不确定性决策的复合风险度量框架

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英文标题：
《A Composite Risk Measure Framework for Decision Making under Uncertainty》
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作者：
Pengyu Qian, Zizhuo Wang, Zaiwen Wen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we present a unified framework for decision making under uncertainty. Our framework is based on the composite of two risk measures, where the inner risk measure accounts for the risk of decision given the exact distribution of uncertain model parameters, and the outer risk measure quantifies the risk that occurs when estimating the parameters of distribution. We show that the model is tractable under mild conditions. The framework is a generalization of several existing models, including stochastic programming, robust optimization, distributionally robust optimization, etc. Using this framework, we study a few new models which imply probabilistic guarantees for solutions and yield less conservative results comparing to traditional models. Numerical experiments are performed on portfolio selection problems to demonstrate the strength of our models.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一个统一的框架下的决策不确定性。我们的框架基于两个风险度量的组合，其中内部风险度量考虑了给定不确定模型参数精确分布的决策风险，外部风险度量量化了估计分布参数时发生的风险。我们证明了该模型在温和条件下是可处理的。该框架是几种现有模型的推广，包括随机规划、鲁棒优化、分布鲁棒优化等。利用该框架，我们研究了一些新模型，这些模型对解具有概率保证，与传统模型相比，产生的保守结果更少。对投资组合选择问题进行了数值实验，以证明我们模型的有效性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_Composite_Risk_Measure_Framework_for_Decision_Making_under_Uncertainty.pdf (501.14 KB)

2022-5-7 07:38:58 上传

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关键词：不确定性决策 风险度量 不确定性 风险度 不确定

提交给Operations Research Manuscri pt（请提供手稿编号！）鼓励作者通过s-tyle file模板（包括期刊标题）向期刊提交新论文。然而，使用模板并不证明论文已被接受在指定期刊上发表。通知期刊模板仅用于提交给微软期刊的目的，不应用于以印刷或在线形式分发论文，或将论文提交给其他出版物。不确定性下决策的复合风险度量框架北京大学数学科学学院，彭宇。qian@pku.edu.cnZizhuo明尼苏达大学工业与系统工程系，明尼苏达州明尼阿波利斯市，邮编55455，zwang@umn.eduZaiwen北京大学北京国际数学研究中心，wenzw@math.pku.edu.cnIn本文提出了一个不确定性决策的统一框架。我们的框架基于两个风险度量的组合，其中内部风险度量考虑了不确定模型参数的精确分布情况下的决策风险，外部风险度量在估计分布参数时量化了风险发生。我们证明了该模型在mild条件下是不可压缩的。该框架是几种现有模型的推广，包括随机规划、鲁棒优化、分布鲁棒优化等。利用该框架，我们研究了一些新模型，这些新模型意味着对解的鲁棒保证，并且与传统模型相比，得到的保守结果更少。对投资组合选择问题进行了数值实验，以证明我们模型的强大性。1.

引言在本文中，我们考虑一个想要最小化目标函数H（x，ξ）的决策者，其中x∈ Rn是决策变量，ξ∈ RSI是与模型相关的一些不确定/未知参数。例如，在一个报童问题中，x是报童订购报纸的数量，ξ是不确定的未来需求。同样，在一个投资问题中，x是投资组合管理者选择的投资组合，ξ是这些工具未知的未来回报。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架2提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）不确定参数的存在将该问题与常规优化问题区分开来，并导致了几种决策范式。Dantzig（1955）提出了在不确定性条件下处理此类决策问题的最早尝试之一，其中假设ξ的分布是精确已知的，并且选择该决策来最小化H（x，ξ）的期望。这种方法被称为随机编程。Soyster（1973）提出的另一种称为稳健优化的方法支持ξ的所有可能值都在一个不确定集内，并且应该做出决策，以使最坏情况下的H（x，ξ）值最小化。随机规划和稳健优化模型可以被视为不确定性决策中可用信息频谱中的两个极端。有一些模型介于这两个极端之间。例如，分布稳健模型（Sc arf等人，1958年，Dupaˇcov\'a 1 987年，Delage和Ye 2010年等）同时考虑了随机和随机两个方面，其中假定ξ的分布属于一个特定的分布集，且H（x，ξ）的最坏情况预期最小化。

