关于投资基金收益率的鞅公平指数

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英文标题：
《On the martingale-fair index of return for investment funds》
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作者：
Leslaw Gajek and Marek Kaluszka
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A concept of martingale-fair index of return, consistent with Arbitrage Free Pricing Theory, is introduced. An explicit formula for the average rate of return of a group of investment/pension funds in a discrete time stochastic model is derived and several properties of this index are shown. In particular, it is proven to be martingale-fair, i.e. be a martingale provided the prices of assets on the financial market form a vector martingale. The problem of merger of the funds is treated in detail.
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中文摘要：
引入了与无套利定价理论相一致的鞅公平收益指数的概念。本文导出了离散时间随机模型中一组投资/养老基金平均收益率的显式公式，并给出了该指数的若干性质。特别是，它被证明是鞅公平的，即如果金融市场上的资产价格形成向量鞅，它就是鞅。基金合并的问题得到了详细的处理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_the_martingale-fair_index_of_return_for_investment_funds.pdf (143.54 KB)

2022-5-7 08:28:33 上传

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关键词：投资基金 收益率 Differential Quantitative Optimization

关于投资基金收益的鞅公平指数，LAW GAJEK和MAREK KA LUSZKAAbstract。引入了与无套利定价理论相一致的鞅公平收益指数的概念。推导了离散时间随机模型下一组投资/养老基金平均收益率的显式公式，并给出了该指数的若干性质。特别是，它被证明是鞅公平的，即bea鞅提供了金融市场上资产的价格形式向量鞅。基金合并的问题得到了详细的处理。1.引言统计指标在经济理论和实践中都起着非常重要的作用，因为它们只是简单地将来自经济的信息汇总到每个决策者的手中。选择指数公式有两种现代方法。公理化方法——可以追溯到费舍尔（1922年）——侧重于指数的预期性能，以响应特定类型的变化。另一种方法，包括生活成本指数理论，关注指数反映经济主体替代行为的能力。本文涉及两种选择指数公式的方法，该公式将准确反映投资养老金的投资结果日期：2004年3月12日。1991年数学学科分类。关键词和短语。平均回报率，投资/养老基金，离散时间随机模型。由KBN支持。批准号1H02B 018 14.2 L.GAJEK和M.KA LUSZKAfunds。我们研究了一个指数公式，该公式解释了基金组实现的回报率，并满足了几个公理，其中最重要的是martigale属性。这一公理基于S.Ross提出的无障碍定价理论（见[22]）。

根据他的资产定价基本定理，当且仅当存在风险中性概率测度时，证券市场是无套利的（见Panjeret al（1998）p.211）。但是，与自我融资策略相对应的投资组合的贴现价值是风险中性概率测度下的马尔蒂格尔（参见Panjer等人（1998）的5.3.8号提案）。这表明了鞅在证券市场建模中的核心作用，以及鞅本身概念的重要性。资产定价基本定理的一个重要结论是，如果整个市场价值都是鞅，任何适当反映投资基金组投资效率的指数都应该表现为鞅。在整篇文章中，我们称这个性质为鞅公平公理（简称公平公理），并简短地说，指数是公平的。为了阐明这一公理的名称，回想一下，如果期望报酬为零，那么有两名玩家的随机游戏称为公平。鞅公平是指一个多周期博弈在每个周期后都有一个条件期望为零的报酬，且服从上一周期的给定结果。因此，它在测试金融市场指数的随机动态时可能特别有用。衡量投资结果的问题也具有重大的现实意义。在一些国家，这类统计指数被用作私营养老基金的基准。使用“幼稚”指数可能会高估市场投资业绩，从而增加该资产管理公司对基金资产额外贡献的风险，该公司运营的基金业绩低于基准（参见[16]）。因此，基准应该是公平的，因为它恰当地反映了市场表现。

