黄金目标：分析杠杆黄金的跟踪性能

我们可以看到两个期货价格平行移动，现货价格与前一个月的期货价格非常接近。根据CME集团黄金期货结算程序文件，可用athttp://www.cmegroup.com/trading/metals/期货/每日结算程序黄金期货。pdf0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 22 248208408608809090960980个月价格（$）JanFebMarAprMayJun（a）20090年1月2 4 6 8 10 12 16 18 20 22 241350014001450150015501600165017001750个月（$）JanFebMarAprMayJun（b）2013年1月图2：2009年1月至6月的期限结构（左）和2013年1月至6月（右）。接下来，我们比较在5、10和15个交易日内计算的收益率的线性关系。由于我们使用不相交的时间窗口进行回报计算，因此较长的等待期意味着用于回报的数据点较少。在图3中，我们以相同的x-y轴标度绘制了12个月期期货收益率与1日期和10日期黄金收益率的关系图。我们可以看到，10天的回报率变化范围很大。现货金的1天回报率介于-9.07%（2014年4月15日）和4.99%（2009年1月23日）之间，而10天回报率介于-9.12%（2013年6月6日至2013年6月19日）和11.30%（2011年8月5日至2011年8月18日）之间。另一方面，12个月期的1天回报率介于-9.40%（2014年4月15日）和7.68%（2009年3月19日）之间，而10天回报率介于-9.16%（2013年6月6日至2013年6月19日）和11.30%（2011年8月5日至2011年8月18日）之间。

此外，我们可以看到，10天收益率的斜率略高于1天收益率。-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.1-0.0500.050.10.15黄金返还12-m期货收益（a）1天收益-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.1-0.0500.050.10.15黄金返还12-m期货收益率（b）10天收益率图3：基于1天收益率（左）和10天收益率（右）的12个月期货收益率与现货黄金收益率的线性回归。看见http://mobile.nytimes.com/blogs/dealbook/2013/04/15/golds-plunge-shakes-cona-h aven中的信任/表3中的各种期货合同的数字和一般情况已得到证实。这里，我们给出了每次期货收益与黄金收益的回归曲线，同时改变持有期。我们显示了表2中的斜率和右值，以供比较。然而，我们没有给出这些回归的截距，因为它们都非常平凡，有效地为0。我们可以看到，随着保持期的延长，斜率接近值1。因此，持有期越长，黄金收益率和期货价格收益率之间的关系就越密切。特别是，10天回报率的斜率都大于1，这表明价格敏感性增加。

此外，如表3中增加的右值所示，这种线性关系的强度增加。1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月2月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月1月2月1月1月2月2月2月2月1月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月2月1月2月2月2月1月2月2月2月1月2月2月2月1月2月2月1月2月2月1月2月2月2月1月2月2月2月2月2月1月2月1月1月2月2黄金在不同持有期的回报。2.2黄金现货价格的静态复制在本节中，我们考虑在未来合同的静态组合中复制黄金现货价格。我们使用1或2个期货合约的投资组合，以及对货币市场账户的投资。我们寻求一个使误差平方和最小化的静态投资组合：SSE=nXj=1（Vj- Gj），（1）式中，vji是交易日j上投资组合的美元价值，而Gj是交易日j上黄金现货价格的美元价值。设k为期货合约的数量，w:=（w，…，wk）是投资组合权重的实际价值向量。特别是，Wre给出了货币市场账户的权重。为了计算最佳投资组合价值，我们将选择权重，该权重将在5年期（2008年12月22日至2013年12月22日）内使SSE最小化。

因此，我们解决了以下约束最小二乘优化问题：minw∈Rk+1kCw- dks。t、 kXj=0wj=1（2）矩阵C以列的形式包含各种期货合约和货币市场账户的历史价格，向量d包含现货黄金的历史价格。这些价格标准化为1000美元，不失一般性，因此投资者开始使用历史隔夜伦敦银行同业拆借利率来构建货币市场账户的投资。有了100美元，0将向第j期货合同投资1000美元，向货币市场账户投资1000美元。我们将把我们的投资组合与跟踪黄金现货价格的ETF GLD投资进行比较。为此，我们将进行抽样分析，并比较2013年12月23日至2014年7月14日期间GLD投资1000美元和我们建设的por tfolio投资1000美元的价值。为了衡量性能，我们将使用以下样本内和样本外价格的均方根误差：RM SE=vuutnnXj=1（Vj- Gj）。（3） 我们解决了10个不同的有1个或2个期货的por tfolios，以及货币市场账户的优化问题。表4给出了最佳权重以及相应的样本内/样本外RMSEs a。一般来说，货币市场账户的使用最少，因为对于所有10个por TFOLIO，账户上的权重绝对值小于7%。对于所有有两个期货合约的组合，最优策略是做多短期期货合约和做空长期期货合约，权重不同。两个结果权重之和约为1。就RMSE而言，1个月的期货合约似乎是黄金现货的最佳复制工具。单独使用时，相对于其他单一期货投资组合，它的表现最好。