也有各种模型将特定风险（Rockafellar和Uryasev 2000、Gaivoronski和P flug 2005等）或H（x，ξ）的最坏情况风险（El Ghaoui等人2003、Zhu和Fukushima 2009等）降至最低。我们将在第2节中详细回顾se模型。除了对单个模型的研究外，最近也有研究试图在不同模型之间寻找联系，并提出更一般的模型。例如，Bertsimas和Brown（2009）和d Natarajan等人（2009）表明，可以根据决策者的风险偏好构造不确定性集，Bertsimas等人（2014）提出了数据驱动稳健优化的一般框架，Wiesemann等人（2014）提出了分布稳健模型的框架。虽然一些模型已经在实践中证明了它们的有效性，但现有文献中仍然存在一些忽视的问题：1。缺乏一个包含上述所有模型的统一框架，即随机规划模型、稳健优化模型、分布稳健模型和最坏情况风险模型。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）32.虽然已经对目标函数施加了风险度量，以处理参数不确定性（Artzne r等人，1999年，Bertsimas和Brown 2009年等），但还没有尝试对目标函数的预期或其他功能施加风险度量，以应对分布不确定性。3.

现有文献在对分布不确定性下的决策建模时没有充分考虑贝叶斯方法，尽管它适用于此类问题。本文的目标是填补这些空白，为不确定性下的决策建立统一的建模框架。我们的统一框架基于稳健的风险度量解释，包括几种流行的模型，如随机规划、稳健优化、分布稳健优化、最坏情况风险模型等。具体而言，我们最小化了两种风险度量的组合，其中，内部风险度量说明了给定参数Exact分布的决策风险，外部风险度量量化了估计分布参数时发生的风险。对于外部风险度量，我们采用贝叶斯方法并考虑分布参数的后验分布。我们证明了只要内部和外部风险测度都是凸风险测度，风险测度的组合就是凸的。我们还利用这一框架构建了几个具有现实意义的新模型，并对se模型进行了数值测试，展示了它们的优势。我们的贡献总结如下：1。我们提出了一个复合风险度量（CRM）框架，用于不确定性条件下的决策，其中两个风险度量的组合最小化。它是几个不同模型的推广。我们证明了相应的优化问题在温和条件下是凸的。2.利用分布参数的风险度量和贝叶斯后验分布，提出了一种处理分布不确定性的新方法。3.

利用复合风险度量框架，我们研究了VaR预期模型、CVA预期模型和CVaR CVaR模型，考察了它们的可追踪性和概率性。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架4提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）保证。数值实验表明，这些模型可以有效地求解投资组合选择问题。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要回顾了现有的不确定性决策模型。在第3节中，我们展示了我们的综合风险度量体系，并展示了几个现有的模型属于该框架。第4节提出了总体框架内的几个新模型。这些新模型的数值结果如第5部分所示。符号。在论文的草稿中，将使用以下符号。普通小写字母（x，y，…）表示标量，粗体小写字母（x，y，…）表示向量。具体来说，x∈Rn表示决策变量a和ξ∈ Rs表示不确定/未知参数。H（x，ξ）是判定x和参数ξ下的损失函数。现有的不确定性决策模型综述文献中提出了许多研究不确定性决策问题的模型。在本节中，我们将回顾这些现有模型。2.1. 随机规划求解不确定性决策问题最常用的方法之一是通过随机规划。在随机规划模型中，假设ξ的完全分布信息是可用的。然后，为了选择最优决策变量x，考虑acerta在随机损失H（x，ξ）的泛函中的作用。

这种方法的例子包括：期望优化。Dantzig（1955）考虑了这样一种情况，即目标是最小化Random损失H（x，ξ）的预期。也就是说，优化问题是minxe[H（x，ξ）]。（1） 有很多文献研究这种优化问题。我们请感兴趣的读者toShapiro等人（2009）进行全面综述。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）5风险价值（VaR）优化。自20世纪90年代引入VaR以来，VaR作为金融行业下行风险的衡量标准一直广受欢迎（见RiskMetrics 1996）。对于fixedx，H（x，ξ）的δ-VaR定义为随机损失H（x，ξ）的δ分位数。数学上，VaRδ（H（x，ξ）），inf{t∈R | P（H（x，ξ）>t）61-δ}. （2） 相应的VaR优化问题可以写成：minx，tt（3）s.t.P（H（x，ξ）>t）61-δ.VaR优化问题在文献中得到了广泛的研究，见e。GKast等人（1998年）、Lucas和Klaassen（1998年）等。然而，VaR有三个主要缺点。首先，它没有考虑VaR以外的损失的大小，导致决策者考虑“过度但遥远”的风险（Einhorn和Brown，2008年）。其次，它是n次可加的（Artzner等人，1999），这意味着组合d投资组合的VaR可能大于其组成部分的VaR之和，这是许多应用中不需要的特性。最后，VaRδ（H（x，ξ））在x中通常不是凸的（Birge和Louveaux，2011），这使得优化问题变得棘手。条件风险价值（CVaR）优化。为了克服VaR的缺点，研究人员进一步提出了一种修正版的VaR，CVaR（在一些文献中也称为预期短缺）。

