基于熵的金融资产定价

[20] 介绍了样本间距密度估计的另一种变体，称为Correa估计：fnxdTh~nPizm=2j~i{m=2xj{xij{idThPizm=2j~i{m=2xj{xi, 如果i:x[[xn，i，xn，i+1]；xi~mz1Pizm=2j~i{m=2xj和1#j#n。样本间距方法的参数是固定阶数m。出于实际原因（例如，不同大小的样本），我们建议使用mn，这取决于样本的大小，并通过以下公式计算：mn~qnkr，d18Th，其中k是箱子的数量，支架表示天花板功能。Beirlant等人[19]概述了几种额外的熵估计方法，如重新替代、分割数据和交叉验证；然而，我们的论文主要关注最常用的应用程序。风险估计将以下数据设置为一组给定的数据：D:S、R、RM、RFfgd19Th基于熵的金融资产定价Los ONE | DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日7/21元素是证券S:{S，S，…，Sl}的集合，对应的观测为R:{R，R，…，Rl}，其中Ri5（ri1，ri2，…，rin）。市场回报率的观察值为RM5（rM1，rM2，…，rMn），无风险回报率的观察值为RF5（rF1，rF2，…，rFn），其中l是证券数量，n是样本数量。让我们回顾一下，本文的主要目的是将熵作为一种新的风险度量。为了统一处理风险度量，我们将k作为证券的统一属性。假设k（Si）是证券i的风险估计。在经济文献中，最广泛使用的风险度量是标准差和CAPMβ。让我们分别用ksk和kb来表示它们。

对安全i的这些风险措施的评估如下：^ksSid222~s Ri{RFd22d和^kbSid222;~bi~cov Ri{RF，RM{RFdsRM{RFdTh，d21Th，其中b是CAPMβ，covdTh是参数的协方差，s是标准偏差。我们的假设是，观测值的不确定性可以被解释为安全风险，因此我们将熵作为风险度量。因为微分熵函数也可以取负值，为了更好的解释性，我们应用指数熵的tial函数，我们通过以下公式定义了基于熵的风险度量：^kHSid222~eHnRi{RFdd22Th可以看出，kH从非负实数中取值，kH[[0，+\'）。解释力和预测力为了比较风险估计方法的效率，我们介绍了两种基本的评估方法，样本内解释力的测量和样本外预测力的测量。样本内V为目标变量，样本为V~V，V，：：：，vlTh，样本为U~U，U，：：：，ulTh估计变量U对变量V的解释能力，我们使用以下方法。这两个变量之间的线性关系可以用线性回归模型V~azaUz来描述。该模型的参数（a和a）由普通最小二乘法（OLS）估计，目标值的估计如下：^vi~^az^auiwhere^a和^a分别是a和a的估计。

最具潜力的金融资产定价之一| DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日8/21解释力的常用估计是线性回归的R（拟合优度或确定系数）：Rv，udTh~1{Pni~1vi{^az^auidThPni~1vi{vdThd23Th我们很好奇不同的风险度量如何有效地描述证券的预期收益，我们用g（k）来表示这个度量。假设解释变量U是证券的风险度量，其中样本是：uk ~^k Sd222，^k Sd222，：：，^k Sld222，d24Th，目标变量T是证券的预期风险溢价，其中样本是：vm~ER{RF 1/2 ,ER{RF 1/2 ,:::,ERl{RF 1/2 其中k是统一的风险度量函数，E 1/2  是辩论的预期值。

我们将样本内解释力（效率）的估计定义为之前定义的变量（24）和（25）：^gkdTh~Rvm，英国d26Th从样本中，让我们为给定的D:{S，R，RM，RF}数据集（19）创建一组样本：DI:SI，RI，RIM，RIF, DO:所以，RO，ROM，ROF, d27Th其中证券的相应样本为RI:RI，RI，：，RIl,RIi~ri1，ri2，rimd222和RO:RO，RO，RO，ROl, ROi~rimz1dTh，rimz2dTh，rimzpdTh, 市场回报率分为rM1，rM2，rMmd222和rMmz1d222，rMmz2d222，rMmzpd222, 无风险利率的分割为isRIF~rF1，rF2，：，rFmzpd和ROF~rFmz1dTh，rFmz2dTh，rFmzpdTh, SIjj~SOjj，RIi在哪里~m、 投资回报率~p、 （1#i#l）和m+p5n。解释值包含基于数据集DI:uIk~^k SI的证券集合的风险估计,^卡西,:::,^k SIl, d28Th和目标值是基于DO:vOm~ERO{ROF的证券的预期风险溢价,ERO{ROF,:::,EROl{ROFd29Th基于（26）、（28）和（29），对样本外解释（预测）能力的估计如下：基于熵的金融资产PricingPLOS ONE | DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日9/21^gOkdTh~RvOm，uIkd30Th无论是样本内还是样本外，我们都通过应用bootstrappingmethod来测试所调查的风险度量（标准偏差、CAPMbeta、Shannon-和Reènyi熵）的解释力之间的差异是否显著。在我们的bootstrap迭代中，我们从调查的150只股票中移除25只随机股票，并测量四种不同模型的Rs。我们应用1000次迭代来近似随机选择上的右值分布，并通过对生成的样本应用t检验来检验Rs均值的相等性。结果与讨论我们将实证结果分为四个部分。

