风险的时间维度

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《The Temporal Dimension of Risk》
---
作者：
Ola Mahmoud
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  Multi-period measures of risk account for the path that the value of an investment portfolio takes. In the context of probabilistic risk measures, the focus has traditionally been on the magnitude of investment loss and not on the dimension associated with the passage of time. In this paper, the concept of temporal path-dependent risk measure is mathematically formalized to capture the risk associated with the temporal dimension of a stochastic process. We discuss the properties of temporal measures of risk and show that they can never be coherent. We then study the temporal dimension of investment drawdown, its duration, which measures the length of excursions below a running maximum. Its properties in the context of risk measures are analyzed both theoretically and empirically. In particular, we show that duration captures serial correlation in the returns of two major asset classes. We conclude by discussing the challenges of path-dependent temporal risk estimation in practice.
---
中文摘要：
风险的多期度量说明了投资组合的价值所走的路径。在概率风险度量的背景下，传统上关注的是投资损失的规模，而不是与时间推移相关的维度。在本文中，时间路径相关风险度量的概念被数学形式化，以捕获与随机过程的时间维度相关的风险。我们讨论了风险的时间度量的性质，并表明它们永远不可能是一致的。然后，我们研究投资缩减的时间维度，即投资缩减的持续时间，它衡量的是低于运行最大值的游程长度。本文从理论和实证两个方面分析了风险度量的性质。特别是，我们表明，持续时间捕获了两个主要资产类别回报的序列相关性。最后，我们讨论了路径依赖的时间风险估计在实践中面临的挑战。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> The_Temporal_Dimension_of_Risk.pdf (550.46 KB)

2022-5-7 07:46:10 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Quantitative Optimization Applications Mathematical Measurement

风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）OLA MAHMOUDAbstract。风险的多期度量考虑了投资组合价值的路径。在概率风险度量的背景下，传统上关注的重点是投资损失的规模，而不是与时间推移相关的维度。本文对时间路径相关风险测度的概念进行了数学形式化，以捕捉与随机过程的时间维度相关的风险，并对其理论性质进行了分析。然后，我们研究投资下降的时间维度，即其持续时间，它衡量的是低于运行最大值的游程长度。本文从理论和实证两个方面分析了风险度量的性质。特别是，我们展示了duration在两个主要资产类别的收益中捕获了序列相关性。最后，我们讨论了路径依赖性时间风险估计在实践中面临的挑战。1.简介单期风险度量不能说明投资组合的路径。由于投资基金不持有静态头寸，因此衡量投资风险的标准应该是随机路径，而不是随机的单期收益或损失。数学上，路径相关的风险度量是实值函数ρ：R∞→ 随机过程空间上的R∞代表固定长度路径上的累积回报。大多数现有的路径相关风险度量本质上是对风险空间维度的度量，即投资损失或收益的大小。然而，通过从单周期移动到多周期框架，第二个维度变得明显，即时间维度。

这种随机过程的时间维度传统上没有被纳入Artzner等人[1999]开创的风险度量概率理论中。本文将多期风险的时间维度形式化为时间风险度量。在给定的时间范围内∈ (0, ∞), 时间风险度量是路径依赖的trisk度量ρ：R∞→ R、 它首先映射了一个随机过程X∈ R∞随机时间τ，它是一个随机变量，取值于时间间隔[0，T]。这种所谓的时间转换是平移和缩放不变的，因此对空间维度是不变的，圣加仑大学（瑞士）数学与统计学院和加利福尼亚大学伯克利分校（美国）风险管理研究中心电子邮件地址：ola。mahmoud@unisg.ch, olamahmoud@berkeley.edu.Date：2016年6月28日。2随机过程的风险时间维度（即将在《风险杂志》上发表）。随机变量τ旨在总结我们感兴趣的过程X的特定时间行为。然后，对τ应用实值风险泛函，如偏差或尾均值，描述其分布的风险特征。我们得出了时间风险度量的一些性质，并表明它们在Artzner等人[1999]的意义上是不一致的。本文的第二部分重点介绍了被广泛引用的多期风险指标之一：提取，即资产净值或累积回报从历史峰值下降。在出现大规模提款的情况下，传统的单期风险诊断（如波动性或预期短缺）是不相关的，在市场突然下跌后，在不利的市场条件下可能会被迫清算。

