风险的时间维度

随机变量变换θ：R∞→ 如果时间变换满足以下三个公理，则称之为时间变换：（1）规范化：对于所有常数确定性C∈ R∞, θ（C）=0。（2） 平移不变性：适用于所有X∈ R∞常数C，θ（X+C）=θ（X）。（3） 缩放不变性：适用于所有X∈ R∞λ>0，θ（λX）=θ（X）。上述公理（2）和（3）所暗示的过程大小变化下的不变性，本质上产生了一个随机变量，在某种程度上独立于原始过程的空间轨迹。时间变换构造了一个我们感兴趣的随机时间属性。不变性公理基本上是获得时间特征所需的全部，因为它们抛弃了任何空间特征。此外，请注意，时间变换不需要满足单调性公理——给定的随机性。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）7过程大于另一个过程，并不表明它们相对于各自的时间特征的顺序。与随机过程X有关的随机时间θ（X）∈ R∞可以解释为X经历某个风险资产所需的时间。根据这种解释，人们可能会认为更长的时间段比更短的时间段更糟糕，例如，恢复之前高点所需的时间。考虑到这一点，时间变换θ：R∞→ T归纳出下列时间偏好关系R上的θ∞:对于X，Y∈ R∞, 十、θY当且仅当θ（X）≤ θ（Y）。这种暂时的偏好顺序反映了这样一种观点，即在世界上的每一个州，风险特征持续时间更长的过程都不那么受欢迎。

请特别注意θsatis fix+C~ X和λX~ X.对每个时间变换θ和相关的偏好顺序θ我们将其暂时接受族Aθ联系起来，这是德雷珀和库珀[2013]在单期风险度量背景下引入的一个概念，概括了Artzner等人[1999]的风险接受集概念。定义2.4（暂时接受家庭）。递增族A=（Aτ）τ∈Tof subsetsAτ R∞如果满足以下性质，则为暂时接受族：（1）对于所有常数C∈ R∞和τ∈ T，Aτ+C=Aτ。（2） 总之τ∈ T和λ>0，λAτ=Aτ。传统上，验收集是作为风险度量结果的稳健表示工具引入的，通常用于推导风险度量的结构属性，并对风险的某些经济原则进行建模。在我们的设置中，给定的时间接受集抽象地表示所有共享特定时间特征的进程。实际上，时间变换和时间接受集之间存在双射对应关系，其验证非常简单。提议2.5。设θ：R∞→ T是一个具有相关时间参考顺序的时间变换θ. 那么子集Aτθ的族Aθ R∞由τθ＝{X给出∈ R∞: θ（X）≤ τ}是一个暂时接受族。相反，给定一个时间接受族aτ，变换θa:R∞→ 定义为θA（X）：=inf{τ∈ T:X∈ Aτ}集A上的偏好关系是二元关系 满足不对称性和负及物性。它产生了一种独立的关系~ 由一个~ b当且仅当a b和b a换a，b∈ A.8风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）是一种时间转换。此外，这种对应关系是双射的，即θ=θAθ和A=AθA.2.4。风险的时间度量。

既然我们已经将一个随机过程转化为一个代表某种时间特征的随机变量，我们就可以使用风险泛函来检验这个随机时间的分布。时间风险度量是一种与路径相关的风险度量，它总结了随机过程的时间特性。它本质上是一个实值函数，描述与随机过程相关的随机时间分布特征。形式上，风险的时间度量可以分解为时间转换和风险度量：定义2.6（时间风险度量）。在给定的时间范围内∈ (0, ∞), 时间风险度量是路径依赖的风险度量ρT:R∞→ 定义为ρT:=ρo θ，其中θ：R∞→ T是将随机过程映射到随机时间的时间变换，ρ：T→ R是一个实值风险泛函。注意，对风险函数ρ或时间风险度量ρT没有限制。特别是，它们不需要满足风险度量的常规属性，因为我们对随机过程的货币维度不感兴趣。然而，我们可以研究获得时间风险ρT的一致性度量的条件。更具体地说，由于ρ是风险函数与时间变换的组合，因此用时间变换合成一致的风险函数ρ的效果不会产生一致的时间度量。引理2.7。风险的路径依赖时间测度ρT:R∞→ R不是一致的风险度量。特别是，假设ρT=ρo θ、 风险函数ρ：T的一致性→ Rdoes并不意味着ρT的一致性。备注2.8（实践中不一致的影响）。

一致性公理最初是作为风险度量的理想属性引入的，其假设是，转移风险代表应增加的资本量，以便监管机构能够接受。例如，从监管角度来看，转换不变性意味着向现有投资组合中增加任何担保头寸的价值只会减少该担保金额所需的资本；单调性本质上表明，导致更高损失的头寸应该需要更多的风险资本。从时间的角度来看，货币主义，以及这两条公理，是不相关的。另一方面，凸性和正同质性在任何维度下都是两个实际有用的属性——凸性使投资者能够以最小化总体风险的方式分配资金，而正同质性我们引入的时间风险概念不应与Machina[1984]的概念混淆，后者在经济效用最大化偏好的背景下，在风险前景中进行选择时，抓住了延迟风险的概念，而不是立即解决的风险。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》9上）确保投资组合的整体风险可以线性分解为代表单个因素对风险的贡献的可加性子成分。风险的时间度量既不是凸的，也不是一级正同质的。这一方面意味着随机时间风险的线性分布不受支持，另一方面，有利的凸优化理论不适用。因此，时间风险在投资过程中的实际应用似乎有限。

