不确定性决策的复合风险度量框架

我们执行以下程序：我们随机挑选两支股票，并使用它们从2010年3月4日到2010年4月14日的经验收益率来拟合正态分布。然后我们从分布中提取10个数据，形成数据集。（在Delag e and Ye 201 0中，通常需要至少10个数据点才能获得有效的γ和γ，因此我们必须采用这种自举方法。）然后我们用这些数据分别求解（41）和（42）。根据第4.1节的讨论，（41）的最佳值应大于（42）。在我们的数值实验中，我们将上述过程重复1000次，并将结果绘制在图e 1中。图1中的左图显示了Delage和Ye（2010）（x轴）中的分布稳健模型和1000个实验中的VaR预期模型（y轴）获得的最优值的散点图，右图显示了同一组实验中最优值差异的分布。从图1中，我们可以看到VarExpection模型在所有情况下都会产生更高的值，这意味着它的成本更低。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架28提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）图2分布集的比较。-0.2-0.1 0 0.1 0.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2u1u2 DRO外壳（阴影区域）。x1=0.75x1=0.25DRO-0.2-0.1 0 0.1 0.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2u1u2 F[0.25,0.75]外壳（阴影区域）。x1=0.75x1=0.25DRO-0.2-0.1 0 0.1 0.2-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2u1u2 F[0.75,0.25]外壳（阴影区域）。x1=0.75x1=0.25dro的确，在1000次试验中，（41）的平均最佳值比（42）的平均最佳值大0.070%。

此外，对于一个特定的实验，我们绘制了图2中F[0.75,0.25]、F[0.25,0.75]和DRO模型在u平面上的分布集的投影。从图2可以看出，在DRO方法中，分布集与x的选择无关。然而，在VaR期望模型中，分布随x的选择而变化。正如我们前面提到的，正是VaR期望模型的这种特性使得解决方案不那么保守，但具有相同的概率保证水平。5.2. 在第5.1节的设置下，VaR预测模型可以通过交替方向增广Lagra ngian方法（ADM，见Wen等人2013）求解，CVaR预期模型可以通过LP求解，CVaR CVaR模型可以通过SOCP求解。我们评估了这三种模式ls在不同库存数量n和样本量n下的性能。我们的实验是在一台笔记本电脑上进行的，该笔记本电脑具有8.00GB的RAM和2.20GHz的处理器，使用MOSEK和Matlab接口。当t=30和N=4时，我们首先求解VaR预期、CVaR经验和CVaR CVa R模型f或d差异样本大小N，而外部和内部风险水平均选择为0.95。这些股票是从359只股票中随机选择的，我们考虑的时间是2010年3月4日至2010年4月14日。我们在同一组股票上进行了100次实验，结果是钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；手稿号。

（请提供手稿编号！）29表3 n=4时不同CRM模型的计算时间和精度#样本VaR期望CVaR期望CVaR CVaRN平均标准时间平均标准时间平均标准时间5000 0.0005 1.91×10-45.12 -0.0007 1.44 × 10-40.13 -0.0370 2.80 × 10-40.7610000 0.0004 1.56 × 10-45.17 -0.0007 7.94 × 10-50.16 -0.0371 2.01 × 10-41.7820000 0.0004 1.09 × 10-44.99 -0.0007 6.68 × 10-50.25 -0.0371 1.44 × 10-43.2650000 0.0005 6.43 × 10-57.58 -0.0007 4.20 × 10-50.70 -0.0372 7.94 × 10-510.02100000 0.0004 4.63 × 10-59.26 -0.0007 3.18 × 10-51.65 -0.0373 7.17 × 10-517.64如表3和图3所示。在表3中，第一列用“ave”表示，对于每种方法，是相应模型最佳值的平均值，第二列用“std”表示，是所有实验中最佳值的标准偏差，而第三列是平均计算时间（以秒为单位）。当N=100000时，这三种模型仍然可以有效地计算。同时，SAA问题的解能很好地逼近原模型的解。图3显示了所有实验的最优投资组合中前3只股票权重的散点图（最后一只股票的权重可以用一减去前三只股票的总权重计算）。结果表明，溶液越大，浓度越高。结果表明，当样本量变大时，最优解也收敛。现在我们将N=5000，并选择不同的N，而考虑的周期和所有其他参数与之前的实验相同。结果如表4所示，其中Tavei是所有实验的平均计算时间，Tmini是最小计算时间，Tmax是最大计算时间。