对于某一随机损失X，δ-CVaR是最短时间内的预期损失1-δ例。在数学上，它可以写成：CVaRδ（X）=1-δZδVaRs（X）ds。对于无原子分布，CVaR等价于损失超过VaR的条件期望，即CVaRδ（X）=E[X | X>VaRδ（X）]。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架6提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）Rockafellar和Uryasev（200 0）表明，通过求解以下凸程序可以获得CVaR c:minα∈Rα+1-δE[（H（x，ξ）-α） +]，（4）这导致了CVaR的另一个定义。由于目标函数在α2.2中是显式和凸的，因此该公式带来了计算便利。鲁棒优化在不确定的情况下，另一种流行的决策方法是使用鲁棒优化方法。在鲁棒优化应用程序roach中，不假设ξ的分布已知，只假设ξ取某个不确定性集合Ξ中的值。然后，在选择决策变量时，一个人会考虑与每个决策相关的最坏情况结果，其中最坏情况是从特定的不确定性集中选择的。优化问题可以写为：minxmaxξ∈ΞH（x，ξ）。（5） 鲁棒优化问题有更一般的形式，其中约束而非目标函数受到参数不确定性的影响（例如Bertsimas等人，2011）。Soyster（1973）和h首次提出稳健优化，因为att在过去几十年中吸引了大量关注。对于文献的综合性回顾，我们建议读者参考Bertsimas等人（2011）和Ben Ta l等人。

(2009).选择一个合适的不确定性集是制定稳健优化问题的关键。在设计不确定性集时，应考虑两个主要问题：可处理性。只有少数不确定性集会导致原始问题m的可处理对应项。一些已知情况包括多面体不确定性集（Be n-Tal和Nemirovski 1999）、椭球不确定性集（Ben Ta l和Nemirovski 1999、El Ghaoui和Lebret 1997和andEl Ghaoui et al.1998）、范数不确定性集（Bertsimas et al.200 4）、e tc。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）7.保守。直觉上，当不确定性集非常大时，最终的决策将非常稳健，但有时过于保守，无法实际使用。关于不确定性集的选择，已经做了很多工作，见Bertsimas和Sim（2004），Chen等人（20 07）和Bertsimas等人（2014）。2.3。分布稳健模型在实际应用中，通常情况下，一个人只掌握ξ分布的部分信息，例如第一和第二矩。在这些情况下应用随机规划是不可行的。同时，使用稳健的优化方法并不简单，通常会导致非常保守的解决方案。因此，提出了一种中间路径，称为分布式鲁棒优化（DRO）模型。在DRO模型中，决策者构造隶属分布的不确定性集F，并在从F中选择的最坏情况分布下最小化目标函数的期望值。

也就是说，我们要考虑以下问题：minxmaxF∈FEξ~F[H（x，ξ）]，（6）式中Eξ~当F是ξ的分布时，F[·]表示H（x，ξ）的期望值。Scarf等人（1958年）首次提出了分布模型。介绍了不确定度集F的几种不同选择。我们将回顾下面讨论最多的两种类型的不确定性集，并请读者参考Wiesemann等人（2014）和其中关于其他类型不确定性集的参考。关于矩的部分知识。Scarf e t al.（1958年）、Dupaˇcov\'a（1987年）、Prˇekopa（1995年）、Bertsimas和Popescu（2005年）等。考虑一系列具有知识的分布。具体而言，Scarf等人（1958年）考虑了以下优化问题（在库存pr问题的背景下）：minx∈RmaxF∈F（u，σ）Eξ~F[c（x）-ξ） ++r（ξ）-x） +]钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架8提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）式中F（u，σ）=F（ξ）∈MP（ξ）∈R+=1Eξ~F（ξ）=uEξ~F（ξ）-u)= σ. （7） 在（7）中，M是概率空间中所有概率度量的集合，其中定义了ξ，并给出了参数cand r。Scarf et al.（19 58）证明了最坏情况下的分布是一个两点分布，并给出了（7）的闭式解。Delage和Ye（2010）考虑了力矩约束的更一般形式。即，不确定性集被构造为：F（Ξ，u，∑，γ，γ）=F（ξ）∈MP（ξ）∈Ξ）=1（Eξ）~F（ξ）-u）T∑-1（Eξ）~F（ξ）-u）6γEξ~F[（ξ）-u)(ξ -u）T]γΣ. （8） Delage和Ye（2010）表明问题（8）可以通过凸优化问题来解决。它们还提供了选择参数γ和γ的数据驱动方法。最近，Wiesemann等人。