黄金目标：分析杠杆黄金的跟踪性能

这与上文描述的情况完全相同，因为随着时间的推移，潜在风险的波动会导致LETF的价值下降。天UGL GLL UGLD DGLD GLDSlope 1 2.00572-2.00556 2.99160-2.96362 1.005402 2.00828-2.00395 2.92015-3.02429 1.004773 1.97770-1.99661 2.94520-3.06690 0.991944 2.00071-2.00908 2.97854-3.04311 1 1.002062065 2.02081-2.89478-3.07267 1.0103910-4） 1-1.31074-1.05505-1.98605-0.16913-0.164282-2.73282-2.28807-4.23120-1.81545-0.333883-4.06417-3.96629-4.97993-1.05631-0.408434-5.44427-4.62166-8.08478-2.69971-0.661335-6.81614-4.82805-8.03417-0.92359-3） 1-0.12892-0.10760-0.19673-0.02414-0.014392-0.26677-0.23191-0.43999-0.19081-0.029643-0.43253-0.39265-0.53511-0.08462-0.050284-0.54331-0.47645-0.81687-0.27854-0.062905-0.64076-0.54705-0.79183-0.07165-0.071956表：金箔与金箔的斜率和回归曲线的总结，以及不同持有期的平均回报差异（RD）。3.2静态杠杆复制在本节中，我们执行与第2.2节相同的优化。我们再次寻求将SSE最小化的无定向期货投资组合。设k为期货合约数，w:=（w，…，wk）为投资组合权重的实值向量。如前所述，Wre给出了货币市场账户的权重。我们寻求使SSE在2008年12月2日至2013年12月22日五年内最小化的权重。因此，我们得到了相同的约束最小二乘优化问题：minw∈Rk+1kCw- Lks。t、 kXj=0wj=1（7）同样，材料ix C列有各种未来合同的历史价格和货币市场账目。这里，向量L包含（4）中杠杆基准的历史价格。

在不失去普遍性的情况下，我们将价格标准化1000美元，这样我们的解决方案将为每个仪器提供一组权重。我们将把最优投资组合的跟踪误差与ETF投资的跟踪误差进行比较。为了能够分析我们通过解决优化问题得到的投资组合，我们将在2013年12月23日至2014年7月14日期间进行抽样分析，并查看1000美元投资于LETF和100美元投资于我们的最佳投资组合的表现。为了量化表现，我们使用相同的均方根误差RM SE=vuutnnXj=1（Vj）- Lj），（8）其中，Vjis是交易日j上投资组合的美元价值，而Ljis是交易日j上杠杆基准的美元价值。现在，我们给出了优化结果和样本内/样本外RMSE。（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（1）一般（2）一般（1）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（1）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（2）一般（1）一般（2）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）一般（1）和（1）1）1）或（1）1）或（1）或（1）一般（1）一般（1）1）1）一般（1）1）1）-6.927 91 9.95013 108.29897 67.157762-m，6-m-1.6453 6-34.26195 36.90731 126.62074 22.649522-m，12-m-1.99096-18.9915 1 21.98248 111.75 046 40.928526-m，12-m-2.24344-35.6691 7 38.91260 102.86 283 62.53830表7：试图复制β=2杠杆基准的1和2期货合约组合的权重和样本内/外RMSE汇总。

