差额偏差风险：风险度量的替代方案

是X及其逆的概率函数. 因为 没有原子， 可以假设是连续的，并且在整个研究过程中都会做出这种假设。允许 是以X为元素的随机变量的空间    , 按照规范的定义  有限p和     对于无限p。   表明 , 这意味着X对p次幂的绝对值是有限的和可积的。此外 . 在这种情况下，衡量风险相当于建立功能  , 换句话说，将X位的风险汇总为一个数字。5在这里，我们给出了文献中的定义和结果，这有助于拟定措施的理论框架的发展。最初，除了SD和SDR之外，我们首先定义VaR和ES概念，这些概念对于理解提议的度量至关重要。定义1。允许  . 给定一个重要级别    :        .                                    (1)                                                                                                                 .                                                                (2)       .                                       (3)        .                                                      （4） 备注1。VaR是分位数 属于, 它由负号调整，代表0到T之间的损失，只有概率超过它. VaR不考虑兴趣分位数之后的信息，只考虑点本身。

ES克服了这一困难，因为它代表X的期望值，通过负号调整，条件是X代表比VaR更高的损失，即极端损失。我们建议将被ES截断的色散视为惩罚项。该测量值为SD，即与ES相关的半偏差。p的不同值可以包含X的更高阶矩。基于这些定义，我们开发了一个风险度量，通过其离散度来调整极端损失的风险。两个位置可以呈现相同的尾部预期损失，但分散度不同。虽然一个仓位有一定的预期损失，但另一个仓位可能会出现分散，导致出现过高的损失。基于这一推理，特别提款权上升。备注2。SDR同时包含两个风险定义支柱，因为它考虑了极端糟糕结果的可能性和相对于预期值的不确定性。术语   表示作为ES惩罚应包括的分散程度，这可能会起到保护作用。较低的 产生更高的惩罚，最低限度地减少     具有  ,  其中ES的原始值被恢复，并且    具有  , 其中包含所有SD。价值观的选择 允许纳入主观问题，例如代理人的风险规避程度。此外，SDR产生的价值高于ES和VaR，低于最大损失; α也不增加，因为风险度量在更极端的分位数中有更大的值。SDR适用的风险度量类别包括Artzner等人（1999）提出的一致性风险度量。

因此，其目的是证明SDR的此类公理，以及其他性质和特征，如接受集和对偶表示。我们现在定义一致的风险度量。定义2。函数   如果满足以下公理，则是一致的风险度量：平移不变性：        .  次可加性：      . 单调性：如果  , 然后   . 正同质性：     .6此外，一致的风险度量可以遵守以下公理：相关性：如果   和  , 然后   . 严格：   .   法律不变性：如果 , 然后   .  备注3。第一条公理确保，如果某个头寸增加了一定的收益，其风险应该以相同的数量减少。第二个公理基于多元化原则，它意味着组合头寸的风险小于单个风险的总和。第三条公理要求，如果第一个位置总是产生比第二个位置更糟糕的结果，第一个位置的风险总是大于第二个位置的风险。第四条公理与头寸规模有关，即风险随头寸规模成比例增加。相关性公理确保，如果一个头寸总是产生负面结果（损失），那么它的风险就是正面的。严格性公理确保度量足够保守，以超过常见损失预期。Kusuoka（2001）针对一致风险度量提出的定律不变性公理确保了具有相同概率函数的两个位置具有相同的风险。当使用依赖于法律的真实数据时，这一特征对于实际中的风险度量非常重要。备注4。

给出了一致的风险度量, Artzner等人（1999）将验收集定义为      , i、 例如，造成没有损失的情况的位置。允许 是非负元素的圆锥体 让我 成为它的反面对应物。每个连贯的风险度量  有一套验收单满足以下属性的：包含, 与…没有交集, 是一个凸圆锥体。与此集合相关的风险度量是       , 换句话说，需要添加到位置X以使其可接受的最低资本。Artzner等人（1999）证明，如果验收集满足之前定义的属性，那么与该集相关的风险度量是一致的。如果风险度量是一致的，那么与该度量关联的接受集满足所需的属性。由于SDR度量是ES和SD的组合，在证明其特征之前的第一步是理解SD理论属性，因为ES在文献中已经有了很好的定义。因为它是一个分散系数，SD更好地适应Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量概念。我们现在定义广义偏差度量。定义3。函数    如果满足以下公理，则为广义偏差度量：翻译不敏感：        正同质性：     .  次可加性：      .  非消极性：    , 具有   对于非恒定X。此外，广义偏差度量可以遵循以下公理：低范围优势：     法律不变性：如果 , 然后    .7备注5。

第一条公理表明，如果加上一个常数，相对于预期值的偏差不会改变。第二条公理指出，财务状况的风险随着其规模成比例增加。第三条公理确保多样化的原则被度量所捕获。第四个公理类似于关联概念，它表明任何非恒定位置都表现出非负偏差。因此 捕捉X中的不确定性程度，其行为类似于X中的常态, 但它不需要对称。下限优势公理将偏差度量限制在低于位置X的期望值和最小值之间的范围内。定律不变性公理意味着具有相同概率分布的金融位置具有相同的风险，并保证可以从真实数据估计广义偏差度量。除了公理之外，还必须定义连续性属性，因为风险度量基本上是需要这些属性来确保特定结果的函数。因此，我们现在定义连续性属性。定义4。允许 . 风险度量   也就是说：如果有常数，Lipschitz连续    以至于   . 如果从上面连续 , 即。， 汇聚 a、 从更高的值到X，意味着  如果从下面连续 ,  即。，  汇聚  a、 从较低的值到X，意味着  法头连续if  和 , 即。， 是有限的和收敛的 a、 从s到X，带着  , 然后  勒贝格连续if  和 , 即。， 是有限的和收敛的 a、 从s到X，带着  , 然后 .

