不确定性决策的复合风险度量框架

（2014）考虑一个综合了即时信息和支持信息的通用模型。考虑的分布不确定性为：F=F∈M（Rl×Rm）Eξ~F（Aξ+Bη）=bPξ~F[（ξ，η）∈ [Ci]∈【π，π】，我∈我, （9） 其中M（Rl×Rm）表示Rl×Rm上的概率分布，ξ∈ Rli是随机项η∈Rmis是一个辅助随机向量∈ Rk×l，B∈b，m×Rk∈RK是预先确定的参数和圆锥曲线置信集。当满足一定条件时，具有分布不确定性集（9）的模型（6）可以通过二次曲线编程求解。与给定分布相关的分布。Ben Tal等人（2013年）考虑了一组由φ-散度引起的分布。也就是说，F=（F∈RmIφ（f，^f）6ρ，mXi=1fi=1，fi>0，I=1，2，m） ，（10）钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）9式中，^f是给定的概率向量或（例如，经验分布向量）。Iφ（f，^f）是两个概率向量f和^f之间的φ散度（Pardo 2005）。Ben Tal等人（2013）展示了鲁棒线性约束（a+Eξ）~F（ξ）Tx 6β，F∈F、 根据φ的选择，可以等价地写成线性约束、con-ic约束或凸约束，其中a∈Rnandβ∈R是固定参数，x∈Rn是决策变量，F在（10）中定义。Wang等人（2013年）和Klabjan等人（2013年）也采取了类似的方法。Bertsimas e t al.（2014）提出了一个模型，其中d分布不确定性集是通过假设检验在给定一组可用数据的情况下构造的。也就是说，比较了两个假设：H:p*= pvs。

哈：p*6=p，其中他的假设为无效假设，Hai为替代假设，pis为任意分布。通过指定假设检验（如χ检验、g检验等）和置信水平，可以构造ta分布集F，其中包含给定数据集下通过检验的所有分布。2.4. 目标的其他选择除了上述模型外，文献中还研究了其他几种不确定性决策模型。最小化最坏情况下的VaR。El Ghaoui等人（2003年）考虑了最小化风险值（定义见（2））的问题，其中只有关于ξ的分布F的部分已知。从数学上讲，优化问题是：minx，tts。t、 Pξ~F（ξTx>t）6 1-δ, F∈F（11）x∈十、 钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架10提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）式中，F是给定前两个矩u和∑（σ）的所有概率测度的集合0).El Gha oui等人（2003）利用Bertsimas和Popescu（2005）给出的切比雪夫界证明了问题（11）可以简化为二阶锥规划（SOCP）。El Gh aoui等人（2003）进一步证明，如果F是一组分布，其第一和第二矩（u，∑）满足（u，∑）∈ conv{（u，∑），（u，∑）。

（uk，∑k）}或（u，∑）以组件方式有界，问题（11）可分别由SOCP或半有限程序（SDP）解决。最小化最坏情况下的CVaR Zhu和Fukushima（2009）解决了当随机收益ξ的分布F仅属于不确定性集F而不是确切已知的不确定性集F，即minx时，优化投资组合的CVaR（定义见（4））的问题∈XmaxF∈FCVaRF，δ[H（x，ξ）]，（12），其中CVaRF，δ（·）表示分布为F的随机变量的δ-CVaR。朱和福岛（2009）表示，对于某些形式的F，问题（12）可以转化为凸优化问题。3.综合风险度量框架在本节中，我们为不确定性下的决策问题提供了一个统一的框架。我们的框架包含第2节中讨论的所有决策范例，可用于生成新的决策。我们框架的理念基于风险度量，定义如下：定义1。设L为样本空间上定义的一组随机变量Ohm. 函数ρ（·）：L→R是一个风险度量，如果它满足以下属性s:1。单调性：对于任何X，Y∈ 五十、 如果X>Y，那么ρ（X）>ρ（Y），其中X>Y表示任意ω的X（ω）>Y（ω）∈Ohm.2.平移不变性：对于任何X∈L和c∈R、 ρ（X+c）=ρ（X）+c。此外，Artzner等人（1999年）定义了满足以下结构特性的风险度量子集。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）11定义2。如果风险度量ρ（·）满足以下属性：1。凸性：对于任意X，Y∈L和λ∈[0,1]，ρ（λX+（1-λ） Y）6λρ（X）+（1）-λ） ρ（Y）；2.正均一性：适用于任何X∈L和λ>0，ρ（λX）=λρ（X），那么ρ（·）被称为一致风险度量。

