差额偏差风险：风险度量的替代方案

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英文标题：
《Shortfall Deviation Risk: An alternative to risk measurement》
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作者：
Marcelo Brutti Righi, Paulo Sergio Ceretta
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We present the Shortfall Deviation Risk (SDR), a risk measure that represents the expected loss that occurs with certain probability penalized by the dispersion of results that are worse than such an expectation. SDR combines Expected Shortfall (ES) and Shortfall Deviation (SD), which we also introduce, contemplating two fundamental pillars of the risk concept, the probability of adverse events and the variability of an expectation, and considers extreme results. We demonstrate that SD is a generalized deviation measure, whereas SDR is a coherent risk measure. We achieve the dual representation of SDR, and we discuss issues such as its representation by a weighted ES, acceptance sets, convexity, continuity and the relationship with stochastic dominance. Illustrations with real and simulated data allow us to conclude that SDR offers greater protection in risk measurement compared with VaR and ES, especially in times of significant turbulence in riskier scenarios.
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中文摘要：
我们提出了差额偏差风险（SDR），这是一种风险度量，代表以一定概率发生的预期损失，该损失因结果的分散而受到惩罚，而结果比预期的差。SDR结合了预期短缺（ES）和短缺偏差（SD），我们也介绍了这一点，考虑了风险概念的两个基本支柱，即不良事件的概率和预期的可变性，并考虑了极端结果。我们证明了SD是一个广义偏差度量，而SDR是一个一致的风险度量。我们实现了SDR的对偶表示，并讨论了它的加权ES表示、接受集、凸性、连续性以及与随机优势的关系等问题。通过真实和模拟数据的说明，我们可以得出结论，与VaR和ES相比，SDR在风险度量方面提供了更大的保护，尤其是在风险更大的情况下出现重大动荡时。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Shortfall_Deviation_Risk:_An_alternative_to_risk_measurement.pdf (1.07 MB)

2022-5-7 07:56:00 上传

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关键词：风险度量 风险度 Presentation Quantitative Mathematical

1短缺偏差风险：一种风险度量的替代方法Marcelo Brutti Righi Paulo Sergio Ceretta摘要我们提出了短缺偏差风险（SDR），这是一种风险度量，代表以一定概率发生的预期损失，该损失因结果的分散而受到惩罚，结果比预期的差。SDR结合了预期短缺（ES）和短缺偏差（SD），我们也介绍了这一点，考虑了风险概念的两个基本支柱——不良事件的概率和预期的可变性——并考虑了极端结果。我们证明了SD是一个广义偏差度量，而SDR是一个一致的风险度量。我们实现了SDR的对偶表示，并讨论了它的加权ES表示、接受集、凸性、连续性以及与随机优势的关系等问题。通过真实和模拟数据的说明，我们可以得出结论，与VaR和ES相比，SDR在风险度量方面提供了更大的保护，尤其是在风险更大的情况下出现重大动荡时。关键词：差额偏差风险、风险管理、风险度量、一致性风险度量、广义偏差度量。1.引入风险是一个重要的金融概念，因为它对其他概念有影响。在金融动荡时期（例如，金融系统中的危机和崩溃），对风险管理的关注增加。适当的风险管理的一个基本方面是度量，尤其是预测风险度量。风险高估可能会导致代理人保留可用于盈利投资的资本，而低估风险可能会导致非常大的短缺，这可能会让代理人感到担忧。

马科维茨（Markowitz，1952）的一项著名研究表明，财务状况的风险已经开始得到更科学的解决。使用变异性度量，如方差、半方差和标准差，已成为代表风险的常见方法。随着金融市场的发展和一体化，以及关键事件的发生，出现了另一种基于更大且可能性最小的损失的衡量方式，即尾部风险。摩根大通（J.P.Morgan）在20世纪90年代初推出的商业产品风险度量采用了一种基于结果分布分位数的风险度量，称为风险价值（VaR）。VaR代表的是一种损失，只有在给定的显著性水平下，才会在一定时期内被超过。自巴塞尔委员会（Basel Committee）批准VaR以来，VaR已成为衡量金融风险的标准工具。巴塞尔委员会是一家为金融机构提供风险管理实践咨询的实体。Duffie and Pan（1997）和Jorion（2007）在研究中检验了VaR。尽管风险度量有着广泛的实际应用，但很少有研究定义了理想风险度量的特征。已有文献讨论、提出和批评风险度量的理论属性。为了填补这一空白，Artzner等人（1999年）开发并引入了一类连贯的风险度量，他们提出了风险度量的公理，以用于实际问题。因此，关于风险度量的理论讨论开始在文献中引起注意，而对仅从实证角度进行的分析的重视程度有所降低。