鞅公平公理，在本文所阐述的鞅3上，形式化了这种直觉。在[2]中还可以找到其他一些关于为养老基金应用精心选择的投资基准的论点。更具体地说，让我们考虑一组n个投资基金。Letki（t）和wi（t）分别表示第i个投资基金成员拥有的所有会计单位的数量和第i个基金单位的价值。本文考虑的问题是如何在离散时间随机模型中定义平均回报率，以满足公平公理以及其他一些要求。第二节我们建立了一个简单的离散时间随机模型。这使我们能够对平均回报率进行适当的定义。我们的定义如下：rA（s，t）=t-1Yu=s1+Pni=1ri（u，u+1）ki（u）wi（u）Pni=1ki（u）wi（u）- 1.（1.1）该模型也是Gajek和Ka luszka（2004）提出的一个更复杂的连续时间基金动态随机模型的起点。本文对构造索引数的问题有了新的认识。欧文·费舍尔（Irving Fisher）的《指数编制》（The Makingof Index Numbers，1922）举例说明了公理化方法，当价格或数量发生特定类型的变化时，该方法根据指数的表现来评估指数。Eichorn和Voeller（1976）讨论了指数数论的“测试”方法。Bulk（1995年）对公理价格指数理论进行了调查（Afriat（1977年）对价格指数进行了全面描述）。Fisher和Shell（1972年、1992年）调查了统计和经济指数以及生产率测量方面的发展；参见alsoEichorn el al.（1978）、Diewert（1976、1978）、Balk和Diewert（2001）和Dumagan（2002）。

Ogwang（1995）提出了构造价格指数数字的随机方法（另见其中引用的论文）。与上述作者相比，我们引入了鞅公平-一种新的公理来测试收益率指数对资产价格鞅类型变化的期望性能。关于市场动态的公理concerns4 L.GAJEK和M.KA LUSZKAstochastic方法在数学上与无套利定价理论一致，并具有适当的经济含义。2.离散时间模型中的平均收益率在本节中，我们假设ki（t）和wi（t）在t=0,1,2。问题是如何正确定义给定时间段[s，t]内n个投资基金组的平均回报率。让我们用“rA（s，t）”来表示它。很明显，rA（s，t）应该在(-1.∞).2.1. 模型。我们将使用以下状态变量：cj（t）=时间t时金融市场资产j的价格，j=1，N、 uij（t）=第i个基金在t时拥有的资产j的单位数，i=1，n、 j=1，N、 wi（t）=第i基金在t时的参与单位价值，ki（t）=第i基金在t时的单位数量，di（t）=第i基金负债的出资额减去第i基金在t时的负债提取额，d（t）=Pni=1di（t），Ai（t）=第i基金的资产价值，A（t）=Pni=1Ai（t），A*i（t）=Ai（t）/A（t）——第i个基金当时资产的相对价值，f（x）=f（x+1）- f（x+）。我们假设：1）所有投资都是完全可分割的。2） 没有交易成本或税费，资产也不支付股息。3） 会员不支付其财富分配费用。4） 不存在资金消耗。关于鞅5，让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）。设F={F，F，F，…}做一个过滤，即。

一系列σ-代数的子集Ohm 与财产有关 F F . . .  F.在不丧失一般性的情况下，我们可以将={, Ohm}. 过滤F描述了向投资者披露信息的过程。我们将假设ci（t）相对于每个i，t的Ft（书面Ft可测量）是可测量的。给定t，我们有wi（t）ki（t）=ui1（t）c（t）+uiN（t）cN（t），i=1。n、 （2.1）此处及之后，符号X=Y表示随机变量X，Y定义在(Ohm, F、 P）和P（X=Y）=1。我们假设每个随机变量wi（t）都适用于F，这意味着wi（t）对于每个i，t都是可测量的。我们还假设ki（t）和uij（t）都适用于F。这意味着我们允许投资者在观察到价值sci（t）后购买（出售）单位。在任何时间t，允许拆分单元。第一基金的一个单位的新价格和单位数量分别用wi（t+）和ki（t+）表示。在时间t，我们有wi（t+）ki（t+）=wi（t）ki（t），i=1，n、 在t+1时，wi（t+1）ki（t+）=ui1（t）c（t+1）+…+uiN（t）cN（t+1），i=1，n、 （2.3）从（2.1）-（2.3）我们得到了（t+）（wi（t+1）- wi（t+）=NXj=1uij（t）（cj（t+1）- cj（t））（2.4）对于i=1，n、 此外，第i个基金的任何成员都会重新分配其财富。成员从第i个基金中提取k（W）i（t+1）wi（t+1）个货币单位，并将k（W）i（t+1）wj（t+1）wj（t+1）的金额Pni=1k（W）i（t+6 L.GAJEK和M.KA LUSZKA1）wi（t+1）投资于第j个基金，其中k（W）i（t+1）i（t+1）和k（i）i（t+1）i）i是每个i可测量的随机变量。在t+1时，负债支付流也会改变第i个基金的余额。因此，第i个基金的单位数量从ki（t+）变为ki（t+1）：ki（t+1）wi（t+1）=ki（t+）wi（t+1）- k（W）i（t+1）wi（t+1）+k（i）j（t+1）wi（t+1）+di（t+1），i=1，2，n、 （2.5）式中，di（t+1）为Ft+1-每个i，t可测量。