相比之下，+2x LETF UGL的样本外RMSE仅为5。52485.GLL(-2）期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，期货，2.790 0.7973.790 73.797 7.797 7.797 7.797.797.797 7 7 7 7.797（7）7.797.797.797.797.797.797.797.797.7）7 7 7 7 7 7.7.7.7 7 7）7 7 7 7 7.7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.7.7（7.7（7.7.7.7）7.7.7.7.7（7.7）7）7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6.76767133.3170593.112062-m，6-m 1.93900-39.0863 5 38.14735 142.57324 43.4071 32-m，12-m 1.57681-23.56157 22.98477 12 7.90630 62.104156-m，12-m 1.27887-43.36906-43.0 9020 117.81839 88.35987表8：试图复制β=-2.相比之下-2倍LETF，GLL的样本外RMSE仅为4。6.6.4.4.4.4.4.4.3.4.3.4.5959597.5959597 4.5959587 7.59597 7.5959597 7.5959597 7.59597 7 7.59597 7 7.5959587 4.59597 7.59587 7.59587 7 59587 7 7.5959587 7 597 7 7 7-518.896 123.8383836 123.83838383836 123.83836（6）41414141414141414141414141414141414141416.836.83836.836.836.8383836（6.83836.83836.83836（6）414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141嗯，12-m-5.41970-31.91 076 38.33046 366.49764 210.912452-m，6-m-3.7807-141.31534 146.09611 47 2.32904 48.041262-m，12-m-5.12561-79.66 101 85.78662 413.19682 98.337286-m，12-m-6.14011-147.044 08 154.18419 376.40 048 185.87170表9：试图复制β=A的基准合约的杠杆投资组合和基准合约的权重和样本内外SE摘要。

相比之下，+3x LETF，UGLD的样本RMSE仅为6。08133.DGLD(-2.1）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（1）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（2）一般的（1）一般的（1）一般的）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的（1）一般的）一般的（1）一般的（1）一般的）一般的（1）一般的（1）或（1）一般的）在（1）在7.79773 8.08992 204.41288 155.825422-m，6-m 2.10262-46.99103 45.88841 212.78493 95.248352-m，12-m 1.63980-29.7 2604 29.08624 195.74796 117.354196-m，12-m 1.24461-55.8 3130 55.58669 183.42198 150.58261表10：试图复制杠杆基准β=-3.相比之下- 3倍LETF，DGLD的样本外RMSE仅为4。43718.与用期货跟踪金价（见表4）的情况相比，静态投资组合并没有很好地复制杠杆基准。在表7至表10中，所有投资组合的theRMSE值都相当大。任何试图复制杠杆基准的portfolioof期货的最低RMSE为22.64952（通过尝试复制+2倍黄金投资的portfolioof 2个月和6个月期货实现），相比之下，任何试图复制其各自杠杆投资的LETF的最高RMSE为6.08133。（这是由UGLD实现的，该公司跟踪g old的+3倍投资。）与无杠杆投资不同，货币市场账户广泛用于各种投资组合。这很有趣，但也很有趣。事实上，为了创造杠杆，如果β>0，投资组合要么借款，要么在β<0时投资货币市场账户。此外，最优权重往往会导致过度/欠杠杆化。

由于我们正在考虑黄金投资，期货（黄金投资代理）的权重之和可以解释为投资组合的杠杆。由于所有权重之和为1，我们可以将近似杠杆计算为1- w、 对于+2x和+3x投资，这些值分别大于2和3。对于-2x和-3.在投资中，这些价值都比-2和-分别为3。诚然，这些工具与spot不同，但我们在第2.1节中提到了它们将与s罐一起移动。因此，我们看到，长期投资组合往往杠杆过高，而短期投资组合往往杠杆不足。优化过程导致了一些相当不均匀的投资组合权重。例如，6个月期和12个月期的最佳投资组合试图复制+3的现货金投资，需要在开始时进行以下交易：从期货账户借入6140.11美元，6个月期的空头147044.08美元，12个月期的多头154184.19美元。实际上，由于可能存在的位置限制，这在市场上是不可能的。3.3动态杠杆复制为了改进第3.2节中的复制，我们现在考虑一个onefutures合约的动态投资组合。Le t t t是我们在时间t时的投资组合价值。在每个时间点，por t投资组合在期货合同中投资β乘以基金价值，以实现所需的杠杆。为了为这项投资提供资金，投资组合必须从mo ne y市场账户借款。因此，我们的por tfolio的值具有以下动力学：dPt=βPtdFtFt- Pt（β）- 1） rtdt。（9） 在这里，FTI指的是时间t的黄金期货合约的价值，该合约具有选定的到期日，例如：。

