风险的时间维度

给定一个进程X∈ R∞时间范围T，持续过程δ（X）={δ（X）T}T∈与X相关的[0，T]由δ（X）T=T定义- G（X）t.下列性质是引理3.7风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）13引理3.10（持续时间的性质）的直接结果。给定一个进程X∈ R∞时间范围T，持续过程δ（X）={δ（X）T}T∈[0，T]满足[0，T]的下列性质：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, δ（C）=0。（2） 为了所有的X∈ R∞所有常数确定过程∈ R∞, δ（X+C）=δ（X）。（3） 为了所有的X∈ R∞λ>0，δ（λX）=δ（X）。备注3.11。与峰值时间类似，下降持续时间不一定在单调性下保持不变，即X≤ Y不一定意味着δ（X）≤ δ（Y）或δ（X）≥ δ（Y），下降持续时间不一定表现出凸或凹的行为，即λ∈ [0,1]，δ（λX+（1-λ） Y）不一定大于或小于λδ（X）+（1-λ） δ（Y）。现在特别感兴趣的是固定时间范围内的最大水下时间，与该时间间隔内过程X所经历的实际水位下降幅度无关。定义3.12（最长持续时间）。给定一个进程X∈ R∞时间范围T，设δ（X）是对应于X的持续时间过程。随机过程X的最大持续时间是由δ（X）max=supt定义的实值随机变量∈[0，T]{δ（X）T}。最长持续时间显然是T中的随机时间，定义在与X相同的概率空间上，取区间[0，T]中的值。备注3.13（最大水位下降的持续时间）。我们指出，最大持续时间δ（X）的概念与给定路径内最深偏移的持续时间或长度（小于最大值u（X））不同。

假设过程X的最大下降发生在时间τp之间∈ [0，T）（“峰值”）和τr∈ 【τp，T】（“恢复”），为了说明τris的定义，我们假设恢复确实发生在给定的范围内。注意，必须有一个时间点τb∈ （τp，τr），其中X在间隔（τp，τr）期间处于其最小值（“底部”）。出现最大水位下降的区间内X的最小值的时间由τb=inf{t给出∈ [0，T]：u（X）=支持∈[0，T]Dt}。那么τpis最后一次X在τb之前达到最大值：τp=sup{t∈ [0，τb]：Xt=Xt}，τris第一次X再次与其滚动最大值重合：τr=inf{t∈ [τb，T]：Xt=Xt}.14风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）图1。1978年至2013年期间美国债券历史最长期限和最长提款期限的每日时间序列。给定一个进程X∈ R∞, 最大水位下降的持续时间X是由δ（X）u=τr定义的随机变量- τp.直接证明δ（X）usatis与最大持续时间δ（X）max satis具有相同的性质。从经验上看，这两个概念是密切相关的（见图1），最大水位下降的持续时间更嘈杂（事实上，这完全遵循了实际的历史最大水位下降）。因此，在研究最大水位下降的持续时间时，基本上要分析最大水位下降本身，这就降低到了潜在过程的空间维度。然而，通过考虑最大持续时间，我们完全关注时间维度，尽管这两者是相关的，我们将在后面看到。备注3.14（停车时间）。第二个可能在实践中感兴趣的下降时间维度是停止时间。

在概率论中，停止时间（也称为马尔可夫时间）是一个随机时间，其值被解释为给定随机过程表现出某种感兴趣行为的时间。停止时间通常由停止规则定义，这是一种根据当前位置和过去事件决定是否继续或停止流程的机制，几乎总是会导致决定在某个特定时间停止。因此，它完全取决于（至多）到某个时间为止已知的全部信息。在我们提取投资的背景下，计算一个过程在水下停留的时间超过某个主观设定的接受阈值的概率可能很有意义。无论损失的规模有多大，如果恢复的时间超过了这个阈值，人们可能会被迫清算。给定一个进程X∈ R∞在一个时间范围内∈ (0, ∞) 相应的持续时间过程δ（X），用l表示∈ （0，T）主观设定的清算阈值。清算停止时间（LST）由τ（X）L=inf{T定义∈ [0，T]：δ（X）T≥ l} 。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）15图2。1973年1月至2013年12月期间每日美国股票指数和美国债券指数最长持续时间的经验分布。根据经验得出的分布如下。根据历史收益时间序列，我们使用一天滚动窗口生成固定6个月（n=180个交易日）的收益路径。然后计算每条路径的最大持续时间。这意味着连续路径重叠。