尽管如此，暂时性风险还是包含了一个潜在有用的风险维度诊断指标，该指标在投资管理行业的风险管理流程中传统上未被纳入。除了作为一种新的风险诊断工具，并假设一个现实有效的风险模型外，时间风险度量还可以让投资者在实践中对未来潜在的时间风险形成预期。3.下降的时间维度我们分析了下降的时间维度的性质，这是实践中最广泛引用的路径依赖风险度量之一。我们考虑的两个时间维度是提款持续时间，它测量一个过程达到之前运行最大值所需的时间，以及清算停止时间，它捕获一个主观设定的时间阈值，如果提款超过该阈值，投资者将在该阈值后进行清算。我们从描述水位下降幅度的性质开始。3.1. 水位下降的空间维度。与波动性、风险价值和预期缺口等传统风险衡量标准不同，提款的概念具有内在的路径依赖性。作为基金管理行业最常被引用的下行风险指标之一，它衡量的是代表投资资产净值的随机过程中，从运行最大值（高水位）开始的价值下降。定义3.1（提款过程）。对于地平线T∈ (0, ∞), 缩编过程D（X）：={D（X）t}t∈[0，T]对应于一个随机过程X∈ R∞定义为比亚迪（X）t=Xt- Xt，其中Xt=supu∈[0，t]是X到时间t的运行最大值。与给定随机过程相关的下降过程具有一些实际直观的性质。显然，一个恒定的确定性过程不会随着时间的推移发生任何价值变化，这意味着相应的下降过程为零。

此外，给定过程中的任何恒常变化都不会改变其下降的幅度，随机过程的任何恒常乘子都会以相同的乘数影响下降。然而，在单调性条件下，下降幅度不会保持不变，这意味着可以根据其幅度进行排序的过程不一定意味着风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）对下降幅度的排序相同或相反。最后，一个非常重要的性质是凸性。事实上，两个过程的凸组合会导致缩减过程，其规模小于基础过程的平均独立缩减。接下来我们将这些属性形式化。引理3.2（水位下降特性）。给定随机过程X∈ R∞, 设D（X）为固定时间范围T的相应下降过程。然后：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, D（C）=0。（2） 对于常数C∈ R∞, D（X+C）=D（X）。（3） 对于λ>0，D（λX）=λD（X）。（4） 为了你∈ R∞λ∈ [0,1]，D（λX+（1-λ） Y）≤ λD（X）+（1）- λ） D（Y）。证据属性（1）到（3）很简单。要推导（4），请注意对于λ∈ [0,1]，我们显然有λX+（1）- λ） Y≤ λX+（1）- λ） Y由上确界的性质决定，因此（λX+（1-λ） Y）=λX+（1）- λ） Y- λX- （1+λ）Y≤ λX+（1）- λ） Y- λX- （1+λ）Y=λD（X）+（1）- λ） D（Y）。备注3.3。请注意，通常情况下，Y∈ R∞哪个X≤ Y，eitherD（X）≤ D（Y）或D（X）≥ D（Y）。唯一的东西是X≤ Y意味着X≤ Y

然而，由于在地平线内的任何时间点，峰值下降的幅度都没有具体规定，因此无法对相应下降过程的量级得出结论。为了更正式地理解这一点，请注意，在D（X）>D（Y）orD（X）<D（Y）的任一假设下，我们总是得到X>Y。在实践中，在对冲基金和大宗商品交易顾问领域，使用最大支取作为风险指标的做法尤其普遍，在对冲基金和大宗商品交易顾问领域，经常使用经最大支取调整的绩效指标，如卡尔玛比率、英镑比率和布尔克里欧。定义3.4（最大水位下降）。在固定的时间范围内∈ (0, ∞), 随机过程X的最大下降∈ R∞是Xin[0，T]从峰值到谷底的最大降幅，因此是所有降幅中最大的D（X）T:u（X）：=supt∈[0，T]{D（X）T}。或者，最大水位降可以定义为通过以下基本随机过程X:u（X）：=supt变换获得的随机变量∈[0，T]sups∈[t，t]{Xs- Xt}。最大降深分布的尾部在实践中可能特别有意义，从中可以提取出阿吉文级降深的可能性。Goldberg and Mahmoud[2016]中定义的提款风险度量是最大提款的尾部平均值，即风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》11中）。