所考虑的模型（从左到右，见表4）：VaR预期模型、CVaR预期模型和CVaR-CVaR模型。我们可以看到，即使n很大，我们的新模型仍然可以在合理的时间内进行计算。5.3. 为了测试新模型在现实世界交易操作中的性能，我们将我们的模型与现有的投资组合选择模型进行了比较。在每个实验中，我们随机选择了钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架30篇提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）图3近似问题的最优分配。00.5100.5100.51VaR-Exp.，N=500000.5100.5100.51CVaR-Exp.，N=500000.5100.5100.51CVaR-CVaR，N=500000.5100.5100.51VaR-Exp.，N=2000000.5100.5100.51CVaR-Exp.，N=2000000.5100.5100.51CVaR-CVaR，N=2000000.5100.5100.51VaR-Exp.，N=10000000.5100.5100.51CVaR-Exp.，N=10000000.5100.5100.51CVaR-CVaR，N=100000表4 N=5000时不同CRM模型的计算时间#股票VaR预期CVaR预期CVaR CVaRn TavetMintMaxTavetMintMaxMaxMaxMax10 4.52 3.93 4.97 0.14 0.13 0.20 3.17 2.71 5.7220 4.49 3.98 5.07 0.18 0.17 0.22 6.77 5.22 12 12.4830 5.36 4.57 6.16 0.22 0.20 0.25 12.62 10.39 19 19.4340 6.19 5.44 0.07 0.28 0.25 0.32 19 19.49 15.40 29 1550 6.38 5.60 7.11 0.10.33 0.33 0.33 0.29建立一个动态股票投资组合，从所有a股到b股票组合2010年3月4日至2011年4月27日期间（总共300天）。投资组合每天重新计算，使用最近30天的收益作为输入数据。在试验的每一天，只能使用最后30天的试验结果。

我们将VaR预期、CVaR预期和CVaRCVaR模型的样本量设置为2000，并将结果与分布稳健模型（Delage和Ye 201 0）、最坏情况下的VaR模型（El Ghaoui et al.2003）和单一股票（SS）模型进行比较。单一股票模型选择在过去30天内平均回报率最高的股票作为当天的唯一股票，并将其用作原始基准。每天的平均累积收益如图4所示，而平均标准差和每日收益如表Qian、Wang和Wen所示：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）31图4所有模型的财富积累比较。0 50 100 150 200 250 3000.9511.051.11.151.21.251.31.35dayswalth变量-Exp.CVaR-Exp.CVaR-卡瓦德罗-表5所有模型的平均回报率和标准差。VaR-Exp.CVaR-Exp.CVaR CVaR DRO W-C VaR SSave回报率0.096%0.096%0.087%0.088%0.087%0.078%ave标准1.49×10-21.34 × 10-21.17 × 10-21.19 × 10-21.17 × 10-22.17 × 10-25.在本实验中，我们的模型的波动率明显小于SSA方法的波动率。与其他模型相比，CVaR预期模型和VaR预期模型的回报率更好，而CVaR CVaR模型的表现与DRO模型和最坏情况下的VaR模型一样好。虽然我们无法在没有更多密集测试的情况下得出关于哪种模型整体更好的一般结论，但该实验表明，CRM模型选择的投资组合具有稳健的pe表现，这是我们想要的财产。6.结论在本文中，我们提出了一个使用风险度量组合的不确定性决策的统一框架。

我们的重点一直是不确定模型参数的分布可以通过一系列参数来参数化的情况，其中包括一大类问题。我们框架的通用性允许我们统一几个现有模型，并在fr-amework中构建新模型。通过理论证明和数值计算，我们展示了钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架32提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）与我们的新范式相比，实验产生的保守解更少，但提供了相同程度的概率保证。参考亚历山大，S.，T.F.科尔曼，Y.李。2006.最小化衍生品组合的CVaR和VaR。《银行与金融杂志》30（2）583–605。阿兹纳，P.，F.德尔班，J.M.埃伯，D.希思。1999.一致的风险度量。数学金融9（3）203–228。本·塔尔，A.，D.登·赫托格，A.德瓦格·埃内雷，B.梅伦伯格，G.雷宁。2013.受不确定概率影响的优化问题的稳健解决方案。管理科学59（2）341–357。本·塔尔，A.，L.埃尔·盖伊，A.内米罗夫斯基。2009.稳健优化。普林斯顿大学出版社。本·塔尔，A.，A.内米罗夫斯基。1999.不确定线性规划的鲁棒解。运营研究信函25（1）1-13。伯西马斯，D.B.布朗。2009.构造鲁棒线性优化的不确定性集。运营研究57（6）1483–1495。Bertsimas，D.，D.B.Brown，C.Caramanis。2011.稳健优化的理论与应用。SIAMReview 53（3）464–501。贝尔西马斯，D.，V.古普塔，N.卡卢斯。2014.数据驱动的稳健优化。写论文。贝尔西马斯，D.帕卡马诺娃，M.西姆。2004.一般范数下的鲁棒线性优化。运营研究信函32（6）510–516。伯西马斯，D.，I.波佩斯库。2005

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