差额偏差风险：风险度量的替代方案

因为SDR是相干的，并且满足定律不变性公理，所以它是法图连续的，如Jouini等人（2006）所示。根据定理1，我们可以根据对偶表示刻画SDR。我们必须定义由概率测度形成的子集  .  根据Rockafellar等人（2006年）的研究，广义偏差度量包括,  具有  ,  有风险信封      .  因此          .  Delbaen（2002）表明 ,       . 因此，我们有                                                                                        . 哪里      . 为了证明这一点 是由有效措施组成的，只需验证  , ,   ,         .  此外  因为假设相反的情况会发生 ,  因此，  .  因此      , 矛盾。□                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        备注7。

定律不变性公理是最基本的，因为它意味着风险度量可以由真实数据估计；换句话说，它可以用于实际的风险度量。Kusuoka（2001）表明，满足定律不变性公理且为Fatou连续的一致风险度量在数学上可以表示为, 哪里 概率度量是否定义在. Jouini等人（2006）证明，在标准空间中定义的法律不变凸风险测度将自动是Fatou连续的。Svindland（2010）通过放松概率空间是标准的假设，仅要求它是无原子的，从而推广了Jouini等人（2006）的结果。由于SDR是相干的，并且满足定律不变性公理，因此它可以表示为ES组合的最高值。当我们考虑无原子空间时，我们可以定义一个连续变量, 均匀分布在0和1之间，这样 .  对于  ,  我们可以代表 ,  其中H是单调递减函数。为了在双重代表中获得最高权力， 必须是关于X的反单调的 具有   而且知道 对于连续分布，基于对偶表示，我们有                                                          .   因此，我们只需确定措施   这些都是候选人。按照同样的逻辑，我们有 ,    和 .

因此，通过转换限制，可获得以下集合：    ;          ;          ;    . 因为 ,   ,   ,  我们有 , 具有   . 因此，我们得到了表达式 ,  哪里          .  备注8。因为SDR是一种连贯的风险度量，一种包含, 没有交叉点 这是一个凸锥，可以根据Artzner等人（1999）建立。此集合采用以下形式：     ,  具有       .  这一概念与资本监管问题密切相关，因为它能够检查需要维持的资金量，以防止SDR衡量的损失，即使头寸可接受，因为    . 如果该值为负值，则表示在头寸不被接受的情况下可以提取的资本金额。接受集逻辑由平移不变性公理推导而来。El Karoui和Ravanelli（2009）将平移不变性公理放松为次加法形式，以解决利率的不确定性。这条公理13表明        .  显然，平移不变性公理是一个特例，SDR以次加法形式满足这个公理。备注9。

由于SDR具有一致性，因此被纳入了F"ollmer和Schied（2002）以及Frittelli和Gianin（2002）提出的凸风险度量类别。这个类放松了正齐性和次可加性公理，并用弱凸性公理代替它们。这条公理规定，多样化头寸的风险小于或等于单个风险的加权平均值，数学形式给出            .  关于对偶表示，凸风险度量是根据  , 哪里     是一个凸惩罚函数，根据 ,  具有 .  就特别提款权而言，我们有 ,     .  凸性对于优化问题至关重要，例如与资源分配相关的所有问题。因此，特别提款权是资源分配中需要考虑的有效措施。此外，这将是SDR作为优化问题解决方案发展的一个有趣的增强。备注10。因为SDR是一个函数，连续性属性变得很有趣。如定理4的证明中所述，由于它是凸的且满足定律不变性公理，Jouini等人（2006）的结果确保SDR是法图连续的。由于平移不变性和单调性公理，       暗示   . 因此   . 通过颠倒X和Y的角色，我们得到了   .  通过结合这两个不平等，  . 因此，SDR是Lipschitz连续的。根据Kr"atschmer（2005），SDR从上到下是连续的，因为它符合凸测度类，并且具有双重表示。

由于我们只考虑有限值，根据Kaina和Rüschendorf（2009）关于有限凸测度的结果，SDR从下到下是连续的，Lebesgue是连续的。备注11。一个关键问题是在决策中使用风险度量。因此，风险度量尊重随机优势序是非常重要的。SDR基于Leitner（2005）和B"auelle and Müller（2006），通过满足定律不变性、单调性和凸性公理，符合二阶随机优势；换句话说，  暗示 . 因此，规避风险的投资者，即具有凹效用函数的投资者，其偏好会通过特别提款权反映出来。因此，法律不变凸风险测度具有 , 在任何情况下，头寸的风险都大于其条件预期价值的风险  .  这种关系与单调性公理的修改有关，这是Leitner（2004）为Fatou连续一致风险度量引入的扩展单调性公理。考虑  , 哪里 是所有可能事件子空间的族. Y是X的扩张， , 如果有  以至于  .  如果度量满足扩张单调性公理，则可以保证 , 然后   . SDR满足这一公理，因为正如Cherny和Grigoriev（2007）所证明的，满足无原子概率空间中定义的定律不变性公理的每个凸风险度量也满足扩张单调性公理。基于这些特性，SDR成为决策应用中一个非常有趣的度量，因为它反映了偏好关系。14备注12。