其优点是，对于长度为T的日收益时间序列，我们可以得到长度为T的最大持续时间序列- n、 这对于大T和小n来说也是相当大的。该停止时间τLhence表示水位下降持续时间δ（X）首次超过规定的清算阈值l；这是流程X首次连续在水下停留超过l的时间。它本质上规定了一条规则，告诉我们何时退出交易。请注意，在τLcan时“停止”的决定（最多）仅取决于当时已知的信息，而不取决于任何未来的信息。4.持续时间风险我们使用时间风险度量从理论和实证两方面分析了提款持续时间的分布。尽管在给定的视界内，任何给定的路径上都只有一个最大持续时间，但考虑最大持续时间的分布是有益的。通过观察这种分布，我们可以对给定投资组合在给定投资期限内的预期提款长度形成合理的预期。图2显示了1973年至2013年40年间美国股票和美国政府债券的经验最长期限分布（使用每日数据）。虽然最大水位下降分布通常是正偏斜的，与潜在风险特征无关，这意味着非常大的水位下降发生的频率低于较小的水位下降（参见Burghardtf）。从概率角度来看，清算停止时间τlca可以与零屏障的巴黎停止时间相一致，Chesney等人[1997]和Loeffen等人[2013]对此进行了研究。

Dassios和Wu[2009]在精算风险理论中也引入了停止时间，其中过程X模拟了具有初始资本的保险公司的盈余，一次短途旅行的停止时间称为巴黎破产时间。这些数据来自全球金融数据数据库。我们采用了标准普尔500指数和美国10年期ZF债券总收益指数的每日时间序列，涵盖1973年1月至2013年12月之间的40年时间段。16关于风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》等[2003]和Goldberg and Mahmoud[2016]），这不一定是最大持续时间分布的情况。美国股票的正偏度值为1。3，而对于价值为0.4的美国债券来说，这一点不那么明显。现在，我们可以使用路径依赖的时间风险度量来描述最大持续时间的风险特征。定义4.1（持续时间风险度量）。我们定义了以下路径依赖的风险时间测量ρ：R∞→ R描述与随机过程X相关的最大持续时间δ（X）max的分布∈ R∞:（1） 持续时间偏差：σδ：R∞→ R由σδ（X）=σ定义δ（X）max,其中σ是标准偏差。（2） 持续时间分位数：用于置信水平α∈ [0,1]，持续时间分位数由qα定义δ（X）max= infD∈ R:P（δ（X）max>d）≤ 1.- α.（3） 有条件的预期持续时间：对于信心水平α∈ [0,1]，条件期望由TMα定义δ（X）max=1.- αZαQαδ（X）maxdu对于连续δ（X），上述总量为mαδ（X）max= Eδ（X）max |δ（X）max>Qαδ（X）max.请注意，在定义2.6的意义上，这些路径相关的风险度量实际上都是暂时的。

在每种情况下，路径相关风险度量ρT:R∞→ R是应用于最大持续时间的风险函数（偏差、分位数、尾均值）的组合，时间变换映射为随机过程X∈ R∞相应的最大持续时间δ（X）max。因此，我们立即知道，这些路径依赖的持续时间风险度量都不满足风险度量的任何一致性公理。从经验上看，久期风险与股票比债券风险更高的程式化事实是一致的。事实上，表1显示，美国股票的有条件预期期限比美国债券的有条件预期期限大。然而，另一方面，与图2一致，风险较低的固定收益资产的平均持续时间和持续时间偏差都比风险较高的股票资产大得多。备注4.2（空间和时间缩减）。尽管从理论上讲，持续时间与提款幅度无关，但投资组合价值累计下跌的时间维度和规模维度之间存在密切关系。图3显示了美国股票和美国政府债券的每日提款幅度及其持续时间序列。显然，水位下降的幅度与其持续时间正相关。因此，风险的时间维度（即将在《风险杂志》上发表）为0。9塞德。9E[δ（X）m]σδCEδ，0.9美国股票18.35%2.19%47%456 489 1323美国债券5.43%0.49%29%976 590 1070表1。1973年1月至2013年12月（含）期间每日美国股票和美国债券指数的单期和路径相关风险统计。预期短缺（ES）、有条件预期提款（CE）和有条件预期持续时间（CEδ）按90%置信水平计算。E[δ（X）m]和σδ分别是平均最大持续时间和最大持续时间的偏差。图3。

