差额偏差风险：风险度量的替代方案

表1——通过蒙特卡罗模拟获得的SDR的平均值、标准偏差、比率和皮尔逊相关系数，重复10000次，样本量为2000。正态分布，低波动率α=1%，平均值α=5%。Dev.ratiopersonmeanst。发火0.03520.00310.72330.69320.02340.00150.61810.63830.04310.00520.87430.90540.0310.00290.81920.87520.00730.00460.12620.82870.0070.00340.19040.88830.04940.00711.00001.00000.0380.00431.00001.00001正态分布，高波动率α=1%α=5%平均值。Dev.ratiopersonmeanst。发火0.06240.00540.72560.70250.04120.00310.61910.63890.07660.00850.87430.90920.05430.00430.82020.87870.01130.00680.12710.83410.01210.00420.18950.89180.08720.01221.00001.00000.06750.00751.00001.000学生分布，低波动性α=1%α=5%平均值。Dev.ratiopersonmeanst。发火0.16310.86830.56230.98310.06660.13660.39860.94320.24531.34680.79440.99520.12770.54220.67430.99780.07750.55870.20780.97110.08110.53440.34320.99720.32171.87521.00001.00000.20441.04611.00001.00001学生分布，高波动性α=1%平均值α=5%。Dev.ratiopersonmeanst。发火0.27920.57640.56240.97760.11510.10730.39770.92740.41911.02550.79420.99320.21920.39220.67440.98830.12930.45960.28810.96840.13910.47110.34220.99110.54721.45821.00001.00000.35130.83121.00001.000表1中的结果显示了不同的模式。请注意，SDR比VaR和ES更具保护性，因为它具有更高的平均值。这种差异归因于SD分量，在采用Student t分布的模拟中增加，在这种分布中，更极端的结果可能以更高的概率出现。特别提款权对与VaR和ES相关的利息分位数不太敏感。

虽然SDR测量的风险在1%分位数内增加，但这种增加相对较小，因为SD与ES不成比例增加。SD并不总是以更极端的分位数增加。关于偏差，SDR显示出比其他测量值更高的值，这是很自然的，因为它是两个变量ES和SD的组合，并吸收了单独的色散。对于使用Student t分布和1%分位数的模拟，偏差显著增加。由于在这些情况下，极值（用于计算风险度量的信息）的存在增加，因此会出现更大的波动，最终导致高度分散。关于度量值和特别提款权之间的比率，其值小于1是很自然的，因为与其他度量值相比，特别提款权在获得的值方面占主导地位。我们还验证了SD分量的假设值低于VaR和ES，因此在SDR中的相对份额较低。关于情景，由于与VaR和ES相关的SDR增加，在Student t分布的模拟中，比率增加，而SD和SDR之间的比率增加，因为SD在更极端的情况下增加。SD惩罚项变得非常重要，尤其是在更大的动荡和更大的短缺概率的情况下。特别提款权的使用在金融风险管理中至关重要。关于相关性，SDR和VaR之间的关联性最弱，因为ES和SD是SDR的直接组成部分。这种关联在学生t分布的场景中变得非常重要。

在风险较高的情况下，与ES和VaR相比，SDR表现出更高的价值，即使是捕捉类似信息的措施，也可能提供更大的保护。尽管通过蒙特卡罗模拟获得了结果，但考虑真实数据时SDR的行为非常重要。使用真实数据可以考虑发生的重要事件，如危机和重大损失。因此，我们将SDR的应用与标准普尔500指数创建以来最常用的风险度量方法进行对比。如前所述，该指标是金融市场最重要的指标之一。图5显示了该指标的时间演变。到20世纪80年代末，该指数经历了温和的增长。急剧上升和突然下降的趋势是由金融危机造成的，比如dot。com和次贷危机，分别发生在21世纪初和21世纪末。自那时以来，金融领域有关风险管理（主要是风险计量）的实践和讨论不断加强。20图5——1950年1月至2013年12月标准普尔500指数的日价格。为了保持一定的分析标准，使用真实数据的程序保持了我们用于模拟的相同结构。我们考虑随机结果 如图5中价格的自然对数差或对数差。我们利用HS方法根据（5）基于2000次观测的估计窗口来估计风险措施。为了计算每天的测量值，采用了最近2000次的观测值，其中  , p=2，0.01和0.05被视为. 首先，我们对结果进行视觉分析。