在信心水平α∈ [0,1]，条件预期下降CEDα：R∞→R被定义为路径依赖风险度量，将过程X映射到预期的最大下降u（X），前提是α处的最大下降阈值被打破。更正式地说，CEDα（X）：=TMα（u（X））=1- αZαQu（u（X））du，其中Qα是最大下降分布的分位数：Qα（u（X））=inf{d∈ R:P（u（X）>d）≤ 1.- α} 如果u（X）的分布是连续的，则CEDα相当于尾部条件检测：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα（u（X）））。CED具有良好的数学特性，适合投资过程。事实上，它是一个一级正同质风险度量，因此可以将其归因于因素，并且是凸的，因此可以用于定量优化。提案3.5（Goldberg and Mahmoud[2016]）。对于给定的置信水平α∈ [0,1]，有条件的预期下降CEDα：R∞→ R是一阶正齐次凸路径依赖风险度量，即λ>0的CEDα（λX）=λCEDα（X）和CEDα（λX+（1- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） λ的CEDα（Y）∈ [0, 1].3.2. 下降持续时间。对于固定的时间范围T，我们现在关注的主要对象是水位下降的时间维度。其中一个维度是与价格过程X相对应的提款过程D（X）的持续时间，该过程测量X在运行最大值以下的偏移长度。在基金管理行业通常被称为恢复时间（TTR），持续时间是指第一次达到之前流程最大运行时间所需的时间。与之前一样，fix a time horizon T∈ (0, ∞) 设D（X）={D（X）t}t∈[0，T]是与随机过程X相对应的下降过程∈ R∞, X是X定义3.6（峰值时间过程）的最大运行时间。

峰值时间过程G（X）={G（X）t}t∈[0，T]由g（X）T=sup定义s∈ [0，t]：Xs=Xs.换句话说，G（X）t表示X最后一次达到峰值，也就是说，它最后一次与t之前的最大值X重合。请注意，G（X）必然是非递减的，只由线性子过程组成（更具体地说，作为t的函数，线性区间{G（X）t}t∈[r，s]对于r<s，要么是恒等式，要么是恒等式），并且具有跳跃不连续性（在下面的过程X不是单调的现实假设下）。此外，过程G（X）在基础过程的常数移位或标量乘法下是不变的。与下降过程类似，风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）表明，与随机过程X相关的峰值时间过程不保持单调性。换句话说，对应于更大值的过程的峰值时间过程不必更大。然而，与保留凸性的水位下降过程不同，无论是凸性还是凹性，峰值时间都不保留。这意味着两个过程的凸组合不会导致峰值时间过程始终小于或大于基础过程的平均独立峰值时间。我们正式描述了这些属性。引理3.7（峰值时间的性质）。给定随机过程X∈ R∞, 设G（X）为固定时间范围T对应的峰值时间过程。然后：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, G（C）t=t表示所有t∈ [0，T]。（2） 对于常数C∈ R∞, G（X+C）t=G（X）t对于所有t∈ [0，T]。（3） 对于λ>0，对于所有t，G（λX）t=G（X）t∈ [0，T]。备注3.8。

还要注意的是，峰值时间不一定在单调性下保持不变，即X≤ Y不一定意味着G（X）t≤ G（Y）或G（X）t≥ G（Y）t对于所有t∈ [0，T]。直观地说，一个进程最后一次与其运行最大值重合的时间与进程的大小无关。此外，峰值时间不一定表现出拟凸或拟凹的行为，即λ∈ [0,1]，G（λX+（1-λ） 对于所有的t，它不一定大于min{G（X）t，G（Y）t}或小于max{G（X）t，G（Y）t}∈ [0，T]。我们构造了一个简单的例子，表明对于λ∈ [0,1]，G（λX+（1-λ） 对于所有t，它不一定大于min{G（X）t，G（Y）t}∈ [0，T]。定一个时间∈ [0，T]并且在不丧失一般性的情况下，设G（X）T=tandG（Y）T=twith T<T≤ t、 设G（λX+（1）-λ） Y）t=t*我们检查如果t*< t=min{G（X）t，G（Y）t}。在这种情况下，我们通过定义λX+（1- λ） Y<λX+（1）- λ） 是的。特别地，在t处，我们有λXt+（1）- λ） Yt<（λX+（1- λ） Y）t=λXt+（1）- λ） Yt=λXt+（1）- λ） Yt，意味着Yt<Yt。请注意，我们没有关于Y相对于时间t之前运行的最大Y的位置的信息。这意味着如果Yt<Yt，那么t*< min{G（X）t，G（Y）t}，另一方面，如果Yt=Yt，那么t*≥ min{G（X）t，G（Y）t}。我们可以构造一个类似的参数来证明G（λX+（1-λ） 它不一定小于max{G（X）t，G（Y）t}。从概率上讲，过程X在峰值时间G（X）和恢复时间Lt=sup{s之间的轨迹∈ [t，t]：Xs=Xs}是X在其运行最大值时的偏移，它与时间t相交。如果在偏移期间X<X，我们称X处于下降或水下。我们现在对t感兴趣- G（X）t，这是这次旅行的持续时间。定义3.9（持续过程）。