首先，我们展示了EntropyBehave在证券组合中的作用。其次，我们展示了被调查模型的长期解释力。第三周检查并比较不同风险指标在市场上升和下降趋势中的表现。第四，我们应用不同的风险参数来预测未来收益，从而测试已知风险参数的样本外解释能力，并将其效率与基于熵的风险度量进行比较。为了描述多元化效应，我们研究了熵是否能够衡量多元化带来的风险降低。我们根据标准普尔500指数中随机选择的150种证券，生成1000万个随机等重投资组合，其中涉及不同数量的证券（每种规模最多10万只）。投资组合的风险由标准差、香农熵和瑞尼熵（使用整个期间的风险溢价）估计。由于CAPM beta仅测量系统风险，我们将其排除在风险降低调查之外。两种类型的熵函数都是通过基于直方图的密度函数估计来计算的，其中香农熵为175个单元，逆熵为50个单元。（我们测试了直方图、样本间距和核密度估计方法，基于直方图的方法被证明是解释力、预测力和简单性方面最有效的方法。参见我们的结果。）图1显示了以熵风险度量和标准差为特征的多元化效应。

对于投资组合中涉及的10种随机证券，根据调查中的所有三种风险估计器，与单一随机证券相比，可以实现约40%的风险降低。基于熵的金融资产PricingPLOS ONE | DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日10/21图。1表明熵显示的行为与标准差相似，但不相同，因此它可以作为风险的一个很好的衡量标准。我们还研究了不同的投资组合在预期收益-风险协调系统中在多元化功能中的行为。我们生成200-200个随机等重投资组合，涉及2、5和10种证券，并使用标准差、CAPMβ、香农熵和Re'nyi熵作为风险度量，将这些证券与单一证券进行比较；结果如下图所示。2.图2显示了通过使用不同的风险估计方法进行多样化的随机投资组合的表现。我们可以看到，标准差和熵的特征非常相似，正如马科维茨的投资组合理论[1]中所述，投资组合位于一个超对数上。使用CAPMβ可以观察到不同的特征；aportfolio中涉及的证券越多，它们位于坐标系中心的距离就越近。长期解释力为了评估风险度量在长期内解释预期风险溢价的效率，我们使用标准差、CAPMβ、香农熵和雷诺熵（以P1表示）来估计每种证券的风险。单一的解释变量是风险度量；目标变量是证券的预期风险溢价。我们通过计算每个风险度量的^gkdTh（R）来应用解释性功率估计。无花果

3显示了不同风险度量对预期风险溢价的解释效率；预期每日风险溢价作为风险度量的函数表示。CAPM beta的性能最差，效率为6.17%。图1。风险和风险降低的平均值与投资组合中证券的数量。注：我们根据标准普尔500指数中随机选择的150种证券，生成1000万个随机等重投资组合，涉及不同数量的证券（每种规模最多10万种）。1985年至2011年底期间，投资组合的风险由标准差（灰色连续曲线）、香农（黑色连续曲线）和雷诺熵（黑色虚线曲线）估计。这两种熵函数都是通过基于直方图的密度函数估计来计算的。左图显示了每个投资组合规模的平均风险估计，右图显示了与单个证券投资组合的平均风险相比的风险降低。doi:10.1371/期刊。波内。0115742.G001基于熵的金融资产定价一| DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日11/21然而，标准偏差的解释力（7.83%）高于CAPMβ，两种熵的表现都明显更好，香农熵的效率为12.98%，雷诺熵的效率为15.71%。根据线性回归方程，熵方法（0.0091,0.0059）的平均未解释风险溢价（在Y轴上相交或Jensen alpha[21]）低于标准方法（标准偏差为0.0170，CAPMβ为0.0209）。图2。E（r）-风险系统中涉及不同数量证券的投资组合。