对（2.5）中的方程求和后，我们得到以下简单方程nxi=1wi（t+1）（ki（t+1）- ki（t+）=d（t+1）。（2.6）在分配客户后，第i只基金的管理层重新平衡投资组合：wi（t+1）ki（t+1）=ui1（t+1）c（t+1）+……++uiN（t+1）cN（t+1）（2.7）表示i=1，n、 综上所述，我们对一组基金动力学的数学模型建立了以下随机微分方程：wi（t）ki（t）=NXj=1uij（t）cj（t），（2.8）wi（t+）ki（t+）=wi（t）ki（t），（2.9）ki（t+）wi（t）=NXj=1uij（t）cj（t）、（2.10）wi（t+1）ki（t）=k（I）I（t+1）- k（W）i（t+1）wi（t+1）+di（t+1），（2.11）wi（t+1）ki（t）=NXj=1cj（t+1）uij（t），（2.12）在鞅7上，其中t=0，1，2。i=2，n、 在这个模型中，函数uij、k（I）和k（W）I扮演着控制变量的角色。2.2. 平均回报的定义。我们对时间段[s，t]内离散时间模型中的平均回报率的定义由公式¨rA（s，t）=t给出-1Yu=s1+nXi=1A*i（u）ri（u，u+1）- 1，（2.13）其中ri（u，u+1）是时间间隔（u，u+1）内的第i个基金的回报，即ri（u，u+1）=wi（u+1）- wi（u+）wi（u+）。（2.14）为了方便起见，我们为每个s设置了“rA（s，s）=0。我们给出了使用定义的两个主要参数（2.13）。第一个是基于对基金总资产变化的分析。注意a（t）- A（s）A（s）=t-1Yu=s1+A（u+1）- A（u）A（u）- 1.应用（2.2）和（2.6）我们得到（u+1）- A（u）=nXi=1wi（u+1）ki（u+1）-nXi=1wi（u）ki（u）==nXi=1wi（u+1）ki（u+1）-nXi=1wi（u+）=ki（u+）=nXi=1wi（u+1）（ki（u+1）- ki（u+）+nXi=1（wi（u+1）- wi（u+）ki（u+）==d（u+1）+nXi=1Ai（u）wi（u+1）- wi（u+）wi（u+）。亨恰（t）- A（s）A（s）=t-1Yu=s1+d（u+1）A（u）+nXi=1A*i（u）ri（u，u+1）！- 1.8 L.GAJEK和M.KA Luszkaa在消除出资额对基金负债的影响后，我们得出atA（t）- A（s）A（s）=rA（s，t）。第二个论点如下。

很明显，rA（t，t+1）=nXj=1A*j（t）rj（t，t+1）。自从*j（t）≥ 0和Pnj=1A*j（t）=1，我们对平均回报有以下解释：\'rA（t，t+1）等于从t时的基金组资产中随机选择的k货币单位的预期回报，即\'rA（t，t+1）=ErJ（t，t+1），其中j是分布为P（j=j）=a的随机变量*j（t），j=1，n、 此外，对于每一个s<t，\'rA（s，t）=t-1Yu=s（1+ErJu（u，u+1）- 1==Et-1Yu=s（1+rJu（u，u+1）- 1，其中Js，Jt-1是独立的随机变量，因此P（Ju=j）=A*j（u），j=1，n、 u=0，1，2。这意味着，如果我们重复在时间s，s+1，T- 1（对于atfunds的再投资），那么我们在t时的资本将是一个随机变量K，K=K（1+-rA（s，t））。换句话说，预期收益率等于平均收益率：EK- KK= \'rA（s，t）。关于鞅2.1。在撰写论文后，我们发现定义（2.13）出现在巴伯等人（2001）的不同背景下，但到目前为止，我们还没有发现任何分析证明使用它来定义平均回报率是合理的。3.鞅公平性与收益平均率的其他性质本文的主要结果是以下定理。定理3.1。索引号“rAis fair，即如果{ci（t），t=0，1，2，…}是每个i的F-鞅，然后{rA（0，t），t=0，1，2，…}这是一部电影。此外，如果{ci（t），t=0，1，2，…}i是每个i的F-子鞅（分别为F-超鞅），然后{rA（0，t），t=0，1，2，…}是anF子马丁格尔（分别为F-超级马丁格尔）。证据根据定义，随机变量rA（0，t）是可测量的。假设ki（t）和wi（t）都是可测量的。