与任何一对（6-m和12-m）期货相比，它的表现更好。6.6.3.3.3.7.3.3.3.3.3.3.3.3.7.7.7.7.7.3.7.7.7.7.7.0.0.0-0.0-0.0-0.0.7.7.7.7.1）1.7（2.7）7.7（7）7.3.7.7（7）0.0（0.0-0-0-0.0-0.0-0-0.0-0.0 0.0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 6.2873 5 3.000062-m，6-m-0.04079 5.06602-4.0252310.274139.372922-m，12-m-0.011792.94860-1.936819.65705 7.084146-m，12-m 0.014814.80979-3.824609.57938 4.52846表4：1和2个期货合约组合的权重和进出样本RMSE汇总。对于有两个期货的投资组合，短期期货的权重为w。对于有一个期货的投资组合，我们有w=0。分配给货币市场账户的权重用w表示。在样本中，期货投资组合的RMSE值在6.63到15.11之间。由于这些值基于1000美元的投资，这意味着样本中的误差在0.663%到1.511%之间，这是非常低的。相比之下，我们的计算结果显示，在2008年12月22日至2013年12月22日期间，黄金ETF（GLD）的aRMSE为2.091%。在长达5年的时间里，我们的投资组合比GLD更好地跟踪基准。然而，在最近较短的样本期（2013年12月23日至2014年7月14日）内，GLD似乎对现货金的追踪略好。在此期间，GLD的RMSE值为0.128%，而我们的最佳投资组合的RMSE值为0.279%。

在图4中，我们展示了最佳静态投资组合的时间序列和前一个月的期货（顶部），以及GLD的时间序列。可以看出，在这个样本期外，黄金现货价格大幅下跌。0 20 40 60 80 100 120 140980101020104010601080111001120111601160交易日Sprice PortfolioSpot（a）具有100万个未来的投资组合0 20 40 60 80 100 120 140980101020104010601080111000114011600交易日Sprice GLDSpot（b）GLDFigure 4：与现货价格相比，我们的前一个月期货和货币市场a c计数的最佳投资组合的Out-o f样本时间序列，和GLD相比，现货价格（底部）。交易日为2013年12月23日至2014年7月14日。3杠杆式ETF在本节中，我们分析各种杠杆式ETF的回报和跟踪表现。根据每笔LETF的历史价格，我们对杠杆率进行估计，并调查与目标杠杆率的潜在偏差。此外，我们还构建了一些带有期货合约的静态投资组合，以看到一些杠杆基准的k复制。然而，静态投资组合无法有效跟踪杠杆基准。这促使我们考虑一个带有期货的动态投资组合，结果证明它具有更好的跟踪性能。通过设计，LETF寻求提供一个稳定的指数或资产每日收益倍数。让我们注意到β∈ {-3.-2、+2、+3}LETF规定的杠杆比率，以及标的（黄金现货）的每日回报。同样地，第n天的LETF值（用Ln表示）由n=L·nYj=1（1+βRj）给出。（4） 我们将其称为杠杆基准，并考察了各种基金相对于该基准的经验绩效。对于许多投资者来说，LETF的一个吸引力在于，当基础资产朝着预期的方向发展时，杠杆可以放大回报。

从数学上讲，我们可以如下所示。重新推导（4）并取对数律的导数，我们得到了dβ日志LnL=nXj=1Rj1+βRj。（5） 正杠杆率β>0时，如果所有j的Rj>0，则记录LnL, 或者相当于Ln的值，在β中增加。换句话说，当基础资产价值增加时，更大的正杠杆率是首选。另一方面，如果所有j的Rj<0，且β<0，则更负的β增加对数LnL就这样。这意味着，当基础资产价值下降时，更负的杠杆率会产生更高的回报。下面的例子说明了在无方向性波动的环境中保持恒定杠杆的缺点：当日ETF%-变动+2x LETF%-变动-2x让F%-change0 100 100 100 1 98-2%96-4%104 4%2 99.96 2%99.84 4%99.8 4%3 97.96-2%95.85-4%103.83 4%4 99.92 2%99.68 4%99.6 8-4%5 97.92-2%95.69-4%103.67 4%6 99.88 2%99.52%99.5 2-4%即使ETF在6天后录得0.12%的微小损失，+2x LETF最终以0.48%的损失（绝对值）结束，其回报率是2倍(-ETF的0.12%。除第一天外，我们可以在任何一天（例如，不只是终止日期）使用这种情况。例如，在第3天，ETF的净损失为2.04%，而LETF的净损失为4.15%，其（绝对值）大于4.08%（是ETF回报绝对值的两倍）。此外，从直觉上看-当ETF和LETF有负回报时，2x L ETF应该有正回报，这是不正确的。截至交割日，长期和短期LETF均录得0.48%的净亏损。同样，这也发生在整个时期，而不仅仅是结束日期。除了第6天，多头和短头LETF以及ETF本身都是黑色的。