图6和图7显示了标普500对数收益率、VaR、ES和SDR的时间演变，以及1%和5%分位数的修正符号。请注意，两个分位数之间的模式非常相似，度量的尺度不同。当出现重大损失和动荡时，SDR和ES之间的差异会增大。通过考虑SD分散成分，SDR在最关键时刻具有更可靠的风险估计和更大的保护。这种行为是SDR作为一种风险度量的明显优势。21图6——1958年1月至2013年12月期间标准普尔500指数、VaR、ES和SDR的每日日志回报（带更正符号）  .  图7:1958年1月至2013年12月期间标准普尔500指数、VaR、ES和SDR的每日日志回报（带更正符号）  .22在表2中，我们给出了标准普尔500指数的平均值、标准差、偏度、峰度、最小和最大对数收益率的描述性统计数据，以及用HS估计的风险度量。我们还介绍了SDR的平均比率和皮尔逊相关性。表2中的结果证实，SDR的平均值高于其他风险指标，因为它更具保护性。标准普尔500指数对数收益的平均值为零。SDR和ES之间的差异大于ES和VaR之间的差异，这意味着SD惩罚代表了更大的保护。除SD外，1%分位数的风险度量值更高，因为它代表更极端的损失。因此，在最极端的分位数中，特别提款权的增加比例与VaR和ES的增加比例不一样，这可以通过1%分位数中与特别提款权相关的度量比率的增加来反映。

SDR成分中SD的平均份额在1%分位数时降低，但保留了相当大的比例，这表明它不能被忽略。表2——1958年1月至2013年12月标准普尔500指数风险指标的平均值、标准差、偏度、峰度、最小值和最大值、比率以及皮尔逊与SDR的相关性。α=平均值的1%。德夫·斯特克。库尔特。最小最大比率纵火和P5000。00020.0100-1.034930.9024-0.22890.10960.00560.00960.02420.00721.53714.84030.01580.04510.52830.44070.03460.01210.94972.59670.02030.06160.71370.79870.01950.02271.81764.75160.00130.10270.28920.94610.05390.03091.38933.65280.02270.14261.00001.0000α=平均值的5%。德夫·斯特克。库尔特。最小最大比率纵火和P5000。00020.0100-1.034930.9024-0.22890.10960.00080.00920.01430.00340.74982.60150.00930.02240.46320.49400.02120.00581.03083.23460.01430.03560.66990.71440.01960.02271.81764.75160.00130.10270.47090.86810.03430.01541.11292.79920.01880.06741.00001.000关于估计值的离散度，1%分位数的值增加，如蒙特卡罗模拟结果所示。范围（最大值和最小值之间的差异）保持这种模式。峰度值在1%分位数处也会增加，但ES除外，ES的增加更平滑。观测到的峭度值与中峭度数据的预期值相似，但存在一些偏差。色散、距离和峰度之间的关系是自然的，因为这些概念是相互关联的。关于S&P500对数收益率，度量值的离散度较大，但范围和峰度明显较小，这是很自然的，因为收益率可以在经验数据概率分布内假设任何值，而度量值仅考虑极端分位数。

关于在数据中观察到的偏斜，对数回报率为负值，这是金融数据的一个典型事实，而风险度量值为正值。由于这些指标的价值有调整迹象，标准普尔500指数和风险指标的偏度值都表明，重大损失比重大收益发生得更频繁。关于相关性，S&P500和SDR之间没有明显的线性关联，因为前者考虑了所有可能的变化，而后者只考虑了尾部的变化。与VaR的关联是中等的，在1%分位数时略有减少，而与ES和SD的关联是显著的，因为这两个指标构成了SDR，在1%分位数时略有增加。23使用真实数据获得的结果与使用蒙特卡罗模拟获得的结果非常相似。由于样本的长度和异质性相当大，我们观察到极端损失和波动的平滑效应，这在实际数据的结果中揭示了各种模拟场景的各个方面。因此，SDR的使用说明表明，该措施比ES提供了更大的保护，尤其是在最需要的时候，或在更大的动荡情况下。这一优势的获得是因为SDR考虑了SD离散项，并考虑了风险概念的两个维度。SDR除了具有一致的理论性质外，还对风险度量具有实际影响。5.结论本研究的中心重点是提出SDR风险度量，该度量除考虑极端损失的预期值外，还考虑了极端损失的分散程度。

SDR是ES与本研究中提出的SD概念的组合，可定义为当损失超过VaR时的预期损失，并受到高于该预期的分散度的惩罚。因此，SDR结合了两个基本风险概念，即坏结果的概率（ES）和预期结果的可变性（SD），并考虑了代表极端结果的尾部。因此，SDR有一个坚实的概念，并由于分散惩罚而提供更坚实的保护。我们详细讨论了SDR的定义和理论性质。由于ES是一个已知的度量，我们首先演示SD属性。SD是一种广义偏差度量，它满足翻译不敏感、正同质性、次加性、非负性、下限优势和定律不变性公理。基于这些公理，我们推导并给出了SD的风险包络和对偶表示。基于SD性质，我们得到了SDR的理论结果。SDR被确定为一个一致的风险度量，满足翻译不变性、次可加性、单调性、正同质性、相关性、严格短缺和定律不变性公理。SDR产生的值高于ES，但受到最大损失的限制，并以更极端的分位数增加，这是尾部风险度量所需要的。基于这些理论结果，我们得到了SDR的对偶表示。我们还讨论了SDR的其他问题，如不同分位数的加权ES表示、接受集、函数的凸性和连续性，以及与随机优势序的关系。为了更好地理解这些概念，以及探索SDR金融风险度量的某些实用特征，我们提供了一些插图。

