（在（28）、（29）中给出）是闭合的，问题（38）和（39）可以用二阶锥程序（SOCP）来解决。

对于CVaR期望问题，当ξ的分布是离散的时，问题（33）会简化为一个平均CVaR问题，并且可以有效地解决（Iyen gar和Ma 2013，Wen等人2013）。填好表1中的几个空条目后，我们得到了表2。在表2中，符号~ 表示该模型等同于另一个以数字和符号×标记的模型，这意味着尚未考虑此类风险度量组合。（在表2中，Var最坏情况和CVaR最坏情况模型可分别视为Var-CVaR和C-Var-CVaR模型，内部CVaR中的δ为1。）5.数值试验在本节中，我们进行数值试验，以证明第4节中提出的模型的可处理性和有效性。特别是，我们考虑了VaR预期模型，th eQian，Wang和Wen：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）25表2风险度量的不同组合：完整表u（·）gF（·）预期CVaR VaR最坏情况单例（1）（4）（3）（5）预期~ （1） ××VaR（21）（31）（30）~（31）最坏情况（6）（12）（11）~（5） CVaR（33）（32）（38）~（32）CVaR期望模型和CVa R-CVaR模型，并使用投资组合选择问题进行数值实验。在投资组合选择问题中，决策者会根据历史数据选择一个可用的股票进行投资。特别是，我们的数据集包含标准普尔500指数中359只不同股票的日收益率，这些股票没有2010年至2011年的缺失数据。在下文中，我们展示了当使用VaR预期模型时，相应的分布集（对于VaR）取决于决策，这是模型的一个显著特征。

我们表明，与Delage和Ye（2010）中的分布稳健模型l相比，这一特性使得VaR预期模型的保守性更低。然后我们证明，即使样本大小足够大，可以保证解的精确性，这三个模型都可以有效地计算。最后，我们比较了三种模型与现有模型的最终收益。5.1. 比较VaR预期模型和分布稳健模型，我们在第4节中讨论了我们提出的方法的一个重要特征，VaR预期模型，分布集（对于VaR）取决于决策x，因此从该模型获得的解的保守性将低于传统分布稳健模型的保守性，在该模型中，分布集独立于x。在这里，我们用数值例子说明了这一特征。假设一个决策者使用VaR期望模型建立了n只股票的投资组合。股票的联合分布由ann维正态分布参数化，平均值为u，协方差矩阵为∑。在每个决策时刻，钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架26提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）我们使用过去t天的收益率来推导u和∑的后验分布。让u和∑表示过去t天股票经验分布的平均值和协方差。使用多元Jeffereys先验密度作为先验分布（即无信息先验f或正态分布），我们得到后验分布Pofua和∑由（Gelman et a l。

20 13）：f（u，∑）=N（u|u，t-1∑）W-1∑| t∑，t-1） ，（40）式中N（u|u，t-1∑）是具有均值u和协方差矩阵t的多元正态分布的概率密度函数-1∑和W-1∑| t∑，t- 1） 是具有尺度矩阵t∑和自由度t的逆Wishart分布的概率密度函数- 1.在下文中，我们设置t=30。对于每个固定决策（分配）x，损失ξ的最坏情况分布F（x）=N（u（x），∑（x））满足以下条件N:P（EF[ξTx]>EF（x）[ξTx]）=1-δ、 或等效地，P（uTFx>u（x）Tx）=1-δ.因此，VaR预期模型的分布集为：Fx=N（u，∑）|uTx 6u（x）Tx,这取决于x。VaR预期模型下的优化问题是（我们假设总投资额必须等于1）：maxx>0，eTx=1u（x）Tx。（41）与De la ge和Ye（2010）中的分布稳健模型相比，我们注意到Delage和Ye（2010）中的目标函数为maxx>0，eTx=1minF∈FuTFx（42）钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）27图1 VaR预期模型和DRO模型之间的比较。0% 0.5%   1%-0.2%0%0.2%0.4%0.6%0.8%1%DRO模型的最佳值VaR的最佳值-Exp.模型0%0.05%0.1%0.15%050100150200250 VaR最佳值之间的差异-Exp模型和DRO模型#样本=F（ξ）∈M（Eξ）~F（ξ）-u）T∑-1（Eξ）~F（ξ）-u）6γEξ~F[（ξ）-u)(ξ -u）T]γΣ,其中，根据Delage和Ye（2010）中的讨论选择γ和γ，以确保概率δF包含真实分布。在下文中，我们得出δ=0.95。