已经开发了其他风险度量类别，2包括F"ollmer和Schied（2002）以及Frittelli和Gianin（2002）同时提出的凸度量，Acerbi（2002）提出的光谱度量，以及Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量。基于一致性公理和其他风险度量类别，不加区分地使用VaR开始受到相当大的批评，因为它不是凸度量，这意味着多样化头寸的风险可能大于单个风险的总和。此外，VaR完全忽略了利息分位数以外的潜在损失，这可能非常危险。一些研究解决了VaR缺乏一致性的问题，并提出了满足公理的替代方案。因此，超过VaR的损失的预期价值被认为是一种潜在的风险度量。不同的作者用不同的名字提出了类似的概念，以填补已确定的空白。Acerbi和Tasche（2002a）提出了预期短缺（ES），Rockafellar和Uryasev（2002）和Pflug（2000）提出了条件风险值（CVaR），Artzner等人（1999）提出了尾部条件期望（TCE），也称为尾部风险值（TVaR）和最坏条件期望（WCE），Longin（2001）提出了超越风险价值（BVaR），F"ollmer和Schied（2011）将其称为平均风险价值（AVaR）。这些研究表明，与VaR相比，建议的措施具有优势。虽然这些措施的定义非常相似，但ES是金融领域更相关的一致性风险措施。

正如Acerbi和Tasche（2002a）所证明的，当这些定义应用于连续分布的数据时，会产生相同的结果。这些作者表明，ES定义的优势在于它的一致性，无论潜在分布如何，以及它在估计中的有效性，即使在VaR估计可能失败的情况下也是如此。Acerbi和Tasche（2002b）讨论了ES一致性的性质，并比较了度量的几种表示，它们更适合于某些建议。在寻找VaR的适当替代方案时，Tasche（2002）指出ES被认为是最相关的风险度量。尽管ES有其优点，但与VaR相比，这种方法的使用频率较低，因为ES的预测由于其复杂的数学定义而具有挑战性。除了其他措施外，还对VaR和ES进行了研究，对其应用优势得出了不同的结果。尽管VaR在许多情况下都存在缺陷，但ES的实施很困难，或者无法解决风险的整个定义，正如Yamai和Yoshiba（2005）、Dowd和Blake（2006）以及Guégan和Tarrant（2012）所建议的那样。其他研究表明，VaR并没有那么糟糕，使用ES可能会产生糟糕的结果，如Alexander和Baptista（2004年）、Dhaene等人（2008年）、Wylie等人（2010年）、Bamberg和Neuhierl（2010年）以及Daníelsson等人（2013年）所述。由于不存在关于适当措施的共识，因此存在其他风险措施的空间。文献中讨论了一致性度量，如Cherny（2006）提出的加权风险值（WVaR），它是ES和CVaR等度量的加权版本。

F"ollmer和Knispel（2011）提出了基于指数效用函数的熵测度的一致版本。另一个例子是艾哈迈迪·贾维德（Ahmadi Javid，2012）提出的熵风险值（EVaR）度量，它对应于通过VaR和CVaR之间的不等式获得的最严格的上限。Jadhav等人（2013年）提出了修正的预期缺口（MES），它代表了位于VaR和另一个利息分位数负数之间的损失的预期值，并且总是小于ES。Fischer（2003）考虑了单边措施，即在较高时刻结合均值和半偏差，而Chen和Wang（2008）考虑了双边措施，也包括收益的半偏差。Krokhmal（2007）还考虑了高阶矩，以获得一致的风险度量，作为考虑损失分散的优化问题的解决方案。F"olmer和Schied（2002）提出了空头风险（SR），这是凸的递增损失函数的期望值。Belles Sampera等人（2014年）提出了glue风险值（GLUEVaR），这是两个不同分位数的TVaR与两个分位数之一的VaR的组合。Bellini等人（2014）提倡使用期望值，因为它们是满足相干特性的分位数函数的唯一通用表示。鉴于需要采取新的措施，甚至提出了不能保证连贯性或摆脱传统重点的方法。Jarrow（2002）提出了一种基于看跌期权溢价的衡量方法。Bertsimas等人（2004年）提出了预期损失和预期损失之间差异的概念。

Chen和Yang（2011）介绍了加权预期差额（WES），这是一个ES版本，为超过VaR的损失分配不同的非线性权重。Belzunce等人（2012）使用ES和VaR之间的比率，即比例预期差额（PES），以获得不同性质风险的通用度量。为了扩展到多元维度，Cossette et al.（2013）和Counse and Di Bernardino（2013）提出了较低的正态风险值和较高的正态风险值，分别代表一组资产的最大风险值和最小风险值。类似地，Cousin和Di Bernardino（2014）将上下正态VaR概念扩展到TCE案例。Prékopa（2012）将多元VaR定义为多元概率分布的一组分位数。Lee和Prékopa（2013）发展了基于多变量分位数调整的多变量VaR和CVaR的理论和方法。Hamel等人（2013）提出了以集合定义的多元AVaR，而不是以标量甚至向量定义的AVaR。尽管提出了金融市场的其他风险度量方法，但由于其复杂性或与ES的密切关系，这些度量方法并没有取得与VaR或ES相同的成功。损失的预期价值已成为主要关注点。然而，作为风险概念支柱之一的可变性概念在风险度量的定义中被忽略。本研究的中心重点是提出一种风险度量，其中包括极端损失与其在风险度量中的预期值的分散程度。由于在考虑所有可用数据时，具有相同预期回报的两个财务状况可能会表现出不同的可变性，因此，如果只考虑极值，也可能导致差异。