1个月，RTI是时间t的无风险利率。备注1：对于我们的实证分析，我们不需要为未来指定参数模型。然而，如果用随机微分方程DFTFT=utdt+σtdWt对期货价格进行建模，并带有一些随机漂移（ut）t≥0和波动率（σt）t≥0，（许多著名的模型，包括Heston模型和指数Ornstein-Uhlenbeck模型，都在上述框架内）然后投资组合的对数价格由log Pt=log P+βlogFtF+β给出- β∑t+（1）- β） Rt，（10）式中，∑t=Rtσsds是累计到时间t的F的实现方差，Rt=Rtrsds。因此，在这种一般的差异模型下，投资组合的对数收益率与期货的对数收益率成正比，且与方差成正比-β. 如果β/∈ （0，1），这对于这里考虑的每个LETF都是正确的。为了实现（9）中的杠杆投资组合，我们选择了前一个月的期货合约。回顾第2.2节，前一个月的期货在复制现货金价方面最有效。为了计算每个交易日的投资组合价值，我们使用t等于1个交易日，并将Pequal设置为1000美元，如e之前所述。为了量化我们的投资组合的复制能力，我们将使用我们在第3.2节中使用的相同均方根误差：RM SE=vUtnnxj=1（Pj- Lj），（11）其中，Ljis是黄金杠杆投资的价值，Pjis是我们的投资组合的价值，每个交易日j。对于这种动态投资组合，我们不需要从中提取权重或以任何方式修正我们的模型。因此，我们可以查看任何可能的时间段，并使用（11）中的主题比较LETF（L）或杠杆投资组合（P）的表现。对于该跟踪指标，我们考虑2012年1月3日（2012年第一个交易日）至2014年7月14日。

结果如表11所示。投资组合RMSE介于0.687%和3.291%之间，小于LETF RMSE介于1.87%和4.338%之间。总体而言，我们发现投资组合RMSE低于LETF RMSE。事实上，我们发现我们的动态投资组合能够根据β的RMSE值很好地调整目标杠杆指数∈ {2 , -2, 3}. 然而，对于β=-3.尽管如此，该值非常小，与LETF RMSE相差不远。在图6中，我们看到了dyna-mic投资组合和GLL相对于- 2倍基准。可见，LETF的表现往往低于基准，且差异随着时间的推移而恶化。另一方面，在整个时期内，投资组合往往与基准保持接近。虽然这里没有报道，但我们观察到其他黄金LETF的类似模式。在表11中，我们还估算了201年、2012年和2013年每项资产的年度回报。对于UGLD和DGLD，我们没有2011年全年的数据（发行日期为2011年10月17日），因此我们没有2011年这些LETF的年度回报。dynamicportfolio的回报率介于-69.22%和107.54%之间，而LETF的回报率介于-69.90%和106.16%之间。比较每一年和杠杆比率对，我们发现，除了β=-3 2012年，我们的投资组合每年的表现都优于LETF。

因此，我们已经证明，一般来说，一个只包含一个期货合约的动态投资组合不仅可以更紧密地跟踪目标杠杆指数，而且它的表现也优于相应的LETF。年度回报率（%）β资产RM SE 2011 2012 2013+2x UGL 30.33 12.90 2.81-52.31组合6.87 15.23 6.29-51.83-2x GLL 40.12-29.43-16.4067.82组合15.87-27.06-14.8970.57+3x UGLD 43.38-0.41-69.90组合12.55-5.29-69.22-3x DGLD 18.70--2 3.57 106.16投资组合32.91--24.51 107.54表11：年度回报汇总（期间：2011年1月3日、2012年1月3日至2012年12月3日和2013年1月2日至12月31日）和每个交易基金的RMSE，以及前一个月期货和cas h的动态投资组合。RMSE值是在2012年1月3日至2014年7月14日期间计算的DaysPrice PortfolioBenchmark（a）期货Portfolio0 100 200 300 400 500 6007008009001000110012001300010010010011600Trading DaysPrice GLLBenchmark（b）GLLFigure 6：我们的前一个月期货和现金动态投资组合（顶部）与-2倍基准测试和GLL（底部）与-2倍基准。本文研究了黄金现货、期货、ETF和杠杆ETF之间的价格关系。现货、期货和ETF（GLD）之间存在显著的价格联动。我们发现，由1个或2个不同期限的期货组成的静态投资组合可以有效地复制现货黄金价格。至于杠杆式黄金ETF，它们的平均回报率将低于相应的倍数（β=3,2,3,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4，-2.-3） 而在更长的持有期内，表现不佳的情况会恶化。