如果Schiolle是凸的，则称为Schiolle。为了建立我们的框架，首先我们注意到给定x，H（x，ξ）是定义在ξ样本空间上的随机变量（我们用Ohm). 我们用Y（x）来表示这样一个随机变量。定义F（·）为Y（x）的风险度量，其中下标F用于显示该风险度量对分布F选择的依赖性。现在，我们进一步定义了F的可测量空间：(Ohm, ∑，你在哪里Ohm表示ξ的所有分布函数的空间，∑是定义在such分布空间上的σ-代数。此外，我们可以使用贝叶斯统计中的概念来定义这样一个空间的度量（下面的文章将详细讨论）。有了这个定义，风险度量gF（Y（x））也可以通过以下方式被视为一个随机变量：Z（x）：F∈Ohm→ gF（Y（x））∈ R.（13）我们用Z表示Z（x）的线性空间。最后，由于Z（x）是一个随机变量，我们可以应用其他风险度量u：Z→ R并考虑以下操作优化问题：minx∈Xu（Z（X））。（14） 因此，我们的框架可以写如下：minx∈Xu（gF（H（X，ξ）））。（15） 我们称之为不确定性决策的复合风险度量（CRM）框架。在下面的讨论中，我们将gF（·）作为内部风险度量，u（·）作为外部风险度量。我们首先给出问题（15）的以下可处理性结果。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架12提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）提议1。优化问题（15）是一个凸优化问题，前提是：。H（x，ξ）在x上是凸的；2.X是凸的；3.u（·）是凸风险度量；4.gF（·）是每个F的凸风险度量∈F.证据。

我们证明了μ（gF（H（x，ξ））是x的凸函数∈X和06λ61，我们有：λu（gF（X，ξ））+（1-λ） u（gF（H（y，ξ））>u（λgF（H（x，ξ））+（1-λ） gF（H（y，ξ））>u（gF（λH（x，ξ）+（1-λ） H（y，ξ））>u（gF（H（λx+）（1-λ） y，ξ），其中第一条线从u（·）的凸度开始；第二条线来自gF（·）的凸性和u（·）的单调性；第三条线从H（·ξ）的凸性和gF（·和u（·）的单调性开始。现在我们来看看发行版Ohm. 我们在讨论中做出以下假设：假设1。Ohm通过一定数量的参数进行参数化。事实上，假设1并没有造成太多的基因缺失。许多分布族我们感兴趣的是由有限个参数s重新参数化的分布族。例如，如果F是离散分布族，其概率质量函数为：P（ξ=ξi）=pi，i=1。。。，m、 然后Ohm=（（p，p，…，pm）∈RmmXi=1pi=1；pi>0，i=1，2，m） 对于多元正态分布族：dF（ξ）=p（2π）s |∑| exp(-(ξ -u）T∑-1(ξ -u），钱，王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学；稿件号（请提供稿件号！）我们h大道13号Ohm=(u, Σ)|u ∈Rs，∑∈党卫军+,其中Ss+是正半限定矩阵的锥。对于混合分布族dF（ξ）=Pmi=1λipi（·）：Pmi=1λi=1，λi>0，i=1，2。。。，m、 当π（·），i=1，2。。。，m、 是预先确定的分布，我们有Ohm=（（λ，λ，…，λm）∈RmmXi=1λi=1；λi>0，i=1，2，m） 。在贝叶斯统计的框架下，ξ的观测值被视为给定的，而不是从n个基本分布随机抽取的样本。