注：面板显示了投资组合的预期风险溢价（通过每日风险溢价的平均值计算）与使用不同方法估计的风险；涉及的证券数量由不同的标记表示。我们通过使用150种随机选择的证券和200-200种随机同等权重的投资组合，以及2、5和10种证券，生成了750个随机投资组合的样本。投资组合的风险通过标准差、CAPM贝塔、香农熵和雷诺熵，通过使用1985年至2011年底期间的dailyreturns进行估计。这两种类型的熵函数都是通过基于直方图的密度函数估计来计算的，其中香农熵为175个单元，雷诺熵为50个单元。doi:10.1371/期刊。波内。0115742.G002基于熵的金融资产定价一| DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日12/21我们还测量了投资组合中涉及的不同数量证券的解释力，每种证券最多生成100000个样本；我们将这些结果以表格形式呈现。4.图4说明了解释力如何随着多样化而变化。人们可以看到，标准差和熵的解释力随着投资组合中涉及的证券数量的增加而降低，而CAPM贝塔的表现几乎是恒定的。虽然CAPM贝塔模型仅对系统风险进行建模，但标准差和熵能够测量特定风险，这为分散程度较低的投资组合提供了额外的解释力。尽管两个entropyFig的解释力都有所下降。3.风险度量的长期解释力。注：四个面板显示了通过使用不同估计方法随机选择的150种证券的风险溢价和风险（标准差、CAPMβ、香农和雷诺熵）之间的关系。

这两种类型的熵函数都是通过基于直方图的密度函数估计来计算的，其中香农熵有175个单元，雷诺熵有50个单元。以预期风险溢价为目标变量，风险为解释变量，给出了线性回归方程和解释幂（R）。在括号内的theOLS回归方程下，可以看到每个参数估计的p值。应用基于熵的风险度量的模型在1%水平上与标准差和CAPMβ显著不同。doi:10.1371/期刊。波内。0115742.G003基于熵的金融资产定价一| DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日13/21功能，在所有调查的情况下，它们的性能都优于CAPM测试版。对于多元化程度较高的投资组合，回归分析的解释力是CAPMβ的1.5倍。一级市场趋势的解释力我们将最初的27年样本按一级市场趋势划分为“看涨”和“看跌”样本（用P1+和P1-表示），分别包含上升期和下降期的回报（各期的标签见表4）。对于这两个样本集，我们使用与之前实验相同的基于直方图的熵估计参数，研究了标准偏差、CAPMβ、香农熵和雷诺熵的解释力。图5和图5。6.在预期风险溢价–风险坐标系中显示结果。我们对牛市和熊市的结果表明，不同的风险度量在风险和回报之间的正相关和负相关方面表现相似。这种行为强调了一个事实，即基于熵的风险度量可以以与不同制度下的传统风险估计类似的方式给出矛盾的结果。

在看涨的市场环境中，我们发现各种风险度量的解释力都非常高：分别为33.90%、36.67%、43.45%和42.36%，带有标准差、CAPMβ、香农熵和雷尼熵。至于全样本测试，回归线的斜率为正，这意味着更高的风险承担承诺更高的回报。与牛市相反，在下跌趋势中，更高的风险承担不会带来更高的回报，事实上，风险越高，投资者获得的负溢价越高。我们必须指出，CAPM贝塔的解释力高于基于熵的风险度量。我们的熵结果与CAPMβ的结果一致；对体制的依赖也很明显。另一方面，解释力是FIG。4.多元化对长期风险度量的解释力。注：该图显示了涉及不同证券数量和不同风险估计方法的投资组合的解释力（R）。我们使用150种随机选择的证券的每日风险溢价，生成1000万个随机等重投资组合，涉及不同数量的证券（每种规模最多10万个）。投资组合的风险由标准差（浅灰色曲线）、CAPMβ（黑色虚线曲线）、香农（灰色）和雷诺熵（黑色）估计。这两种类型的熵函数都是通过基于直方图的熵函数估计来计算的，其中香农熵有175个单元，雷诺熵有50个单元。doi:10.1371/期刊。波内。0115742.G004基于熵的金融资产定价一| DOI:10.1371/journal。波内。0115742 2014年12月29日14/21这一制度再次比完整样本高得多。