此外*i（t）是可测量的，sinceA*i（t）=wi（t）ki（t）Pni=1wi（t）ki（t）。当然了Nj=1A*j（t）=1，我们有E（\'rA（0，t+1）| Ft）=（\'rA（0，t）+1）E“nXi=1A*i（t）wi（t+1）wi（t+）| Ft#- 1==（\'rA（0，t）+1）nXi=1A*i（t）Ewi（t+1）wi（t+）|英尺!- 1.我们证明了这一点wi（t+1）wi（t+）|英尺= 对于每个i.回想wi（t+1）ki（t+）=ui1（t）c（t+1）+…+uiN（t）cN（t+1），wi（t+）ki（t+）=wi（t）ki（t）=ui1（t）c（t）+uiN（t）cN（t），10 L.GAJEK和M.KA LUSZKAfor i=1，n、 由于c（t）是F-鞅，我们得到wi（t+1）wi（t+）|英尺=ki（t+）wi（t+）ENXj=1uij（t）cj（t+1）|英尺==ki（t+）wi（t+）NXj=1uij（t）E（cj（t+1）| Ft）=ki（t+）wi（t+）NXj=1uij（t）cj（t）=1 ki（t）wi（t）ki（t）wi（t+）=1。定理第一部分的证明已经完成。第二部分的证明是类似的，所以省略了。备注3.1。如果平均回报率的其他指标是鞅公平的，自然会产生一个问题。波兰关于养老基金运营的法律法规提供了一个有趣的例子（见《养老基金组织和运营法》，第173条，Dziennik Ustaw Nr139 poz.934，第173条；英文译本见波兰养老金…，1997年）。关于一组养老金基金的平均回报率的定义如下：`rP L（s，t）=nXi=1ri（s，t）wi（s）ki（s）Pnj=1wj（s）kj（s）++wi（t）ki（t）Pnj=1wj（t）kj（t）！，（3.1）其中ri（s，t）表示第i个基金的回报率，即ri（s，t）=wi（t）- wi（s）wi（s）。上述定义的平均回报率一般不是鞅公平的。事实上，假设（uik）=1∈ Rf对于每个i，j，s。在一个初等代数之后，我们得到`rP L（0，t）=2nnXi=1wi（t）- 1+Pni=1（wi（t））Pni=1wi（t），在鞅11wi（t）=（ui1c（t）+…+uiNcN（t））/k.自（w+…+wn）≤n（w+）。

+wn）对于所有真实的wi，我们有E’rP L（0，t）=2nnXi=1Ewi（t）- 1+EPni=1（wi（t））Pni=1wi（t）≥≥ -+2nEnXi=1wi（t）=0=E’rpl（0,0），（3.2）且等式在（3.2）中成立当且仅当P（w（t）=……=wn（t））=1。假设uik6=ujk对于一些i，j，k，假设c（t），cN（t）不是线性相关的，即对于任何实a，那么| a |+…+|aN | 6=0，P（ac（t）+aNcN（t）=0）<1。然后P（w（t）=wn（t））<1和‘rP L（0，t）>E‘rP L（0，0）。这意味着{rP L（0，t），t=0，1，2，…}不可能是鞅。现在，我们制定了几个公理，任何适当定义的平均回报率都应该满足这些公理。其中一些可以在Kellison（1991）中找到。平均回报率满足了所有要求。这些证明很简单，所以它们将被省略。财产3.1。如果该集团仅由第i个基金组成，则“rA（s，t）=wi（t）- wi（s+）wi（s+）属性3.2（乘法公理）。对于每一个s<u<t1+\'rA（s，t）=（1+\'rA（s，u））（1+\'rA（u，t）），下一个属性表示，就基金分组而言，平均回报率是一致的。12 L.GAJEK和M.KA LUSZKAProperty 3.3（聚合公理中的一致性）。如果将资金分组，如果每个集团的平均回报率是在时间间隔[t，t+1]内计算的，那么集团的平均回报率等于该时间间隔内所有基金的平均回报率[s，s+1）。很容易检查“rP Ldoes”不具有属性3.2和3.3。例如，我们表明属性3.3不令人满意。假设有三只基金在给定时间段[s，s+1]上的回报率分别为r，rand r。那么“rP L（s，s+1）=Xi=1ri人工智能A（s）+Ai（s+1）A（s+1）,其中（s+1）=Xi=1Ai（s+1）。让我们将第一只基金和第二只基金分组。