由于水位下降的概念内在地考虑了给定时间段内的路径，因此它配备了两个维度：空间维度（水位下降幅度）和时间维度（水位下降持续时间）。虽然在学术文献中已经广泛研究了缩减的幅度，投资界也经常使用，但时间维度，即其持续时间，即衡量低于运行最大值的偏移长度，并没有受到同样的关注。特别是，尽管这是一个被广泛引用的绩效指标，但在实践中似乎并不存在一种普遍接受的数学方法来形成对未来持续时间的预期。为此，我们从理论上、在时间风险度量的背景下以及通过观察一些经验持续时间分布，从经验上分析了提款持续时间的性质。我们还表明，持续时间风险对资产收益的序列相关性高度敏感，因此可以捕捉到它们的时间依赖性。这种洞察可能会影响某些portfolioconstruction策略的感知。例如，流行动量策略（Chan等人[1996]）的回报具有高度的自相关性。我们的研究表明，这种策略可以避免高持续时间风险。总之，本文的主要贡献有两个方面：（i）首先，我们形式化了时间风险度量的理论，并分析了它们的性质。因此，我们引入了一种新的风险诊断，以补充传统的风险诊断，独特地捕捉与时间推移相关的风险，并提供比标准风险度量更多的路径信息。通过将时间维度纳入风险度量框架，人们可以在实践中形成对未来时间风险的预期。（ii）其次，我们举例说明了一个应用我们的时间风险度量理论的实际例子。

更具体地说，我们研究了缩减的时间维度及其持续时间。提取期限是投资管理行业中被广泛引用的一种风险诊断方法，但之前从未在风险时间维度的路径依赖性度量（即将发表在《风险杂志》3风险中进行过研究。因此，我们将持续时间作为风险的时间度量，并验证其属性。然后我们推导了持续时间风险的一些经验性质。特别是，我们展示了持续时间捕获了两个主要资产类别回报的序列相关性。1.1. 提要我们从第2节开始，回顾了连续时间环境中路径依赖性的概率理论。然后，我们引入了时间变换的概念，随机过程到随机时间的空间不变随机变量映射，以及时间接受族的概念，并证明了这两种结构是相对应的。然后，将时间风险度量定义为路径相关风险度量，可将其分解为时间转换和风险函数。我们证明，在Artzner等人[1999]的意义上，风险的时间度量永远不可能是一致的。第三节分析了水位下降的时间维度。我们首先回顾了下降的空间维度及其幅度。它的时间维度，持续时间，捕获了随机过程第一次达到之前运行的最大值所需的时间。第4节包括根据风险的时间度量对持续时间的分析，以及对持续时间分布的实证分析。然后我们证明，持续时间风险在序列相关性方面比传统的单周期风险度量更能体现时间依赖性。我们在第5节总结了我们的发现，并讨论了路径依赖风险估计在实践中面临的挑战。1.2.

背景文献。我们总结了与路径相关风险度量的概率理论相关的工作，以及对下拉的两个维度、其大小和持续时间的理论和实践分析。1.2.1. 路径依赖风险度量。Artzner等人[1999]的开创性工作介绍了不同的风险度量以单期风险为中心，风险在期初测量，随机损失或收益在期末观察。在Artzneret等人[2002、2007]中，Artzner等人[1999]的框架被推广到离散时间多周期模型，在Cheridito等人[2004、2005]中，连续时间随机模型的相干和对流风险度量的表示结果得到了发展。Riedel[2004]定义了动态风险度量的概念，其中动态风险评估由一系列风险映射组成，并随着时间的推移进行更新，以纳入新信息。这种衡量标准具有动态一致性的概念，这要求基于风险衡量标准的判断随着时间的推移并不矛盾（另见Bion Nadal[2008、2009]和Fasen and Svejda[2012]）。在过去的十年里，人们对动态风险度量进行了广泛的研究；[2007]和[Rosael-Weillzer]以及[2006]等。我们指出，上述研究的重点是损失和收益的大小，而不是潜在过程的时间行为。据我们所知，4风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）的路径依赖风险度量概念捕捉风险的时间维度，在学术文献中尚未正式发展。1.2.2. 水位下降幅度和持续时间。

应用概率论文献（Taylor[1975]、Lehoczky[1977]、Douady等人[2000]、Magdon Ismail等人[2004]、Landriault等人[2015a]、Mijatovicand Pistorius[2012]、Zhang and Hadjiliadis[2010]、Hadjiliadis and Vecer[2006]、Pospisil等人[2009]）对水位下降幅度的分析评估进行了广泛研究。在数学金融研究中，主动投资组合管理中的缩减受到了广泛关注（Grossman和Zhou[1993]，Cvitanic和Karatzas[1995]，Chekhlov等人[2003,2005]，Krokhmal等人[2003]，Carr等人[2011]，Cherney和Obloj[2013]，Sekine[2013]，Zhang等人[2013]，Zhang[2015]，Zabarankin等人[2014]，Pospisiland Vecer[2010]）。在概率风险度量的背景下（这是我们在本文中的主要兴趣），Chekhlov等人[2003年、2005年]开发了一种称为条件风险提取（CDaR）的提取风险定量度量，Goldberg和Mahmoud[2016]开发了一种称为条件预期提取（CED）的最大提取风险度量。CDaR和CED这两种风险度量都是偏差度量（Rockafellar等人[2002、2006]）。在此之前，在风险度量的背景下，还没有研究过缩减的时间维度，即其持续时间。然而，它被认为是在其概率特性方面。例如，在Zhang和Hadjiliadis[2012]中，分析了水位下降持续时间的概率行为，并推导了水位下降前最大过程的最后访问时间的联合拉普拉斯变换，以及在一般差异动态下的最大过程。最近，Landriault等人[2015b]考虑推导出一大类利维过程的提取持续时间，并发现提取持续时间的规律定性地依赖于潜在利维过程的光谱负成分的路径类型。2.