这些结果是波动性衰减的结果。尽管根据设计，长期和短期LETF预计每天都会朝相反的方向发展，但当它们在较长的时间内都有可能产生负的累积回报。图5显示了黄金LETFsUGL（+2x）和GLL的历史累积回报(-2x）从2013年7月到2014年7月。从第124个交易日（2014年1月24日）起，GLL的累积回报率为负值。在交易日之后的一些点上，UGL也有负的累积回报。事实上，它从这个日期开始是黑色的，并且在交易日146（2014年2月12日）之前一直有净亏损。有几次这种情况再次出现，另一个双方都有净亏损的长时段是交易日210（2014年5月15日）到233（2014年6月18日）。这一观察结果，虽然乍一看可能与直觉相反，但却是杠杆回报每日复制的结果。价值侵蚀倾向于加速非定向运动的周期。0 50 100 150 200 250-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25交易日交易基金累计收益率UGLGLLZero图5:UGL（+2x）和GLL(-2x）2013年7月至2014年7月的累计回报率。观察到UGL和GLL都可以在几个时间段内同时给出负回报（低于0%的点线）。3.1实证杠杆估计我们进行了回归分析，结果如表5所示。每个s斜率大约等于LETF的目标杠杆率。如果每个ETF的日收益率都是相等的，那么每个ETF的日收益率应该是相等的。在该表中，我们为检验假设提供了额外的两列t统计量和p值：{H:slope=β}和{H:slope 6=β}。这里，β是目标杠杆率。

我们可以看到，每个p值都大于0.05，因此预测表明，从统计上看，每个（L）ETF都不会偏离其目标杠杆率。这向我们表明，ETF的表现完全符合预期，至少在日常基础上是如此。（五十） ETF斜率截距t-stat p-value RRM SEGLD 1.00540-1.6427 6 · 10-51.42692 0.15382 0.98060.0016 3 UGL 2.00572-1.31073 · 10-40.73319 0.46357 0.97930 0.00337GLL-2.00556-1.05504 · 10-40.67089 0.50240 0.97673 0.00358UGLD 2.9 9358-1. 98605 · 10-40.45211 0.65133 0.98484 0.00421DGLD-2.975 28-1.69127 · 10-50.97442 0.33019 0.95256 0.00752表5：对（L）ETF与现货金的一天周转率进行回归的回归系数和优度度量的总结。我们还包括两列额外的t-统计量和p-值，用于检验斜率等于每种情况下杠杆率的假设。我们还看到，每次回归的Rv值都相当高，都在95%以上。接下来，我们比较固定β的长和短LE T Fs∈ {2, 3}. 短LETF倾向于具有较高的RMSE和较低的Rvalue。最后，我们通常看到，随着杠杆率绝对值的增加，RMSE会更高。一种可能的解释是基准是杠杆化的，这可能会放大跟踪误差。正如第2.1节所述，我们分析了改变持有期的影响。在表6中，我们给出了各（1）ETF收益率与现货收益率回归的斜率和截距，同时在1到5天之间改变持有期。我们的计算表明，右值均在95%以上。我们可以看到，斜率都近似等于（L）ETF的目标杠杆率。然而，我们注意到，总的来说，随着等待时间的延长，截获量会变得更负。尽管它们仍然很小，但随着持有期的增加，它们变得越来越重要。

我们的计算表明，用于检验假设的P值：{H:interc e pt=0}与{H:interc e pt 6=0}通常在每个（L）ETF中都会下降。事实上，对于p值为1的3天、4天和5天的周期，截距在统计上与0（在5%的水平）不同。分别为37%、0.57%和0.33%。这与上面讨论的波动性衰减是一致的。我们看到了一个例子，在较短的时间内，LETF很好地跟踪其杠杆率，但在较长的时间内，当波动性较大时，它往往会亏损。从以下意义上讲，与0不同的概念与波动性衰减有关。在更长的时间内，回归表明，我们需要更多的信息，而不仅仅是黄金回报率来预测LETF回报率。为了比较LETF的表现与即期回报的目标倍数，我们还在表6中报告了平均回报差异，定义为byRD=mmXj=1R（L）j- β·R（G）j, （6） 其中m是周期数，R（L）jis是持有期内的LETF收益，R（G）jis是持有期内的现货收益。我们发现这一点随着持有期的延长而增加（非绝对值）。也就是说，随着我们持有LETF的时间越来越长，就基本回报的倍数而言，它的平均表现越来越差。