为了跟踪杠杆基准，我们使用1个月期货构建了一个动态杠杆投资组合。我们证明，该投资组合比相应的LeTF更好地跟踪杠杆基准，并且在多年内具有更好的回报。随着ETF市场的数量和各种资产类别的复杂性不断增长，投资者和监管机构都必须了解杠杆化和杠杆化ETF及其基础资产和相关衍生品的价格依赖性。我们探索了黄金期货合约，将其作为黄金（L）ETF的复制工具。因此，继续研究黄金期货市场及其对LETF动态的影响非常重要。至于其他未来的研究，黄金（L）ETF也有期权。这要求在杠杆比率范围内对LETF期权进行一致定价（见Leung和Sircar（2014））。此外，还可以分析（L）ETF融资人对用于复制（L）ETF的特定衍生品市场的市场影响（例如，见Dobi和Avellaneda（2012））。正如我们之前所指出的，（1）ETF的市值很大，因此，对ISSuer’sportfolio的调整可能会导致用于对冲（1）ETF的衍生品市场的大幅波动。需要深入研究与（L）ETF、期货和其他衍生品相关的风险，以帮助建议和激励美联储发布的政策（有关VIX期货风险的研究，参见Chang等人（2011年））。最后，能够阐明LETF风险的研究（参见Leung和Santoli（2012））及其对更广泛金融市场的影响将非常有用。在最近的研究中，Skum和Kang（2013）研究了金融危机期间LETF的表现。我们已经看到，黄金上的LETF未能跟踪预期的杠杆目标。

可能导致跟踪错误的原因有很多，包括但不限于对冲工具的流动性不足和风险、管理费和融资成本（参见Charupat和Miu（2014））。阐明这些影响的重要性的研究对投资者和监管机构都很有用。参考亚历山大，C.和巴博萨，A.（2008）。对冲指数变动交易基金。《银行和金融杂志》，32:326-337。Avellaneda，M.和Zhang，S.（2010）。杠杆化ETF回报的路径依赖性。《金融数学学报》，1:586-603。鲍尔·D·G.（2012）。黄金市场的不对称波动。另类投资杂志，14（4）：26-38。鲍尔·D·G.（2013）。黄金交易所买卖基金——免费午餐？工作文件。鲍尔·D·G.和托马斯·K.（2010）。黄金是避风港吗？国际证据。《银行与金融杂志》，34（8）：1886-2898。Chang，C.，Jim\'enez Mart\'in，J.，McAleer，M.，和P\'erez Amaral，T.（2011）。巴塞尔会计准则下的风险管理：VIX期货的风险预测值。《管理金融》，37（11）：1088-1106。查鲁帕特，N.和缪，P.（2014年）。衡量杠杆式交易所交易基金业绩的新方法。《金融评论》，49（4）：735-763。Cheng，M.和Madhavan，A.（2009）。杠杆式和反向交易所交易基金的动态。投资管理杂志，4。Dobi，D.和Avellaneda，M.（2012）。杠杆式ETF的结构性下滑。工作文件。邓尼斯，C.，劳，J.，米德尔顿，P.，和K阿拉塔那索普洛斯，A.（2013）。金矿石价差的非线性预测：相关滤波器的应用。《会计、财务和管理智能系统》，20（4）：207–231。戈什，D.，莱文，E.J.，麦克米伦，P.，a和赖特，R.E.（2004）。黄金作为通胀对冲？经济学和金融学研究，22（1）：1-25。盖杰，I.，李，G.，和麦肯，C.（2011）。