鉴于连续性属性，一致性风险度量可以表示为概率度量生成的场景中X的最坏可能预期结果  . Artzner等人（1999年）提出了离散 空间。Delbaen（2002）推广了连续 空间，井上（2003）考虑了空间    . 正如Rockafellar等人（2006）所证明的，也可以用类似的方法表示广义偏差度量，并进行适当的调整。以下结果正式保证了这些陈述。定理1。德尔巴恩（2002年），井上（2003年）。   是一种持续一致的风险度量，当且仅当它可以按照 , 哪里  是  和        .  定理2。Rockafellar等人（2006年）。函数    是一个Fatou连续广义偏差测度，当且仅当它可以表示为 , 哪里 是, 对于任何非常数X，这里是8    具有  ,  以至于            . 有限性 等价于 .  满足下限支配公理当且仅当   . 布景 为广义偏差度量唯一定义 被称为风险信封。3.主要结果本节的主要目的是证明特别提款权作为一种风险度量的理论性质。基于上一节的定义和结果，我们首先证明了SD作为广义偏差度量的公理和表示。定理3。

功能  在（3）中定义了一个广义偏差度量，它满足低范围优势和定律不变性公理，具有风险包络, 哪里              .   证据首先，有必要证明SD满足公理。因此，我们一个接一个地证明它们。基于这些公理和之前的结果，我们得到了对偶表示。i） 翻译不敏感。因为    , 我们有                                                    .  ii）正同质性。因为  对于  , 我们有                                 .  iii）次可加性。因为,  和  都是次编辑，我们有                                                                                                                             .     iv）非消极性。根据定义，SD是一个只能假设非负值的p-范数。对于非常数X的严格正性，注意     ,  如果   .  因此    , 根据定义， .9 v）低范围优势。考虑不等式序列       .  因为   不断地    在两边进行这些运算不会改变不平等，因为这两个项都是非负的，我们有      .  因此 .

vi）法律不变性。假设 , 我们有                                      . 因此  对于 .   vii）双重代表。SD是凸的，因为它符合次可加性和正齐性公理。它还满足定律不变性公理，这意味着它是法图连续的，如Jouini等人（2006）对无原子空间的证明。根据定理2，SD可以用对偶表示来刻画。共轭空间 是 具有 .  由概率测度形成的风险包络    应该这样定义                          这些步骤是合理的，因为    和  , 哪里 是. 此外，根据定理2，我们有    和 ;  最后一个不等式是由下限支配公理引起的。因此   .  因此，我们有双重代表性 ,  哪里                                                                                                                         □                                                                         备注6。Grechuk等人（2009）表明，具有定律不变性公理的广义偏差度量可以表示为  , 哪里 是一组非递增函数 ,  ,   ,  .

这种表示法的灵感来自于Kusuoka（2001）和Acerbi（2002）分别提出的具有定律不变性公理和谱测度的相干测度。就SD而言，我们有          .  基于为SD证明的特性，我们现在将重点转向SDR。由于SDR是ES和SD的组合，我们使用这两个度量的已知属性来证明SDR10公理。我们还讨论了文献中其他理论结果的表述和含义等问题。定理4。功能  （4）中定义的是一个一致的风险度量，它满足相关性、严格性和法律不变性公理。此外   和  是不是在增加  和.  它的双重代表性是,  哪里      ;             ;       .  证据首先，有必要证明SDR满足公理。基于这些公理和以前的结果，我们证明了它与其他度量的关系、参数的不递增性和对偶表示。iv）翻译不变性。因为ES满足这个公理，SD满足翻译不敏感公理，所以我们                                                .  ii）次加性。因为ES和SD都是次可加的，                                                                                          iii）单调性。

假设  ,   , 以至于    . 由于SD的低范围优势公理，   和    , 我们有  . 因此 . 根据SDR的次加性，我们有     .          iv）正同质性。因为ES和SD都有这个公理  ,  我们有                             .    v） 相关性。因为ES尊重这个公理，因为它是一个期望，SD满足非负性公理，比如    和  ,  我们有      . 因此 .   vi）严格。根据定义， . 因为ES在减少 SD满足非负性公理，我们有    . 因此 .  vii）法律不变性。因为ES和SD满足这个公理，假设 , 我们有       .11 viii）与其他措施的关系。由于ES是一种预期，它考虑了VaR之外的信息， .  因为SD满足非负性公理，我们有    . 根据下限优势公理，      . 因此    .  ix）参数不增加。从…起    和  , 我们有   是不是在增加. 证明这一点对我来说也是一样的, 假设相反，即。，  对于 .  因此，我们有   因为  .  然而    ,  暗示 ,  但这是一个矛盾，因为   .    x） 双重代表。