同时，分布参数由随机变量处理，这些随机变量反映了在给定观测值的情况下获取每个值的可能性。我们注意到分布参数为Θ=（θ，…，θm）∈ Ohm. 要获得Θ的分布，首先应该指定一个先验分布f（Θ），它表达了一个人在没有观测时的信念。先验分布可以是有信息的，也可以是无信息的。然后，当收集到服务数据Ξ=（ξ，…，ξN）时，可以使用Bayes公式推导后验分布p（|ΞΞ）：p（|Ξ）=f（Θ）QNi=1L（ξi |Ξ）ROhmf（Θ）QNi=1L（ξi |Θ）dΘ，（16）其中p（Θ|Ξ）是给定数据的后验分布，QNi=1L（ξi |Θ）是似然函数Ohmf（Θ）QNi=1L（ξi|）dΘ是规范化f因子。注意，当考虑离散分布而不是连续分布时，应将（16）中的积分替换为求和。在实践中，根据Metropolis-Hastings算法，如果想要从（16）中的后验分布中取样，只需要能够计算分子，这通常很容易做到。通过这种方式，分配过程就完成了Ohm可以很容易地定义和取样，而且这种定义通常是数据驱动的。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架14提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）3.1. 与下面第2节中的模型相关，我们表明，第2节中讨论的所有优化模型都可以被视为我们提出的复合风险度量框架的特殊情况。随机规划。在随机规划模型中，我们假设我们对分布非常了解，即F={F}。

因此，模型（1）、（3）和（4）可以被视为外部风险度量n为一个单态：u（gF（·））=gF（·），内部风险度量分别被选择为预期、VaR和CVaR。分布鲁棒优化。在分布式机器人优化模型中，选择内部度量作为期望度量，而外部度量可以被视为最坏情况下的风险度量：WC（Z）=inf{α| P（Z 6α）=1}，（17），其中Z是定义在(Ohm, ∑，P）带Ohm将其设为分布集F。事实上，分布robu st mode la lso涵盖了单态同余风险度量模型：minxu（Y（x））。Artzner等人（1999）表明，同调风险度量与最坏情况下的风险度量密切相关。下面的定理（我们使用<< 表示概率测度之间的绝对连续性）。定理1。设X为概率空间上定义的任意线性随机变量空间(Ohm, ∑，P）。函数ρ（·）：X→R是一个一致的风险度量，当且仅当存在一系列概率度量Q和Q<<P代表所有Q∈ Q使得ρ（X）=supQ∈QEQ（X），十、∈十、 式中，等式（X）表示随机变量X在测度Q下的期望值（与X本身的测度相反）。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）15例如，对于CVaRδ（·），相应的分布集是Q={Q<<P | dQ/dP 6（1）-δ)-1}. 上述定理表明，一致的风险度量可以由一组概率分布上的最坏情况期望来表示。定理M1的证明实际上早于相干风险度量的引入，参见Huber（19 81）。

这一结果已被用于最近几项研究y分布稳健优化的工作中，见Bertsimas and Brown（2009）和Natarajan等人（2009）。稳健优化。通过使用分布集F，其中每个F∈ F是一个分布，把它的所有重量放在一个点ξ上∈Ξ，分布式鲁棒模型（6）简化为属于我们框架的鲁棒优化模型（5）。最坏情况下的CVaR和VaR优化。将模型（11）和（12）与统一模型（15）进行比较，我们发现相应的内部风险度量分别为re VaR和CVaR，而外部风险度量是最坏情况下的风险度量。通过选择外部和内部风险度量的不同组合，可以得出更多的优化模型。然而，其中一些模型在转换后简化为上述模型。下面给出了这些模型的一些示例。双重期望作为期望。选择外部风险度量u（·）和内部风险度量gF（·）作为期望值，我们得到以下优化模型：minx∈XE（Eξ）~F[H（x，ξ）]）。（18） 用FΘ（ξ）表示随机项ξ的累积分布函数，我们有（Eξ~F[H（x，ξ）]=ZOhmZRsH（x，ξ）dFΘ（ξ）p（Θ）dΘ=ZRsH（x，ξ）ZOhmp（Θ）dF（ξ）dΘ=ZRsH（x，ξ）d^FΘ（ξ）=^E[H（x，ξ）]，钱，王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架16提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）表1风险度量的不同组合u（·）gF（·）预期CVaR VaR最坏情况单例（1）（4）（3）（5）预期~ （1） ××VaR××最坏情况（6）（12）（11）~（5） 其中d^FΘ=ROhmp（Θ）dFΘdΘ可以被视为预期的度量（例如，如果Ohm只包含连续分布，那么这只是所有密度函数的加权平均值）。