SDR也适用于其他灵活的风险度量类别，如Kou等人（2013）提出的自然风险度量。这类度量所满足的公理，除了正同调性和单调性公理外，还包括平移缩放公理（平移不变性公理的缩放版本），共单调次可加性公理（仅对共单调变量要求次可加性，即具有完全正关联）和经验定律不变性公理（一个包含数据中任何排列的版本）。因为这些公理比我们为SDR证明的公理弱，所以建议的度量是这类公理的一部分。此外，如果我们考虑到适应性 , Cont等人（2010年）和Staum（2013年）的定义中包含了由此产生的度量，他们引入了仅考虑损失的度量，以及单调性和凸性公理，并对平移不变性公理进行了修改。SDR除了具有直观的金融和经济意义外，还具有坚实的理论属性。基于这种结构，我们认为特别提款权是一种重要的风险度量方法，可用于金融问题，如实际风险度量、资本要求、资源配置和决策以及其他知识领域。4.插图在本节中，我们使用模拟和真实数据提供了一个插图，以更实际的方式探索此类概念。我们在简单模拟的基础上展示了一些图，以可视化度量的定义。此外，基于蒙特卡罗模拟和真实数据的结果被用于说明不同情景和时期与主要风险度量VaR和ES的关系。

重点不是分析建模、回溯测试甚至不同金融应用程序的细节等问题，而是SDR应用于金融数据时的行为。我们使用的是被称为历史模拟（HS）的实证方法，这是一种非参数方法，不会对数据产生任何假设，是学术研究和金融行业中使用最广泛的方法。Pérignon和Smith（2010）指出，76%披露其风险评估程序的机构使用HS。尽管HS受到了批评（Pritsker，2006），但这里的重点不是讨论估算细节，甚至不是比较模型。因此，我们选择了最常见、最简单、最灵活的模型。更具体地说，让我们  是经验分布的;  那么，所考虑的度量的估计值是一致的（5）： ,   ,   ,     .         （5）在（5）中， 是样本量， 是显著性水平，以及 指示函数，如果*为真，则假定值为1，如果*为假，则假定值为0。 .  是经验分位数的负数,  是低于这个分位数的平均值的负数， 功率p下的半偏差是否低于, 和 是 和. 作为第一个可视化，图1显示了假设样本X~N（0.1）的左尾，其VaR、ES和SDR值以及符号调整为α=0.01、p=2和β=1。这15项指标是根据（5）计算的，样本量为  . 很明显，SDR定义了优于ES的保护，因此也优于VaR。

为了证明SDR的行为，在图2和图3中，我们展示了VaR、ES、SD和SDR在不同显著性水平下的演变，也根据（5）进行了计算。图2表示高斯情况 没有沉重的尾巴，而图3所示的情况是, i、 例如，学生的t分布带有重尾，这可能更好地代表金融资产的行为。这里我们还考虑了  . 由于VaR、ES和SDR度量概念之间的直接关系，我们可以观察到它们之间存在一个共同的演化因子。然而，每种度量所指示的风险大小不同，可能代表SDR相对于其余两种度量所提供的更大安全性。图1-VaR、ES和SDR，带负号，用于  ,    和   对于.16图2–风险值、ES、标准差和特别提款权作为 具有,    和  .    图3–风险值、ES、标准差和特别提款权作为 具有,    和  .17图2和图3中的曲线图还表明，当存在重尾时，测量值会达到更高的值。如前所述，SDR指标始终高于ES，即高于VaR。在Student t分布的情况下，这种差异在最极端分位数的方向上增加，而在高斯分布的情况下，观察到相反的行为。这可以用尾色散SD的行为来解释，在Student t分布的情况下，尾色散SD在极端分位数中增加，但在高斯分布的情况下，由于前者和后者之间极端事件发生的概率增加，尾色散SD在极端分位数中减少。所有的衡量标准都倾向于与价值观相等  什么时候 趋于零。

图4显示了提议的风险度量SDR获得的价值与     和    , 对于这种情况，p=2.  这里我们还考虑了  .  SDR测量值随温度的降低而增加 和 值，代表更极端的分位数和更大的风险厌恶。图4还显示了指数平滑模式，它反映了ES上的SD惩罚系数。图4——SDR作为 和 对于    ,     ,    和.    为了评估SDR行为，通过蒙特卡罗模拟进行了更复杂的分析。结果X由条件均值的自回归（AR）过程和条件方差AR（1）-GARCH（1,1）的广义自回归条件异方差（GARCH）过程生成。这种类型的规范经常被认为是分析金融数据的风险度量，因为它考虑了每日收益的程式化事实，如Angelidis等人（2007）所指出的波动性集群和重尾等。该过程根据（6）进行参数化。  ,18                                                          （6） 在第（6）条中，,  ,    和  对于周期t，是回报、条件方差、期望创新和一个带有Student t分布的白噪声序列    和  ,  分别地此外  是无条件（样本）方差。四种情况被认为包括：(  )  或者不包含(  ,  i、 e.正态分布）极端回报（重尾）的存在，以及低收益期(  ) 而且很高(  ) 波动。

我们选择数据生成过程的参数，以与次贷危机之前和期间北美市场指数标准普尔500（s&P500）的每日收益率所获得的参数一致。我们将这一选择归因于该指数的代表性，该指数也用于实际数据的示例以及金融风险评估的各种模拟研究，如Christoffersen和Goncalves（2005）和Degiannakis等人（2013）等。对于每种情况（正态分布和Student\'s t，具有低和高波动性），我们模拟了10000个重复，样本量为2000。该样本量代表了大约8年的日常观察，在比较风险度量估计器的研究中，如Kuester等人（2006年）、Alexander and Sheedy等人（2008年）和Wong等人（2012年）指出，因为它往往会产生较低的估计误差。对于每个样本，我们使用HS方法（5）估计VaR、ES、SD和SDR。我们假设   p=2以简化分析。所有结果均以0.01和0.05作为计算值  因为这些值是研究和实践中最常见的分位数。基于这一结构，我们计算了所有样本用HS估计的风险度量的平均值和标准偏差。此外，我们还计算了每个测量值与SDR之间的平均比率，以及每个测量值与SDR之间的皮尔逊相关性。蒙特卡罗模拟的结果如表1所示。