1978年至2013年期间美国债券和美国股票的历史支取（左侧以百分比表示）和持续时间（右侧以交易日表示）的每日时间序列。尽管一些较小的水位下降可能会在水下停留很长一段时间，但根据经验，较大的水位下降往往伴随着较长的持续时间。实际上，将水位下降幅度的凸面风险降至最低可能会导致整体（非凸面）持续时间风险降低。4.1. 持续时间风险和序列相关性。接下来，我们展示了持续时间风险比传统的单周期风险度量更能体现时间依赖性；这种时间依赖性意味着对序列相关性的敏感性更高。我们使用蒙特卡罗模拟生成一个自回归AR（1）模型：rt=κrt-1+ t、 自回归参数κ的值不同，其中 固定为高斯分布，方差为0.01。然后，我们计算每个模拟自回归时间序列的波动率、预期缺口、条件预期下降和条件预期持续时间，并将结果列为κ的函数（见表2）。两种单期风险度量都受到自回归参数值增加的影响。然而，这两种路径相关风险度量的增长更为陡峭。接下来，我们使用最大似然法将相同的AR（1）模型拟合到6个月滚动的美国股票和美国ZF债券的每日时间序列18风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）Kappa 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9波动率0.07 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.11 0.12 ES0。90.16 0.16 0.17 0.17 0.18 0.19 0.19 0.20 0.21塞德。90.15 0.16 0.18 0.21 0.22 0.29 0.34 0.38 0.39CEδ，0.9291 328 350 339 411 467 487 504 496表2。

对于自回归参数κ的不同值，蒙特卡罗模拟DAR（1）模型（具有10000个数据点）的波动性、90%的预期缺口、90%的条件预期下降和90%的条件预期持续时间。波动率ES0。9塞德。9CEδ，0.9美国股票0.45 0.52 0.70 0.81美国债券0.32 0.39 0.67 0.85表3。对于美国股票和美国政府债券的每日时间序列，AR（1）模型中自回归参数κ的估计值与整个期间（1973-2013年）估计的四个风险度量值（波动率、90%预期缺口和90%条件预期提取以及90%条件预期持续时间）的相关性。获取每个资产的估计κ值时间序列的依据。表3显示了κ的时间序列与6个月滚动波动、预期短缺、条件预期下降和条件预期持续时间的时间序列的相关性。对于这两种资产而言，与波动性和短缺相比，提款和持续时间与自回归参数的相关性相对较大，持续时间的相关性最高。最后，请注意，美国股票的单期和支取风险始终高于美国债券，而持续时间风险则相反。这些见解可能会影响某些投资组合构建策略在实践中的使用。以流行的动量交易策略为例，该策略倾向于产生相对较大的回报，并带有一定的自相关性。鉴于这一系列的相关性，我们的研究表明，这种策略往往会受到高多期风险的影响，特别是从提款和持续时间。5.结论5。1.捐款摘要。风险的多期度量说明了投资组合价值的路径。

在概率风险度量的背景下，人们关注的是路径相关风险的空间维度，而不是与时间流逝相关的维度。通过将时间维度纳入风险度量框架，人们可以在实践中形成对未来时间风险的预期。在这篇题为《风险的时间维度》（即将发表在《风险杂志》上）19的论文中，我们形式化了时间风险度量的理论，并分析了它们的性质。因此，我们引入了一种新的风险诊断方法，以补充传统诊断方法，并独特地捕捉与时间推移相关的风险。我们引入了时间变换的概念，一个随机过程到随机时间的空间不变随机变量映射，以及时间接受族的概念，并证明这两个实体对应于双目标。然后，将时间风险度量定义为路径相关风险度量，可将其分解为时间转换和风险函数。我们还表明，在Artzner等人[1999]的意义上，风险的时间度量永远不可能是一致的。在论文的第二部分，我们研究了水位下降的时间维度及其持续时间。在投资管理行业，提款期限是一种被广泛引用的风险诊断方法，但之前从未在路径相关风险度量的背景下进行过研究。此后，我们将持续时间作为风险的时间度量进行了计算，并得出了它的一些性质。然后我们讨论了持续时间风险的一些经验性质。特别是，我们发现Duration捕捉了两种主要资产类别回报的序列相关性。5.2. 关于在实践中估计暂时风险的说明。我们对路径相关风险度量的时间维度的数学合理概念的研究本质上是一种形成未来潜在时间相关风险预期的方法。

随着时间风险度量的数学设置到位，随之而来的一个自然问题是：我们如何使用这种形式主义来陈述实践中与未来路径相关的预期？答案超出了本文的范围，我们最后简要地指出了开发合理的路径依赖风险模型的必要性和挑战。我们的实证研究虽然只是为了说明目的，但其估算方法相当简单。我们使用重叠滚动窗口来生成缩编过程、最大缩编和持续时间。目前正在进行的工作基于一致性、效率和稳健性评估了其他几种估计器的可比性，例如使用块自举法。此外，请注意，与可用数据相比，恢复水下的给定随机过程可能需要相对较长的时间。图3中的情况确实如此，基本过程的恢复需要几秒钟。这指出了数据可用性方面的挑战。产生路径依赖风险度量的样本量，尤其是下降持续时间，往往太小。解决这个问题的一种方法是，每年重置所有的提款流程。这意味着人们会忘记过去几年的历史性缩减。这一指导原则目前也正在进行大规模的实证研究。