在这项研究中，我们考虑了离散度，它是通过代表大于ES的损失的结果的半偏差来测量的。在本研究中，这种偏差被称为短缺偏差（SD）。利用ES和SD的概念，本研究旨在引入一种新的风险度量，即短缺偏差风险（SDR），它可以定义为预期损失，当其超过VaR时，由代表损失大于该预期的结果的分散进行惩罚。虽然这一特点被欧洲标准和相关措施忽视，但SDR也包含了这一特点。SDR除了将两个基本风险概念（不良结果的概率（ES）和预期结果的可变性（SD））组合为一个单一度量之外，还考虑了尾部，这代表了最需要进行适当风险管理的湍流时刻。因此，从这个意义上讲，特别提款权可以被描述为一个更完整的衡量标准。SDR超过了ES，因为由于分散的惩罚，它产生了更高的值，并且可以作为更坚固的保护屏障。基于这个观点，我们详细讨论了SDR的定义，并证明了它的理论性质。SD是Rockafellar等人（2006）提出的广义偏差度量，而SDR是Artzner等人（1999）提出的一致风险度量。除了具体的实际定义外，SDR还具有坚实的理论特性，确保其使用不违反公理假设。使用模拟和真实数据的说明以更实际的方式展示了所提出的概念。我们对学术文献和金融业做出了贡献，因为我们提出了一种新的风险度量，即SDR。尾部分散的概念并不新鲜，因为方差，以及由此产生的截断分布的标准偏差，是一个成熟的概念。

然而，Wu and Xiao（2002）、Bali et al.（2009）、Righi and Cereta（2013）和4 Righi and Cereta（2015）等研究并未讨论支持其使用的任何理论性质。Valdez（2005）和Furman and Landsman（2006a）讨论了尾部方差的理论性质，但它们不适用于风险度量类别。这些研究考虑了被VaR截断的方差，同样惩罚了高于和低于ES的损失。因为这个想法是为了惩罚ES测量的风险，所以考虑代表损失大于ES的结果的分散是合理的。Wang（1998）提出了一个尾部偏差，代表了扭曲预期和未扭曲预期之间的差异，证明了其性质。Sordo（2009）将这一概念扩展到标准差之外的其他尾部分散形式。我们的研究推进了这一趋势，因为我们以更完整的方式将SD分量特征表示为广义偏差度量。Fischer（2003）和Chen and Wang（2008）考虑将不同幂次的均值和半方差结合起来，形成一致的风险度量。然而，与这些作者提出的措施不同，SDR是为尾部定义的。Krokhmal（2007）将ES概念（作为优化问题的解决方案）扩展到具有高阶矩的情况，以证明它们是一致的风险度量，并且与广义偏差度量有关系。然而，通过本文作者提出的方法获得的测量值并没有明确的财务含义，例如SDR，它可以直观地定义获得的值。

Furman和Landsman（2006a，2006b）提出了一种类似于SDR的度量方法，该方法通过VaR对截断尾部的平均值和标准偏差进行加权，并讨论了一些理论性质。然而，与作者提出的措施不同，特别提款权考虑的损失要高于违约金，这会产生更好的性质，比如损失更高的头寸会带来更高的风险。此外，SDR的加权方案不同，这确保了在更极端的分位数中对偏差的惩罚更大。因此，特别提款权优于这一衡量标准，因为它具有大量的理论性质，并被归类为一种连贯的风险衡量标准。本研究的其余部分结构如下。第2节介绍了符号、定义和初步结果。第3节介绍了主要结果。第4节描述了基于模拟和真实数据的插图。第5节介绍了研究的结论，并倡导将特别提款权应用于金融的不同领域。2.理论背景除非另有说明，内容基于以下符号。考虑一个单周期市场，当前日期为0，未来日期为T。0和T之间不可能有交易。考虑在无原子概率空间中定义的任何资产或投资组合的随机结果X.  因此  X的预期值是否低于.  此外   , 哪里 代表绝对连续性，是一个非空集合，因为  ,  它代表了概率度量  定义于  这是绝对连续的.  密度是多少相对于, 它被称为Radon Nikodym衍生物。所有的平等和不平等几乎都被认为是存在的.