时间风险度量我们回顾了连续时间环境中路径依赖风险度量的概念，并形式化了围绕路径依赖时间风险度量的数学框架。2.1. 路径依赖风险度量。在经典风险评估中，固定时间范围内的不确定投资组合结果表示为概率空间上的随机变量。风险度量将每个随机变量映射为一个实数，总结了投资组合中风险资产的总体状况。这种单期风险度量并没有考虑投资组合的回报路径。由于投资基金不持有静态头寸，理想情况下，投资风险的衡量应该在随机过程而非随机变量中确定。我们使用Cheridito等人[2004]的一般设置来研究连续时间路径相关风险的数学形式。连续时间累积收益，或相当于净资产价值的过程，由基本上有界的c`adl`ag过程（在给定的概率中，即风险的时间维度（即将在《风险杂志》中）5度量）表示，这些过程适应于过滤概率空间的过滤。更正式地说，对于atime horizon T∈ (0, ∞), 让(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个满足通常假设的过滤概率空间，即概率空间(Ohm, F、 P）是完全的，（Ft）是右连续的，F包含F的所有空集∈ [1, ∞], （Ft）-适应的c`adl`ag过程位于banach间隔区p={X:[0，T]×Ohm → R | X（Ft）-适应的c`adl`ag过程，kXkRp}，它配备了normkXkRp:=kX*kPx在哪里*= 监督∈[0，T]| Xt |。关于概率测度P，过程之间的所有等式和不等式都是完全可以理解的。

例如，对于进程X和Y，X≤ 对于P-几乎所有ω∈ Ohm, Xt（ω）≤ Yt（ω）适用于所有定义2.1（连续时间路径相关风险度量）。连续时间路径依赖的trisk测度是实值函数ρ：R∞→ R.与单期风险类似，路径依赖风险度量ρ：R∞→ 如果满足以下公理，R是货币：o平移不变性：适用于所有X∈ R∞几乎可以肯定，所有这些都是常数∈ R∞,ρ（X+C）=ρ（X）- C.o单调性：对于所有X，Y∈ R∞这样X≤ Y，ρ（X）≤ ρ（Y）。对于所有X，它是一阶正齐次的∈ R∞λ>0，ρ（λX）=λρ（X）；如果X，Y都是凸的∈ R∞λ∈ [0,1]，ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y）。正同质和凸的线性（路径相关）风险度量称为相干。备注2.2（符号惯例）。对于随机过程X∈ R∞, 我们将为Xt:=supu定义的随机过程写X∈[0，t]Xu，这是X到时间t的运行最大值。此外，对于随机变量Z和置信水平α∈ [0，1]，我们将使用qα（Z）：=inf{d∈ R:P（Z>d）≤ 1.- α} 表示其α分位数，t Mα（Z）：=1- αZαQu（Z）duto表示其α尾均值。2.2. 时间路径依赖性风险。大多数路径相关风险度量本质上是对投资路径空间维度的度量，即投资损失或收益的风险时间维度（即将发表在《风险杂志》上）。然而，人们可能对与潜在随机过程的时间维度相关的风险感兴趣。例如，在基金管理行业，恢复之前最大值（“峰到峰”）所需时间的历史值，或之前最大值和当前低点（“峰到谷”）之间的时间长度，经常与提取值一起引用。

然而，一种被普遍接受的数学方法似乎并不存在，它可以对未来潜在的此类暂时风险形成预期。一个过程的空间维度概括了一个货币量，如投资收益、损失或回报，而时间维度是以时间单位衡量的。因此，预计这两个量的行为方式不同。为了从一个过程的空间维度过渡到其时间维度，我们定义了所谓的时间转换，它通过将过程映射到arandom时间，从本质上消除了其空间维度的过程。接下来，我们将这些概念正式化。确定时间范围∈ (0, ∞). 给定一个随机过程X∈ R∞, 随机时间τ是同一概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）作为X，取时间间隔[0，T]中的值。我们说Xτ表示过程X在随机时间τ的状态。随机时间可以被认为是空间T的元素 L(Ohm, F、 P）实值随机变量τ：Ohm → [0，T]。注意，空间T是一个偏序集；它是反射的、反对称的和传递的。向量序≤ 关于T由τ给出≤ τ当且仅当τ（ω）≤ τ（ω）对于几乎所有ω∈ Ohm. 在随机过程的概率研究中，随机时间的典型例子包括击中时间（给定过程第一次击中状态空间的给定子空间）和停止时间（给定随机过程表现出某种感兴趣行为的时间）。2.3. 时间变换。给定一个随机过程X∈ R∞, 我们现在对某些事件发生所需的时间感兴趣。为了提取这个过程的时间特征，我们使用空间不变变换将X映射到T中的随机时间。定义2.3（时间转换）。