在此之前，问题（18）等价于期望优化问题：minx∈X^E[H（X，ξ）]。最坏情况是最坏情况的两倍。选择er风险度量u（·）和内部风险度量EGF（·）作为最坏情况下的风险度量，我们得到以下优化模型：minx∈XmaxF∈Fmaxξ∈ΞFH（x，ξ），（19），其中当ξ的分布为F时，ΞFis为ξ的不确定性集。这个问题可以简化为模型（5）：minx∈Xmaxξ∈ΞH（x，ξ），（20）式中Ξ={ξ：F∈F、 ξ∈ΞF}。这种模式l的例子见Bertsimas等人（2014年）。表1总结了本节讨论的所有案例，其中符号~ 表示该模型等同于另一个标有数字的模型，符号×表示尚未考虑风险度量的这种组合。构建新模型在本节中，我们使用我们的框架提出并研究了一些新的不确定性决策范式。在下面，我们继续使用符号Ohm表示F的样本空间，表示概率分布Ohm. 正如我们之前讨论的，PCA可以从贝叶斯方法中导出为后验分布。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架提交给运筹学的文章；稿件号（请提供稿件号！）174.1. 最小化VaR期望在分布不确定性下最小化r和OM损失H（x，ξ）的经验时，我们可以选择外部风险度量为δ-VaR，以提供概率保证：minx∈XVaRδ（Eξ）~F[H（x，ξ）]，（21），其中x是x的可行集。

该模型可解释为找到一个决策变量，该决策变量可使持有的总风险最小化，从而使预期损失超过总风险的可能性很小，或者换句话说，该模型可被视为最小化预期损失的单边δ置信区间的上限。它可能适用于预期值是评估损失的一个通用标准，而非德雷林分布存在不确定性的情况。请注意，模型（21）与分布r-obust模型（6）具有相似的精神。这两种模型都是为处理参数不确定性而设计的。然而，在分布稳健的模型中，如Delage和Ye（2010）和Bertsimas等人（2014），假设存在ξ的真实底层分布F，分布集F被选为F的置信区域，以避免不确定性。分布集不依赖于决策x。相反，在（21）中，分布集（对于VaR）依赖于x。这通常是可取的，因为对于不同的Tx，目标函数gF（H（x，ξ））可能具有不同的性质，因此不利分布集可能不同。因此，在相同的鲁棒水平下，求解问题（21）会得到一个不太保守的解。为了说明这一点，我们用（x）表示pr问题（6）和pr问题（21）的最优解、最优值和相应的分布集*γ博士*罗斯福博士）和（x）*VaR，γ*VaR，^F*x） 分别，然后（x*VaR，^F*x） 是以下问题的最优解：minx∈X，FsupF∈F（Eξ）~F[H（x，ξ）]（22）s.t.P（f6）∈F） 6.1-δ、 而（x）*罗斯福（DR，FDR）只是一个可行的解决方案。因此，我们有γ*VaR6γ*博士，我们在本小节中做出以下假设。钱、王和文：不确定性下决策的复合风险度量框架18提交给运筹学的文章；手稿号。