因此，我们展示了有助于可视化SDR与最常见的风险度量VaR和ES以及系数选择作用相关的图。利用蒙特卡罗模拟程序和真实数据，我们探索了不同金融情景和时期的SDR行为。这些结果表明，与VaR和ES相比，SDR在风险度量方面提供了更大的保护，尤其是在风险更大的情况下出现重大动荡时。在这些情况下，根据理论发展和实例，非常有必要进行适当的风险管理。特别提款权被确定为一种风险度量，具有坚实的概念基础、确保其使用的理论特性，以及与最常用的度量相比的高效性，尤其是在最需要的时候。实际上，风险度量的更大用处在于它在实际问题中的应用。最后，我们简要介绍了SDR应用的可能性，为今后的研究提供指导。最明显和最直接的应用是实际的风险度量。特别提款权的使用在这一领域具有潜力，因为这一衡量标准考虑了风险概念的两大支柱，即不确定性和极端负面结果的概率，是一致的，并且满足法律不变性公理，这使衡量标准能够使用实际数据进行计算。24因此，讨论特别提款权理论性质的实际影响、其在识别不同类型风险中的作用，甚至其在机构风险管理中与其他竞争性措施的一致性的研究，都是实际风险计量领域可能应用的例子。另一个应用是在机构或代理人的资本要求中使用风险度量。

该应用程序与承兑集合概念密切相关，承兑集合概念表示机构为达到可接受头寸或避免违约而必须维持的资金量。由于SD代表极端结果发生时头寸预期值周围的分散度，因此可以通过将ES上的分散度视为修正系数来实现更大的保护，从而降低违约概率。SDR度量应用的另一个领域是资源分配，它基于投资组合的构建和分析技术。投资组合优化的一个基本方面是，目标函数必须具有凸性。基于正齐性和次可加性公理，SDR具有这一性质。因此，建议将SDR作为目标函数，或甚至作为其他类型策略的限制，最小化投资组合风险的研究，可以通过指出基于其他风险度量的投资分析替代方案，为文献做出贡献。同样，一个很有前途的应用领域是代理的决策。由于连续性和与凸性相关的定律不变性公理，SDR尊重代理人的风险规避。因此，在决策模型的开发中使用SDR是可能的。特别提款权在金融领域的其他可能应用是在各种问题上替代其他措施。因此，建议开展研究，将SDR应用于资产定价模型的开发、期权或其他衍生品溢价的确定，以及动荡时期的金融压力诊断。感谢匿名推荐人和编辑的评论。

此外，我们还感谢CAPES（巴西研究委员会）和CNPq（巴西研究理事会）的资助，资助号为552132/2011-0。参考文献Acerbi，C.，2002年。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》26，71505-1518。内政部：10.1016/S0378-4266（02）00281-9阿塞尔比，C.，塔什，哥伦比亚特区，2002a。关于预期短缺的一致性。《银行与金融杂志》26,71487-1503。内政部：10.1016/S0378-4266（02）00283-2阿塞尔比，C.，塔什，哥伦比亚特区，2002b。预期短缺：风险价值的自然一致替代品。经济注释31,2379-388。内政部：10.1111/1468-0300.00091艾哈迈迪·贾维德，美国，2012年。熵风险价值：一种新的一致性风险度量。优化理论与应用杂志155，31105-1123。DOI 10.1007/s10957-011-9968-2亚历山大，C.，希迪，E.，2008年。开发基于市场风险模型的压力测试框架。《银行与金融杂志》32,10220-2236。doi:10.1016/j.jbankfin。2007.12.04125亚历山大，G.J.，巴普蒂斯塔，上午，2004年。投资组合选择中VaR和CVaR约束与均值-方差模型的比较。管理科学50,9261-1273。内政部：10.1287/mnsc。1040.0201安杰里迪斯，T.，贝诺斯，A.，南部德吉安纳基斯，2007年。不同时间段和加权方案下的稳健VaR模型。数量财务和会计回顾28,2187-201。内政部：10.1007/s11156-006-0010-y Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.，Heath，D.，1999年。一致的风险度量。数学金融9，3，203-228。内政部：10.1111/1467-9965.00068巴厘岛，T.G.，德米尔塔斯，K.O.，莱维，H.，2009年。下行风险和预期收益之间是否存在跨期关系？《金融与定量分析杂志》44,4883-909。